王琛文

（中山大学岭南学院，广州 510275）

计量经济学ARMA模型详细介绍

王琛文

（中山大学岭南学院，广州 510275）

ARMA模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究时间序列的重要方法，对于很多经济时间序列都可建立与其吻合度很高的ARMA模型。同时由于ARMA模型建模思路并不复杂，对于预测分析的初学者来说上手较快，所以在经济量化分析中被广泛使用。

ARMA模型；AR模型；MA模型

一、ARMA模型类型

（一）自回归（AR）模型

如果时间序列yt是它的前期值和随机项的线性函数，即可表示为：yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+ut，记为AR（p）。实参数φ1，φ2，…，φp称为自回归系数，是模型的待估参数。随机项ut是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、方差为的正态分布，随机项ut与滞后变量yt-1，yt-2，…，yt-p不相关。

记Bk为k步滞后算子，即：Bkyt=yt-k，则ARMA模型可以表示为：yt=φ1Byt+φ2B2yt+…+φpBpyt+ut；令φ（B）=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp，模型可简写为：φ（B）yt=ut。AR（p）过程平稳的条件是滞后多项式φ（B）的根均在单位圆外，即φ（B）=0的根大于1。

（二）移动平均（MA）模型

如果时间序列yt是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，即可表示为：yt=ut-θ1ut-1-θ2ut-2-…-θqut-q，记为MA（q）。实参数θ1，θ2，…，θq为移动平均系数，是模型的待估参数。引入滞后算子，并令θ（B）=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq，则MA模型可简写为yt=θ（B）ut。

移动平均过程无条件平稳，但通常希望AR过程与MA过程能够互为可逆过程，因此要求滞后多项式θ（B）的根都在单位圆外，经推导可得

式中，π0=-1；B0=1；其他权重πj可递推得到。当序列满足平稳条件时，可改写为其中，φ0=1。

（三）自回归移动平均（ARMA）模型

如果时间序列yt是它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数，即可表示为：yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+utθ1ut-1-θ2ut-2-…-θqut-q，记为ARMA（p，q）。其中，φ1，φ2，…，φp为自回归系数，θ1，θ2，…，θq为移动平均系数，均为待估参数。

AR模型和MA模型均为ARMA模型的特殊形式，即对于ARMA（p，q），若阶数q=0，则是自回归模型AR（p）；……