赵德敏　刘建林　陈颖

【摘 要】分析了质点沿着定轴转动的直杆和直角杆作相对直线运动，比较了点的合成运动法和全程分析法。结果表明：全程分析法能够得到每一时刻点的轨迹方程、速度和加速度，从全局角度把握点的运动规律，比应用点的合成运动分析更简便。由全程分析法分析了的该质点的运动规律，得到了其运动的轨迹、弧长，速度和加速度等的规律。

【关键词】质点沿转动杆运动；点的合成运动；全程分析法；理论力学

Motion Study of a Particle on a Rotation Bar Using Full-process Analysis Method

ZHAO De-min LIU Jian-lin CHEN Ying

（Department of Engineering Mechanics，College of Pipeline and Civil Engineering，China University of Petroleum〈East China〉，Qingdao Shandong 266580，China）

【Abstract】The quantities of motion including the displacement equation，velocity and acceleration of a point at any time can be analyzed by using the full-process analysis method which is easier than the composition motion sometimes.The motion of a particle relative moves linearly on the straight bar and rectangular bar，which are rotation about an axis.The path of motion，length of arc，velocity and acceleration are all obtained.

【Key words】Motion of a particle on a rotation bar；Composition motion；Method for full- process analysis；Theoretical mechanics

0 引言

理论力学中研究点的运动规律有两种方法：第一种，建立点的运动方程，并对时间取一阶和二阶导数，求得点的速度和加速度随时间的变化规律。第二种方法根据点的合成运动定理求得点在某瞬时的速度和加速度。近年来有人把这两种分析方法分别称为“全程分析法”和“瞬时分析法”[1]。目前的理论力学教材也重点在第二种方法。但是随着计算软件的快速发展，数学计算的困难已经不再成为问题，全程分析法结合计算软件的数值仿真，能够得到轨迹方程，能够推演出每一时刻的速度和加速度大小，从全局的角度精确地把握运动规律，能处理更加复杂的力学问题。全程分析方法应该在教学中予以重要的认识，使之成为解决点的运动规律的重要工具。

1 两种方法比较

点的合成运动一章中一个典型的例子为：如在一个做定轴转动的直杆上有一个质点M，沿着杆的方向做直线运动，分析质点在任意时刻的速度和加速度。目前的做法是采用点的合成运动定理，进行速度分析和加速度分析[2]。但是有些工程问题的模型却来源于非直杆，例如渐开线齿轮，偏置凸轮和传统的粮食加工器具石磨等[3]，此几何模型却和匀速转动的直角杆相关。在定轴转动的直角杆上一质点沿着不通过原点的直角边运动，其速度、加速度以及弧长如何呢？为使问题更为清晰透彻，我们对下面三个例子用瞬时分析法和全程分析法进行分析。

如图1-3所示，质点M沿直杆由O1 点开始，沿着O1A杆做相对于杆O1A的匀速直线运动，相对速度为u，OO1的长度为r0，杆OO1A逆时针以匀角速度？棕逆时针转动，假设杆的长度足够长，且t=0时OO1沿x轴水平放置。其它条件如下：

例1、如图1所示，OO1A 桿为直杆。

1.1 瞬时分析法

目前例1中质点M的速度和加速度分析研究，大多数教材采用瞬时分析法求解。鉴于有些教材已经给了详细求解过程[2]，此处不在赘述。本文只针对例2给出简要的分析过程。例2的其速度矢量图如图4所示，其中牵连速度大小为v=？棕，方向垂直于OM线，相对速度r的大小vr=ut，方向沿着O1A。由余弦定理，可以得到绝对速度的大小va，v，再由几何关系？兹=∠OOM=arctan，可得绝对速度a的大小。

例2的加速度矢量图如图5所示。由于杆匀速转动，质点M相对于杆匀速运动，可得a=a=0。牵连加速度的法向矢量沿着MO方向，且其大小为，a，科氏加速度方向垂直于O1A其大小为a=2？棕u，应用余弦定理求出其绝对加速度大小，a=，并且由几何关系？准=∠OOM=arctan。才能绝对加速度的大小。

从例2的速度和加速度分析可以看出，应用点的合成运动方法，需要处理复杂的几何关系，得到某个瞬时质点的速度和加速度。虽然瞬时分析法每个瞬时的速度和加速度方向能够直观的呈现出来。但是速度和加速度的全程的定量结果不能直观呈现，更不方便求解质点运动的弧长。

1.2 全程分析方法

应用全程分析法对于例2的求解过程如下：在如图2所示的直角坐标系oxy中，其直角坐标形式的参数运动方程为：

利用对时间求导的方法可得其速度v2和加速度a2的大小的表达式分别为：

质点M在[0，t1]的时间间隔内运动的弧长s2为

同理可求得例1和例3的参数方程，速度v1和v3、加速度a1和a3以及运动的弧长s1和s3。从以上的全程分析法的求解过程可以看出，此类问题质点每一个时刻的速度，加速度和弧长的大小都直观的呈现出来。endprint

2 数值仿真及讨论

（a）例1轨迹 （b）例2轨迹 （c）例3轨迹

在全程分析法的基础上，为深入了解这三种情况下的质点M的运动轨迹，其速度，加速度和弧长的定量规律。本文进行了数值仿真，仿真参数如下：r0=0.05，u=0.03，？棕=60转/分，t=4秒。得到了三种情况下的轨迹、速度、加速度和弧长。

图6（a，b，c）分别为例1、2和3的运动轨迹。从图中可以看出，例2中质点走过的象限慢于例1，而例3中质点走过的象限快于例1。再有例1为等速螺线，其轨迹之间的间距相等，而例2和3 开始时螺距不等，但随着时间的增大，螺距将趋于定值。

图7-9 分别为三种情况下的速度、加速度和走过的弧长，从图7-8可以看出，时间t 从0开始，在微小的时间段内，例3 的速度和加速度都明显大于例1 和例 2。但是随着时间的继续增大，经过一个微小的时间段后，例1的速度、加速度都达到最大。其次是例 3，例2的速度和加速度始终最小。从图98可以看出，例1 的弧长在三者之中最大，其次分别是例3和例2。图7-9还可以看出当时间t足够大时，例2 和例3 的速度和加速度和弧长趋向于同一值的趋势。

3 工程应用

例1中当r0=0，质点M的轨迹螺线是阿基米德螺線，阿基米德螺线在生活中的例子很多，如蚊香、CD光盘的槽道、卫生纸、钟表发条等。从图7-9可知，在相同的时间间隔内，例1的速度，加速度和弧长最大。因此采用例1形成的阿基米德螺线效率更高。例如在蚊香生产中，阿基米德螺线蚊香视觉上更美观，而且在同等的时间内，可以制成更多的蚊香等。

凸轮机构广泛的应用于多种自动机械和自动控制装置中[4]，例如数字航拍摄像机等[5]。凸轮机构具有结构紧凑、传动平稳等优点。正因为如图6（a）所示的例1形成的螺线可以设计成阿基米德凸轮，基于例2和例3生成的螺线轨迹可以设计成偏置凸轮，凸轮示意（下转第12页）（上接第5页）图如图10所示。

传统粮食加工工具石磨，在《天工开物》中已有记载。我国石磨通常下盘静止，上盘逆时针转动[3]，网络图片如图11所示。可把直角杆看成刻在旋转定盘上的沟槽，质点M看成物料。从图6轨迹图可以看出，三种情况的物料的绝对轨迹都是逆时针的，所以石磨下盘的物料槽都是逆时针旋向。从速度和加速度图7-8可以看出，例2 的速度和加速度是最低的。这可以解释为什么“大多数石磨上盘进料槽的开口方向和上盘转动方向相反”，如逆时针转动的石磨的进料槽的开口方向却是顺时针，这样可以使物料获得最小的速度和加速度，这样能够使物料有足够的时间在磨盘上充分研磨，不至于很快的流出磨盘。

4 结论

本文质点在匀速转动的直杆和直角杆上的运动的速度和加速度分析，比较了瞬时分析法和全程分析法。瞬时分析法尽管在得到某瞬时点的速度和加速度以及它们的方向方面较为方便。但全程分析法得到全程的速度、加速度和弧长的大小变化规律更直观、简便。全程分析法分析更为复杂运动学问题中的优势作用应予以足够的重视，使之在教学中的比重有所增强。

【参考文献】

[1]冯立富，郭书祥，李颖.点的合成运动与“全程分析法”[J].空军工程大学学报（自然科学版），2002，3（5）：86-87.

[2]候密山，胡玉林.工程力学（Ⅲ）[M].东营：中国石油大学出版社，2007：31-41.

[3]尤明庆，苏承东.关于石磨力学原理的注记[J].力学与实践，2014，36（4）：520-523.

[4]王东.基于Pro＼E关系式凸轮轮廓曲线精确设计[J].机械设计，2010，27（8）：31-34.

[5]黄静，王岱，高晓东，杨世洪.大面阵数字航测相机像移补偿的实现[J].光电工程，2006，33（5）：27-30.

[责任编辑：田吉捷]endprint