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有趣的语言数列

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语言数列,是一种特殊而且有趣的数列.它不像等差数列和等比数列那样,特征明显,有章可循,而是一种比较“任性”的数列.但是,探讨语言数列的性质,我们将会发现一些有趣的、发人深思的问题.对语言数列做出进一步的探讨,你会有所收益.

数列;语言数列;趣味性;规律性

关于语言数列的概念,我们可以这样来描述:任意给定一个自然数作为数列的第1项;数列的第2项及其后面的项按照下面的方法得出:对第n(n∈N＋)项中所含的每一个数字的个数,按照从左到右的顺序进行语言表述;把语言表述中的汉字去掉,剩下的数字按照原来的顺序组成一个新数;把这个新数作为这个数列的第n＋1项.这样得到的数列,我们称之为语言数列.例如,一个数列的第1项是:a1＝123.

把第1项“123”中所含的每一个数字的个数用语言表述出来(按照从左向右的顺序进行表述,下同),就是“1个1,1个2,1个3”.把这个语言表述中的汉字去掉(即把“1个1,1个2,1个3”中的汉字“个”去掉),剩下的数字按照原来的顺序组成一个新数:a2＝111213.

这就是这个语言数列的第2项.

对这个数列的第2项“111213”继续按照上面的方法进行语言表述,就是“4个1,1个2,1个3”,这样就得到了这个数列的第3项:a3＝411213.依次类推,可以继续写出这个语言数列后面的任意项.

从上面这个例子可以看出,语言数列的概念并不难理解.本文只是从趣味性的角度,对一些规律性比较强、同时又比较简单的语言数列做一点探讨.

1 数列的第1项是一位数的情况

因为语言数列的各个项都是自然数,所以数列的第1项是一位数的语言数列只有10个.我们先讨论一下数列的第1项a1＝1的情况.

如果数列的第1项a1＝1,那么用语言表述第1项,就是“1个1”.把这个语言表述中的汉字“个”去掉,就得到了这个数列的第2项:a2＝11.

用语言表述数列的第2项“11”,就是“2个1”,把这个语言表述中的汉字“个”去掉,就得到了这个数列的第3项:a3＝21.

按照上面的方法,可以继续写出这个语言数列的第4项至第10项:

a4＝1211,a5＝3112,a6＝132112,a7＝311322,a8＝232122,a9＝421311,a10＝14123113.

按照同样的方法,我们可以写出第1项是2, 3,4,5,…,9和0所对应的语言数列.我们把第1项是1——9和0的这10个语言数列的前10项分别写出来,就是:

观察上面这10个语言数列,我们可以得出下面几个结论:

第一,数列(2)的第n(n≥4)项与数列(1)的第n＋1项相同;

第二,数列(3)与数列(1)从第9项开始,对应项相同;

第三,在(5)——(10)这6数列中,每一个数列的前10项中的个位数字分别相同.例如,数列(5)中所有项的个位数字都是5;

第四,在(5)——(10)这6个数列中,前10项中的对应项只有个位数字不同.

2 数列的第1项是两位数的情况

第1项是两位数的语言数列共有92个(我们把00和01也视为两位数).在这92个数列中,我们重点讨论两个内容:第一,第1项是形如的语言数列有哪些性质;第二,第1项是与(a≠b)的这一对语言数列之间有哪些关系.

观察数列(11)——(20),我们可以得出下面几个结论:

第一,由数列(12)可知,以22为第1项的语言数列,是一个各项都是22的常数列.笔者猜想,这是语言数列中唯一的一个常数列;

第二,(14)——(20)这7个数列,从第9项开始,后面的各项都与第9项相同.也就是说,如果把这7个数列的前8项去掉,那么所得到的7个新数列都是常数列.我们不妨把这类数列称之为“准常数列”;

第三,(13)——(20)这8个数列,从第2项开始,它们的对应项只有个位数字不同.例如,数列(13)的第3项是1213,而数列(14)的第3项是1214;

第四,在(14)——(20)这7个数列中,每一个数列的个位数字分别相同.例如数列(16)的各项的个位数字都是6;

第五,因为(11)——(20)这10个数列的第2项的十位数字都是2,个位数字分别是1,2,…,9和0,所以,在讨论第1项是这类数列的同时,我们顺便还可以得出第1项是这10个语言数列的相关性质.

2.2 数列的第1项是形如ab与ba(a≠b)的这一对语言数列之间的关系

我们先来讨论一下,数列的第1项是形如1a与a1(a≠1)的这一对语言数列之间的关系.

因为十位数字是1的这10个两位数,恰好是数列(1)——(10)的第2项,所以,以1a为第1项的语言数列,它的第n项分别与数列(i)(i＝ 1,2,…,9,10)的第n＋1项相同,因此,以1a为第1项的这10个语言数列,与(1)——(10)这10个数列具有类似的性质.

为了方便,我们把01也看做是一个两位数,这样一来,第1项是a1的语言数列一共有10个.我们只需要写出这10个数列的前3项,其结论就一目了然了.这10个数列的前3项分别是:

11,21,1211.

21,1211,3112.

31,1311,3113.

……

91,1911,3119.

01,1011,3110.

与数列(1)～(10)比较不难看出,以a1为第1项的语言数列,从第3项开始,它的第n(n≥3)项与数列(i)(i＝1,2,…,9,10)的第n＋1项相同.

进一步我们可以得出这样的结论:第1项是a1与第1项是1a的这一对语言数列,从第3项开始它们的对应项相同.

对于数列的第1项是形如ab与ba(a≠b)的两个语言数列之间的关系.仿照上面第1项是形如1a与a1的情况的讨论,我们可以得出这样的结论:

第1项是两位数ab与ba(a≠b)的这对语言数列,从第a＋2项开始,它们的对应项分别相同.尤其是第1项是4a与a4的这对语言数列,除了从第6项开始它们的对应项相同以外,它们还都是“准常数列”.

3 数列的第1项是三位数的情况

关于数列的第1项是三位数的情况,我们只讨论第1项是a1＝123的这样一个特殊的语言数列.

如果一个语言数列的第1项是a1＝123,那么这个数列的前10项分别是:

a1＝123,a2＝111213,a3＝41213,a4＝14311213,a5＝41142312,a6＝24312213,a7＝32142321,a8＝23322114,a9＝32232114,a10＝23322114.

观察这个数列的前10项我们发现:a10＝a8.也就是说,这个语言数列从第10项开始出现了重复:当n≥8时,有an＋2＝an.

关于这类语言数列,我们不妨称之为“循环数列”.常数列和准常数列也可以看做是一种特殊的循环数列.除此之外,还有没有其它循环数列?有兴趣的读者可以做出进一步的探讨.

4 数列的第1项是各位数字相同的n(2≤n≤9)位数的情况

一般来讲,随着数列第1项的位数的增加,讨论的难度也会越来越大.但是,如果语言数列的第1项是各位数字相同的n(2≤n≤9)位数,那么,这类数列问题可以转化为第1项是两位数的语言数列问题来研究.具体讨论如下:

当n＝2时的情况,在前面已经讨论;

当n＝3时,这10个数列的第1项分别是:

111,222,333,444,555,666,777,888, 999,000.

对应的第2项分别是:

31,32,33,34,35,36,37,38,39,30.

这就把第1项是aaa的语言数列问题,转化为已经讨论过的第1项是3a的语言数列问题.

当n＝4时,这10个数列的第1项分别是:

1111,2222,3333,4444,5555,6666,7777, 8888,9999,0000.

对应的第2项分别是:

41,42,43,44,45,46,47,48,49,40.

这就把第1项是aaaa的语言数列问题,转化为已经讨论过的第1项是4a的语言数列问题.

依次类推,一般情况,我们可以得出这样的结论:如果一个语言数列的第1项是和n都是自然数,且0≤a≤9,2≤n,那么,这个数列的第2项是一个两位数na.特别地,当n＝a时,这个数列的第2项与数列(11)——(20)中对应数列的第1项相同.

这样一来,对于第1项是各位数字相同的n (2≤n≤9)位数的语言数列,它们的相关性质可以在以na为第1项的语言数列中找到.

等差数列和等比数列,是我们比较熟悉的数列.这两种数列的特点比较明显,规律性也比较强,而本文所讨论的语言数列,就不像等差数列和等比数列那样“有章可循”,显得比较“任性”.但是,从上面的讨论过程不难看出,语言数列有许多性质是非常有趣的.本文讨论的只是比较简单、而且也比较有趣的一些语言数列,但愿能够起到抛砖引玉的作用.关于语言数列,一定还有许多有趣的、发人深思的问题,有兴趣的读者不妨做出进一步的探讨.

1 谈祥柏.乐在其中的数学[M].北京:科学出版社.2005.8

2017-05-06)