山东科技大学数学与系统科学学院 常彩霞

关于秩函数近似方法综述

山东科技大学数学与系统科学学院 常彩霞

主要介绍了秩函数的近似方法，包括凸近似法和非凸近似法，讨论了各自的优点和不足。最后，指出了非凸近似法的研究趋势及其应用前景。

秩函数；凸近似；非凸近似

一、引言

问题在机械学习、计算机视觉、控制、信号处理、系统识别等领域普遍存在。因为秩函数的非连续性和非凸性，矩阵秩最小化问题为NP难问题。为了高效解决该问题，需要对秩函数进行松弛，即寻找一个连续的函数来近似秩函数，作为低秩正则化项。秩函数近似方法主要分为两类：凸近似和非凸近似。凸近似中，近似秩函数最常用的方法为核范数，求解核范数最小化问题的优点有很多，如求解比较容易，可以设计多种有效的优化算法等。但是，核范数近似是有一定缺陷的，如核范数最小化，就是同时将矩阵X 所有奇异值的和最小化，也就是对奇异值的惩罚力度是一样的。众所周知，矩阵的主要性质，通常是由矩阵的那些大的奇异值来起决定性作用，但核范数对矩阵所有奇异值的惩罚力度相同，实际上对大的奇异值是不公平的。相比于凸近似方法，非凸近似可以对实际问题有着更好的近似，能够更好地刻画实际问题的本质属性。然而非凸优化问题具有很高的复杂性，设计快速高效的优化算法求解非凸优化问题是一项巨大的挑战。

二、秩函数的凸近似方法

三、秩函数的非凸近似方法