江苏省海门中学 杨智慧 (邮编:226100)

有趣的“折线型”函数

江苏省海门中学 杨智慧 (邮编:226100)

含绝对值函数y＝x－a 的图象是“v”型折线,稍复杂一点的是y＝x－a ＋x－b (a≠b)是槽型折线;y＝x－ax－b 则是“z”型折线,我们把这一类形如“y”的函数姑且称为折线型函数.笔者作了一些初步的探究,把发现的性质整理出来,以期抛砖引玉.

考虑一般情况,函数y＝k1·x－a1＋k2· x－a2＋…＋kn·x－an(其中k1,k2,…, kn为非零实数,a1＜a2＜…＜an),应为分布在(－∞,a1),(a1,a2),…,(an,＋∞)这n＋1个区间上的折线段,n个折点分别当x取a1,a2,…,an,时取得.考察函数在这n＋1个区间上线段的斜率:在区间(－∞,a1)上,函数可化为y＝－k1·(x－a1)－k2·(x－a2)－…－kn·(x－an),易得斜率为;在区间(a1,a2)上,函数可化为y＝k1·(x－a1)－k2· (x－a2)－…－kn·(x－an),易得斜率为k1－;在区间(a2,a3)上,函数可化为y＝k1· (x－a1)＋k2·(x－a2)－k3·(x－a3)－…－kn·(x－an),易得斜率为在区间(an,＋∞)上,函数可化为y＝k1· (x－a1)＋k2·(x－a2)＋…＋kn·(x－an)易得斜率为

综上可得如下结论:

性质 函数y＝k1·x－a1＋k2·

x－a2＋…＋kn·x－an(其中k1,k2,…, kn为非零实数,a1＜a2＜…＜an)图象应为分布在(－∞,a1),(a1,a2),…,(an,＋∞)这n＋1个区间上的折线段,n个折点分别当x取a1、a2、…、an,时取得.在区间(－∞,a1)上,线段斜

根据以上性质,我们不难获得如下结论:

推论1 若ki为参数,随着ki的变化,图象上对应折点(ai,yi)是定点,而当ki增大时,折点(ai,yi)左侧部份的图象折线段斜率减少,右侧部份的图象折线段的斜率增大,图象上除定点(ai,yi)外,所有的点均不同程度向上移动.

推论2 函数y＝k1·x－a1＋k2· x－a2＋…＋kn·x－an＋kx－a (其中k1、k2、…、kn、k为非零实数,a1＜a2＜…＜an),a为参数,当a在某个区间(at,at＋1)内变化时,函数图象在所有区间上的折线段斜率不变;当a从某个区间(at－1,at)进入相邻区间(at,at＋1)时,函数图象在at－1左侧所有区间和at＋1右侧所有区间上的折线段斜率不变.

推论3 函数y＝k1·x－a1＋k2· x－a2＋…＋kn·x－an(其中k1,k2,…, kn为非零实数,a1＜a2＜…＜an)在区间(－∞,a1)和(an,＋∞)上的斜率互为相反数,当＞0时,函数整体开口向上,函数有最小值;当＜0时,函数整体开口向下,函数有最……