秦美青

(菏泽学院 数学系， 山东 菏泽 274015)

一类半群的正则性和格林关系

秦美青

(菏泽学院 数学系， 山东 菏泽 274015)

设E是X上的一个等价关系，PE(X)是由等价关系E确定的保等价关系的部分变换半群. 利用格林关系和正则元的定义， 研究了半群PE(X)的一个子半群P2(X)={f∈PE(X)∶|imf|≤2}上的格林关系和正则性， 刻画了半群P2(X)上的两元素间的格林关系， 给出了这类半群中元素为正则元的充要条件.

部分变换； 格林关系； 正则元； 保等价关系

0 引 言

设X(|X|>3)为一个集合,TX是X上的完全变换半群,E是X上的一个等价关系. 集合X上的由等价关系E确定的TX的子半群TE(X)={f∈TX∶∀(x,y)∈E⟹(f(x),f(y))∈E}. 文献[1]中半群TE(X)中许多重要性质均是通过构造半群T2(X)={f∈TE(X)∶|imf|≤2 }来说明的. 由此可见半群T2(X)的重要性. 文献[2]刻画了半群T2(X)上的正则元, 描述了元素间格林关系.PX是X上的部分变换半群, 文献[3]考察了集合X上的由等价关系E确定的PX的子半群PE(X)={f∈PX∶∀x,y∈domf,(x,y)∈E⟹(f(x),f(y))∈E} 的正则性和格林关系. 令集合P2(X)={f∈PE(X)∶|imf|≤2 }, 显然P2(X) 是半群PE(X)的一个子半群. 本文主要考察半群P2(X)的正则性和格林关系.

1 格林关系

定义 1[4-5]集合{f-1(A)∶A∈X/E,A∩imf≠Ø}, 记为E(f).

定义 2[6-8]设A,B是X的两个子集族. 如果对每个A1∈A, 都存在B1∈B, 使得A1⊆B1, 则称A是B的细化.

定义 3[9]设S是半群, 对于S中的元素a, 若存在元素b, 使得aba=a, 则称a是S中的正则元. 若S中每个元素都是正则元, 则称S是正则半群.

文中未说明的概念与符号请参看文献[10-16].

引理 1 设f,g,h∈P2(X)且满足f=gh. 若f∉A1,则有imf=imh.

证明 由f∉A1知f∈A2∪A3∪A4, 从而|imf|=2. 因为f=gh, 所以g,h∈A2∪A3∪A4, 这样|imh|=2, domf=dom(gh)=(img∩domh)g-1⊆domg. 任取x∈domf, (x)f=((x)g)h⊆imh, 即imf⊆imh. 因为|imf|=|imh|=2, 所以imf=imh.

定理 1 设f,g∈P2(X),fLg当且仅当imf=img且f,g是同一类型的变换.

证明 必要性： 假设fLg,则存在h,k∈P2(X)1, 使得f=kg,g=hf, 显然imf=img.

若f∈A1, 则有|imf|=1. 因为imf=img, 所以|img|=1, 从而g∈A1. 同理若g∈A1, 可推出f∈A1.

若f∈A2, 则存在A∈X/E,A∩domf≠Ø, 使得……