陈谋

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2017）17-0057-01

调查显示，有的数学教师认为数学史就是讲讲数学家的故事；有的老师认为课堂上讲数学史会影响正常教学，不利于考试成绩的提升。特别是在高中概念教学之中引入数学史料的研究更少，数学史要真正融入概念教学的课堂应该仍有很多关键环节和步骤值得研究。不同层次不同角度的数学史内容融入到高中数学的概念教学中是十分有意义的。

一、新课引入

师：我们在初中的时候已经了解了平面图形，比如说三角形、平行四边形、圆、梯形等等，它们都是由点和线构成的，我们在一个平面内处理这些平面图形的问题。点和线是我们研究平面几何的基础。下面请同学们观察这个长方体。

师：我们在这里可以找到哪些几何元素？

生：有六个面，八个顶点，十二条棱。师：对，空间图形都是由点、线、面这些基本元素组成，立体几何研究的就是这些点、线、面之间的关系。点、线、面是立体几何的三大基本元素，以后我们学习的所有定义、公理、定理都是建立在它们的基础上的。点和线的性质我们在初中已经学习过了，这一节课我们主要来研究平面的性质。

二、认识平面

师：根据前面所学的知识，我们知道，点构成线，线构成面，面构成体。继续观察长方体，我们可以把它看作是由前后、左右、上下六个面围成的。每个面都是矩形，可以看到，点构成线，线构成面，面构成体是立体几何中的基本关系。下面我们就从线构成面的角度来认识平面。

师：我们先来看看这样一些物体，它们给我们一个怎样的印象呢？（PPT给出海面、草原等图片，教室中观察桌面、黑板面等）。教师总结学生的意见：它们都是平的，直的。

师：我们能不能根据这些特点试着给平面下一个定义呢？（教师引导学生观察，思考，尝试给平面下一个定义。）

三、深度认识平面，理解平面概念

师：同学们的说法和历史上的数学家们极其相似哦！

PPT表格：历史上的数学家们对平面概念的理解（此处略），教师根据表格介绍平面概念的历史发展。

师：我们一起来分析一下，各位伟大的数学家们对平面的定义是否正确呢？通过分析上述平面的各种定义，来认识平面的本质。

师：我们看到，历史上各位数学家的定义大多尝试用直线和点来说明平面的“平”和“直”。也就是说，判断一个面是不是平面的关键在于它是否平，直。平面可以看成是由直线构成的，直线是可以无限延伸，所以平面也应该是？

生：无限延伸的。师：所以我们最后采用的是希尔伯特的想法，平面是一个原始的概念，直接描述，不定义，平面是绝对平的，没有厚度的，无限延展的。那你能举出一个现实生活中的平面吗？

生：好像举不出。

师：对，平面在现实生活中是不存在的，它是一个抽象的数学概念。“平”“直”“无限延展”是它的本质属性。那么，怎样表示一个平面呢？

师：请大家回忆一下，我们是怎样表示直线的？（板演）师：直线的属性是怎样的？生：直的，无限长的。

师：我们刚才怎样表示直线？是画出了整根直线吗？

生：不是，只是一部分。

师：那我们是不是也可以只用平面的一部分来表示整个平面呢？（教师板演，作出平面示意图，强调平行四边形是平面的一部分，而不是一个平面。）

四、三条公理

师：我们知道，平面是由直线构成的，那么，对于某一条直线，怎样判断它是不是属于某个平面呢？学生思考，教师引导。

师：我们看看莱布尼兹的定义：平面可以看成是由无数个点构成的。直线也是由无数个点构成的。平面又可以看成是直线组成的。平面内的直线上的所有点都在平面内。又两点确定一直线。也就是说，如果一条直线上有两个点在平面内，那么平面内经过这两个点的直线与这条直线重合，即线在面内。因此，判断一直线在不在平面内，只需判断这条直线上是不是有两个点在这个平面内。这就是我們的公理1。

师：平面由直线构成，当两个平面相交的时候，会不会交于一条直线呢？用纸张模拟，根据平面的无限延展的性质，说明必然会交于一条直线，即公理2。

师：那怎样来确定一个平面呢？结合皮埃尔的定义，不在同一条直线上的三点C、B、A，过其中任意两点，比如B、A，作直线，那么过点C可以作无数条直线与AB相交，所有的这些直线就构成了一个平面，也就是说不共线的三点可以确定一个平面。这就是公理3。公理3中，取特殊情况，很容易得到3条推论。endprint