谌 贝龚鹏伟谢 文姜 河马红梅杨春涛，2

（1.北京无线电计量测试研究所；2.计量与校准技术重点实验室，北京 100039）

多输出量测量模型的不确定度评定方法

谌 贝1龚鹏伟1谢 文1姜 河1马红梅1杨春涛1，2

（1.北京无线电计量测试研究所；2.计量与校准技术重点实验室，北京 100039）

本论文基于GUM不确定度评定方法，提出了多输出量测量模型的测量不确定度评定方法，并对如何获得多输出量测量模型的包含范围进行了举例说明。

GUM 多输出量 不确定度 包含范围

AbstractA method based on GUM uncertainty framework is proposed for measurement uncertainty evaluation of multivariate measurement models.The way of specifying the coverage region of multivariate measurement models is also illustrated.

Key wordsGUM Multivariate Uncertainty Coverage Region

1 引言

测量不确定度表示指南中推荐的评定方法（简称GUM）[1]是最为常用的测量不确定度评定方法，经过几十年的发展和完善，已经为国际上广泛使用，涉及到标准建立、量值比对、技术文件编制、计量服务等诸多领域。GUM方法所针对的测量模型是单输出量测量模型，即测量模型包含若干实数输入量X1,X2,...,XN和一个实数输出量Y，表示为：

式中：X——实数的输入量矢量，X=(X1,X2,...,XN)T。

然而在日常评定中，其测量模型可能是包含多个输出量的，GUM方法并不适用于该类测量模型。例如测量反射系数的过程中，校准后的复反射系数Γ和未修正的复反射系数W之间的关系表示为

式中：a，b，c——复校准系数[2，3]。

复数量Γ可视为双输出量（ΓR，ΓI），使用GUM方法进行不确定度评定时，需要首先根据复数的实部和虚部将该测量模型分解为两个实数模型。

若该测量过程最终是为了获得校准系数，那么式（2）转化为隐函数：

此时，三个校准系数a，b，c就是测量模型的输出量。当考虑到校准系数为复数时，该模型的输出量个数为6。此时利用GUM方法对每个输出量进行不确定度评定是无法实现的。

虽然GUM的相关标准文件中并没有直接考虑多输出量测量模型，但是从GUM的评定原理和不确定度传播律中，并未发现该方法的应用会受到输出量数量的限制。利用矩阵的表示方法，能够将多输出量和多输入量同时纳入至单次计算过程中，使GUM方法能够适用于多输出量测量模型。本文中将对GUM如何应用于多输出量测量模型的不确定度评定进行讨论。

2 不确定度评定步骤

无论针对何种测量模型，使用何种不确定度评定方法，其评定步骤是基本一致的，包括建模、传播和总结三部分。

建模部分是不确定度评定中最基础的环节，其中的主要步骤包括定义被测的输出量Y（被测量矢量），确定与Y相关的输入量X，定义与X和Y相关的测量模型，以及根据X中各个量的已知信息来给出各自的概率密度函数（PDF）。常用的概率密度函数包括高斯（正态）分布、矩形（均匀）分布等，但是当X中的两个量之间不独立时需要给出联合PDF。

传播部分是指根据测量模型，由X中每个量的PDF获得Y的（联合）PDF。

根据Y的PDF，将Y的期望值作为Y的估计值y，将Y的协定差矩阵作为y的协方差矩阵Uy，并根据给定的包含概率p获得包含范围。

2.1 建模

1）定义被测的输出量Y（被测量矢量）；

2）确定与Y相关的输入量X；

3）定义与X和Y相关的测量模型；

4）根据X中各个量的已知信息来给出各自的概率密度函数（PDF），例如高斯（正态）分布、矩形（均匀）分布等；或者当X中的两个量之间不独立时给出联合PDF。

2.2 传播

根据测量模型，由X中每个量的PDF获得Y的（联合）PDF。

2.3 总结

利用Y的PDF，可以获得：

1）Y的期望值作为Y的估计值y；

2）Y的协方差矩阵作为y的协方差矩阵Uy；

3）根据给定的包含概率p获得Y的包含范围。其中，包含范围是指基于可获得的信息确定的包含被测量矢量的一组值的范围，被测量矢量的值以一定概率落在该范围中。该定义与“包含区间”的定义类似，不同的是，包含区间在数学上只是一维的概念，而包含范围不再局限在一维空间中。

3 多变量的概率分布

在JJF1059.2—2012《用蒙特卡洛法评定测量不确定度》[4]中，给出了在不确定度评定的建模过程中一些常用的输入量PDF类型，其中涉及的多变量分布只有多变量正态分布。除了多变量正态分布，本文中还会介绍另一种常用的多变量分布——多变量t分布。

3.1 多变量正态分布（多元正态分布）

如果仅知N维量X=(X1,X2,...,XN)T的最佳估计值x=(x1,x2,...,xN)T及严格正定不确定度矩阵，那么X的分布为多变量正态分布，表示为

式中：μ——期望；V——X的正定协方差矩阵。

3.2 多变量t分布

假设有n组示值x1,x2,...,xn，每组示值都为N×1维，其中n＞N，它们都由多变量高斯分布 N(μ,Σ)独立获得，但期望μ和N×N维协方差Σ未知。假设N×1维的输入量X等于μ，那么基于联合先验分布和贝叶斯原理，X的边缘（联合）分布为多变量t分布tν(xˉ,S/n)，自由度为 ν=n-N ，其中：

此时，X的期望和方差分别为：

4 基于GUM的多输出量测量模型的不确定度评定

测量模型根据其表达式形式可分为显函数和隐函数两种，不同形式模型的不确定度评定过程会有一定差异，但原理基本相同。

4.1 显函数模型

如果测量模型中具有多个输出量Y1,Y2,...,Ym，且测量模型可表示为

其中Y=(Y1,Y2,...,Ym)T，则该模型为显函数形式，f代表了测量函数。任意具体的函数 fj(X)只与X的某个子集相关，而每个输入量分量Xi出现在至少一个函数中。

当X的估计值为x时，则Y的估计值为y=f(x)。y的协方差矩阵表示为

式中：Cx——X=x时的m×N维灵敏系数矩阵。灵敏系数矩阵表示为

以式（2）所表示的测量过程对本方法进行举例说明。当使用上文的符号进行相关表示时，有N=8，m=2，以及

其中的下标R和I分别表示实部和虚部。那么反射系数的估计值可根据式（2）计算获得。当 X=x，Ux为x的8×8维协方差矩阵时，y的2×2维的协方差矩阵Uy可由式（5）计算，其中2×8维的灵敏系数Cx由下式给出

代入具体数据后，就能够获得所有输出量的不确定度。

4.2 隐函数模型

某些情况下，测量模型只能以隐函数形式表示

h=(h1,h2,…,hm)T代表了若干测量表达式。当X的估计值为x，Y的估计值为y时，有

通常式（8）的解很难直接获得，需要利用例如牛顿法[5]或牛顿法的衍生方法，通过迭代获得最终解。

y的m ×m维协方差矩阵Uy可由式（9）获得

Cy是m ×m维灵敏系数矩阵，其中包括偏导数∂hl/∂Yj，l=1,2,…,m ，j=1,2,…,m ；Cx是m×N维灵敏系数矩阵，其中包括偏导数∂hl/∂Xi，l=1,2,…,m ，i=1,2,…,N。所有导数都在X=x和Y=y时获得。

为了形式上与式（4）相比较，式（9）可进行变形，得到

将式（3）的例子用上文的符号进行表示。因为要获得三个复校准系数的解必须具有至少三次测量过程，所以有N=12，m=6，以及

令h2j-1(Y,X)=0和h2j(Y,X)=0分别代表式（3）中涉及实部或虚部计算的隐函数形式方程，其中有j=1,2,3。将由此得到的6个方程联立，Wj和Гj的估计值代入后计算得到校准系数的估计值

在 X=x，Y=y时，根据式（9）计算得到y的6×6维协方差矩阵Uy，其中Cy是包含 ∂hl/∂Yk的6×6维灵敏系数矩阵，Cx是包含 ∂hl/∂Xi的6×12维灵敏系数矩阵，l=1，2，…，6，k=1，2，…，6，i=1,2,…,12 ，Ux是x的12×12维协方差矩阵。

在本示例中，虽然有12个输入量，但是由测量过程可以分析得出，6个方程的任意一个只涉及4个输入量Wj,R,Wj,I,Γj,R,Γj,I，这会使原计算变得更为简单。

5 矢量输出量的包含范围

包含范围是不确定度的重要评价指标。对多输出量测量模型而言，输出量Y=(Y1,Y2,...,Ym)T的估计值为y，其协方差矩阵为Uy。当要求的包含概率为p时，则需要在m维空间中确定一个包含范围RY，使Y以概率p落在该范围中。通常，当Y的PDF确定后，无论是某个具体包含范围的包含概率，还是具有某个包含概率的包含范围，都是已经确定的。

当测量模型中包含多输出量时，对其直观地表示将很困难。而双输出量测量模型是最简单的多输出量测量模型，足以说明多输出量的包含范围与单输出量的包含区间之间的区别。本文将利用双输出量测量模型对包含范围进行阐述。

假设如下情况：在直角坐标系中，Y=(Y1,Y2)T分别对应坐标轴Y1（横坐标）和Y2（纵坐标）。Y的已知信息包括估计值y1和y2，对应的标准不确定度u（y1）和u（y2），以及由相同仪器获得估计值所产生的协方差u（y1，y2）。在GUM不确定度框架中，由于没有其它信息，表征Y的联合PDFgY1,Y2(η1,η2)为双变量高斯PDFN(y,Uy)，其中：

当y1=y2=0，u2（y1）=2.0，u2(y2)=1.0，u(y1,y2)=u(y2,y1)=0.0时，在该分布下进行1000次随机抽样，如图1（a）所示。图中矩形表示的是95%包含概率的包含范围，面积27.9。矩形包含范围是通过分别计算每个输出量的边缘PDF获得的

当y1=y2=0，u2(y1)=u2(y2)=2.0，u(y1,y2)=u(y2,y1)=1.9时，1000次随机抽样如图1（b）所示，95%包含概率的矩形的包含范围，面积35.6。

需要指出，矩形包含范围只是包含范围众多表示形式中的一种。另一种常用的包含范围是椭圆形式[6]：

式中：kp——已知的常数；p——取该PDF时椭圆范围中的概率。

该形式能够更好地表现输出量之间的关系。例如对于图1（b）中的随机分布来说，两个输出量是相关的，当矩形的边长与坐标轴平行时，其表示的包含范围中大部分区域中并无数据，无法很好地反映数据分布，而相同包含概率下，椭圆形式的包含范围会小得多，所以更加合理。

若输出量多于两个，那么该测量模型很难通过直观的图形方式进行分析，但寻找包含范围的原理及计算方法与双输出量模型中是相同的，只不过将其中的矩形、椭圆等二维图形换为超矩形、超椭球体等多维体。

6 结束语

根据GUM不确定度评定方法，提出了针对显函数和隐函数类型的多输出量测量模型的测量不确定度评定方法，并利用双输出量测量模型，举例说明了如何获得给定概率的矩形或椭圆包含范围。利用本论文的结果，能够将GUM方法的应用拓展到多输出量测量模型领域，为测量不确定度的评定提供新的思路。

[1]国家质量监督检验检疫总局.JJF 1059.1-2012，测量不确定度评定与表示[S].北京：中国质检出版社，2012.

[2]Engen G F.Microwave circuit theory and foundations of microwave metrology[M].London：Peter Peregrinus，1992.

[3]Kerns D M，Beatty R W.Basic theory of waveguide Junctions and introductory microwave network analysis[M].London：Pergamon Press，1967.

[4]国家质量监督检验检疫总局.JJF 1059.2-2012，用蒙特卡洛法评定测量不确定度[S].北京：中国质检出版社，2012.

[5]Gill P E，Murray W，Wright M H.Practical Optimization[M].London：Academic Press，1981.

[6]Mardia K V，Kent J T，Bibby J M.Multivariate Analysis[M].London：Academic Press，1979.

A Method of Measurement Uncertainty Evaluation for Multivariate Measurement Models

CHEN Bei1GONG Peng-wei1XIE Wen1JIANG He1MA Hong-mei1YANG Chun-tao1，2
（1.Beijing Institute of Radio Metrology and Measurement；2.National Key Laboratory of Metrology and Calibration Technology，Beijing，100039，China）

TB9

A

10.12060/j.issn.1000-7202.2017.03.01

2017-03-01，

2017-06-14

谌贝（1985.12-），男，高级工程师，主要研究方向：无线电计量技术。

1000-7202（2017）03-0001-04