吕梦迪+陈芳

摘 要 计算流体力学是基于数值方法对满足定解条件的流体力学方程进行的离散化处理，对数值解进行分析和处理，通过数值模拟的过程得到流体的运动规律，进而解决流体运动中遇到的实际问题。流体运动大多数都具有非线性守恒律方程形式，因此，能高效、精确地对双曲守恒律方程进行求解成为流体力学领域的重要研究课题之一。本文从物理概念出发，通过介绍几种主要的求解方法，加深对双曲守恒律方程求解方法的理解和运用。

关键词 计算流体力学 双曲守恒律方程 求解方法

中图分类号：O351. 2 文献标识码：A

0引言

双曲守恒律方程是计算流体力学中一类反映物理现象和规律的重要方程。在一维情况下，它们都具有如下形式：ut+f（u）x=0。其中x∈R，t>0，u∈Rn是守恒变量，f（u）是通量函数。在求解⑴时，即使初始条件充分光滑，其数值解也会随着时间的推进在某一时刻产生间断，而间断解的出违背了古典解理论。于是Lax于1954年提出了弱解的概念，但是弱解不唯一，随之Lax证明了如果弱解u满足熵稳定条件：E（u）t+f（u）x≤0，其中E（u）是u的一个凸函数，即E（u）''>0，而F（u）满足：F'（U）T=E'（u）Tf'（u），则u是唯一且有物理意义的。E称为熵函数，F称为熵通量，（E，F）为熵对。方程不同，熵对的具体表达式也不尽相同。满足熵条件的解是唯一的具有物理意义的解，这种解称为“熵解”，满足熵条件的守恒型差分格式被称为熵稳定格式。为了系统地研究熵稳定格式，1987年Tadmor引入熵变量和熵势的概念，还给出了熵稳定格式构造中的比较原则，即熵稳定格式要比熵守恒格式的粘性多，这在熵稳定格式的构造中具有很实用的指导意义。2006年，Roe提出采用经典Roe格式的数值粘性项进行耗散，得到一类熵稳定格式，称为ERoe格式。获得的熵稳定格式继承了经典Roe格式的良好激波捕捉效果，这种Roe-型耗散在后来被广泛使用。在2009年，Roe和Ismail通过进一步分析得到：解在跨过激波时产生了激波强度立方量级的熵增，并在此基础上发展了对数值粘性项更精确量化的熵相容格式。

1数值求解方法

1.1熵守恒格式

1.2熵稳定格式

1.3熵相容格式

2提高算法精度的方法

为了提高格式的精度，减少或消除伪震荡，在空间方向上人们常用的方法一：根据自适应人工粘性的自适应性，经过简单的調节粘性比例系数后达到的高分辨率。方法二：通过添加限制器的TVD格式来提高格式的精度，常用的限制器有van Leer 限制器、Minmod 限制器、Combined Minmod 限制器、Superbee 限制器、Combined Superbee 限制器等，计算结果表明，采用Combined Superbee 限制器具有最好的效果。方法三：ENO格式采用逐次扩展的节点模板来提高插值方法精度。方法四：WENO格式是通过构造基于不同模板上的插值多项式的加权凸组合来获得单元交界面处的高阶近似。方法五：CWENO格式避免了ENO和WENO基于迎风格式所引起的Riemann求解器的考虑，不需要特征分解和矢通量分裂，因此CWENO格式比普通的中心格式更具优势。

在时间方向上人们通常采用强稳定的龙格-库塔 （ Runge-Kutta ） 方法和NCE的龙格-库塔方法。

3结语

本文针对双曲守恒律方程的求解问题，介绍了关于熵的三种格式，并分析了提高格式精度的方法以及实现算法，这些方法易于计算机编程实现以及向高维双曲守恒律方程推广，即对双曲守恒律方程的求解问题有重要的研究意义。

参考文献

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