倪志辉，王 伟，吴立春

(1. 重庆交通大学 水利水运工程教育部重点实验室 国家内河航道整治工程技术研究中心，重庆 400074；2. 重庆交通大学 西南水运工程科学研究所，重庆 400016；3.重庆第二师范学院，重庆 400067)



长河段河床纵剖面分形特征研究

倪志辉1,2，王 伟1，吴立春3

(1. 重庆交通大学 水利水运工程教育部重点实验室 国家内河航道整治工程技术研究中心，重庆 400074；2. 重庆交通大学 西南水运工程科学研究所，重庆 400016；3.重庆第二师范学院，重庆 400067)

以长江干流水富至朱沱段为研究对象，建立一维非恒定分形数学模型，将研究河段分作3段，以岷江、沱江汇流口作为分界，计算各分段河道纵剖面分维数。研究表明：纵剖面分维数呈二阶分维特性，且整体分维数小于分段分维数；整体分维数不等于各分段分维数算术平均值；纵剖面分维数随流量增大而不断减小；各分段河道纵坡降随纵剖面分形维数的变化形态类似波形。

航道工程；纵剖面；非恒定流；分形维数；变维分形；数值模拟

0 引 言

枢纽下泄的非恒定流使下游水流条件变得异常复杂，使下游河道的天然水沙过程发生了较大改变，将在一定程度上影响下游河道功能的正常发挥。目前针对枢纽下游长河段纵剖面分形特征的研究还很少，并且还处于理论探索分析阶段，因此枢纽下游长河段纵剖面分维数的研究对下游城市的发展有着重要的战略和现实意义。

20世纪70年代，本华·曼德博在《科学》上发表了《英国海岸线有多长》的文章，分形理论被提出，其作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。许多学者应用分形理论研究流域特征，对河流的分形研究获得了大量成果[1-18]。

蜿蜒性是河流的重要特征，在研究河流的蜿蜒曲折程度等不规则性形态特征过程中诞生了河流的分形维数这个特征量，河流的分维由河长分维和河网分维两种组成[19]。而河长的分维又分为整体分维和局部分维。对于整条河流分维的探讨，即为整体分维，而将河流分段，探讨各分段的分维，即为分段分维(局部分维)。河流的整体分维和局部分维是河流形态的重要特征量，二者有着紧密联系。

枢纽下泄非恒定流中，水位、流量的频繁急剧变化加剧了航道与岸滩的不稳定性，且由于影响因素众多，因此笔者利用分形维数代替多个影响因素，建立数学模型。研究对象为水富(横江汇流口)至朱沱水文站共长约270 km的河段。如图1，根据大量实测地形资料，建立一维非恒定分形数学模型，采用二阶累计和变维分形方法，计算坝下长河段河道纵剖面分形维数，并初步探讨河流长度分段分维数与整体分维数，坡降、流量与纵剖面分维数的相互关系。

图1 水富至朱沱段河道示意Fig. 1 River course schematic of the river section from Shuifu to Zhutuo

1 研究方法

1.1 基本方程

一维水流运动和连续方程：

(1)

(2)

式中：A为过水面积；Q为流量；U为断面平均流速；Z为水位；B为水面宽度；x为河段水平方向，沿下游为正；t为时间；ρ为水的密度；τb为河底切应力。

由于所研究的问题为长河段、长时段内发生的，在实际计算中对方程组进行简化。将整个计算时段划分为小的计算时段，将长河段划分为若干个短河段，可按恒定非均匀流考虑，水流运动变为

(3)

(4)

式中：Z2、Z1为计算段上、下游断面水位；V2、V1为计算段上、下游断面平均流速；α2、α1为计算段上、下游断面的动能修正系数,一般取1.05；hf为沿程水头损失；hj为局部水头损失。

在流量、尾门位和水头损失确定后，即可由式(4)算出河道断面的各水力要素。

1.2 变维分形

按照B.B.MANDELBROT[20]的定义，分形分布满足如下关系式:

s=Ay1-D

(5)

式中：S为欧氏长度；y为度量尺码；D为分形维数；A为比例常数。

天然河道纵剖面分维，也存在统一的自相似性:

L=AQ1-D

(6)

式中：L为欧氏长度；Q为流量；D为分形维数；A为比例常数。

对式(5)两端取自然对数得

lnL=lnA+(1-D)lnQ

(7)

把lnL绘于y轴，lnQ绘于x轴，用最小二乘法进行直线拟合，它的斜率取为1-D，即可得出分维值D。

当D为常数时，这种分形称为常维分形。若D与特征线度呈函数关系，则称之为变维分形。笔者采用由累计和序列获得的分维模型，称为“累计和分形”[21]。

1.3 计算河段的划分

由于河流长度分维反应了河流弯曲程度，而天然河流的不同分段的弯曲程度不尽相同，所以，笔者将河流分段，研究各分段与整体分维之间的关系。笔者以岷江、沱江汇流口为分界点，将水富(横江汇流口)至重庆朱沱水文站的全长270km的长江干流河段分作3段进行计算。第1段为水富(横江汇流口)至宜宾(岷江汇流口)段，起点航道里程为1 073，终点航道里程为1 044。第2段为宜宾(岷江汇流口)至泸州(沱江汇流口)段，起点航道里程为1 044，终点航道里程为912。第3段为泸州(沱江汇流口)至朱沱水文站，起点航道里程为912，终点航道里程为805。笔者所述航道里程表示距宜昌距离，单位为km。为了保证计算结果的合理性与精度要求，研究河段布置了280个断面，如图2。金沙江江床地形图为2008年3月测量；长江干流江床地形图为2009年3月测量。

图2 水富至朱沱段一维计算断面布置Fig. 2 1-D arrangement of river section from Shuifu to Zhutuo

1.4 一维数学模型验证

1.4.1 水位验证

由于研究河段较长，限于篇幅，本次验证仅以有实测瞬时水面线资料的烧瓦沱至栈桥滩河段、桐梓林至黄葱咀河段、宜宾至李庄河段为例，分别验证不同流量级下3个河段的水面线计算结果。烧瓦沱至栈桥滩河段验证流量选取为洪水Q=10 322 m3/s、中水Q=8 660 m3/s和枯水Q=1 770 m3/s；桐梓林至黄葱咀河段验证流量选取枯水Q=1 770 m3/s；宜宾至李庄河段选择枯水与洪水两级流量Q=2 960 、10 322 m3/s进行验证。计算值与实测值绘于图3。由图3可知，模型与原型水位差值在±0.16 m以内，误差较小，计算结果与实测资料吻合度高。

(a)烧瓦沱至栈桥滩段水位验证

(b)桐梓林至黄葱咀段水位验证

(c)宜宾至李庄段水位验证图3 水位验证结果Fig.3 Water level verification resnlts

1.4.2 流速验证

限于篇幅，仅以有实测流速资料的马皮包滩至和尚岩滩、栈桥滩至碎米滩河段、宜宾至李庄河段为例，分别验证不同流量级下3个河段的流速计算结果。烧瓦沱至栈桥滩河段选取验证流量分别为洪水Q=10 322 m3/s、中水Q=8 680 m3/s和枯水Q=1 770 m3/s；栈桥滩至碎米滩河段选取洪、中、枯3级流量验证，验证流量分别为Q=10 322、8 680、1 770 m3/s；宜宾至李庄河段选取验证流量分别为枯水Q=2 960 m3/s和洪水Q=10 322 m3/s。计算值与实测值绘于图4。

(a)烧瓦沱至栈桥滩段流速验证

(b)栈桥滩至碎米滩段流速验证

(c)宜宾至李庄段流速验证图4 流速验证结果Fig.4 Flow velocity verification results

由图4可知，计算流速与实测流速的差值在±0.4 m/s以内，误差较小，计算结果与实测资料吻合度高。

1.5 糙率选取

河道糙率作为水力计算的主要参数，与河道糙率与河道水位、断面形状、坡降等参数相关，需要用实测资料进行率定。长江上游河道糙率取值一般在0.03以上。根据数模计算结果，天然情况下研究河段糙率值变化很小，可采用线性内插法进行取值，将各分段天然状态下部分流量级别下糙率值列于表1。

2 河道纵剖面分维数

依据第1节研究方法所述，以长江主干道实测地形图为资料，统计特征流量下长江主干道的左右岸长度，结果见图5。

从图5可知，数据点分布趋势不呈直线形式，说明研究河段长度呈现变维分形关系，需建立变维分形模型对其进行处理。因此采用累计和变维分形的方法对长河段河流长度分形进行计算，左岸计算过程见表2。右岸计算过程与左岸相同，计算结果见图6及表3。

表2 水富至朱沱段左岸变维分维维数计算结果Table 2 Calculation results of variable fractal dimension of the left river bank of the river section from Shuifu to Zhutuo

图6 水富至朱沱段2阶累计和整体分维序列Fig.6 Second-order accumulation and integral fractal dimension sequence of the river section from Shuifu to Zhutuo

岸别直线相关方程分维值相关系数R2长江干流左岸2阶y=1.1017x-6.96442.07380.9995长江干流右岸2阶y=1.1057x-7.04272.07330.9995

注：y=lnQi，x=lnS2

由图6可看出，经2阶累计和分形变换后，数据点与拟合直线吻合很好，说明水富至朱沱段河流分维呈现2阶累计和分形关系。经过计算，河段左岸分维数为D2=2.073 8，相关系数R2=0.999 5；右岸分维数D2=2.073 3，相关系数R2=0.999 5,均能通过F显著性检验。由此可见，水富至朱沱段河流长度具有二阶分维特性。

3 分析与讨论

笔者分别计算了研究河段的纵剖面分段分维数及整体分维数，将从分段分维数和整体分维数，纵剖面分维数与流量，纵剖面分维数与河道纵坡降3者的关系来探讨河道纵剖面分形特性。

3.1 分段分维数

忽略较小支流的入汇，以岷江、沱江汇流口作为分界点，将水富至朱沱270 km河段分作3段，即水富至宜宾段、宜宾至泸州段、泸州至朱沱段，按左、右岸分开计算各河段的分维数。计算结果见表4和图7～图9。

表4 分段计算数据直线相关方程及2阶累计和分维值计算结果

注：y=lnQi，x=lnS2

图7 水富至宜宾段2阶累计和分段分维序列Fig.7 Second-order accumulation and subsection fractal dimension sequences of the river section from Shuifu to Yibin

图8 宜宾至泸州段2阶累计和分段分维序列Fig.8 Second-order accumulation and subsection fractal dimension sequences of the river section from Yibin to Luzhou

图9 泸州至朱沱段2阶累计和分段分维序列Fig.9 Second-order accumulation and subsection fractal dimension sequences of the river section from Luzhou to Zhutuo

由图7～图9可看出，水富至宜宾段左岸分维数为D2=2.078 2，相关系数R2=0.999 6，右岸分维数D2=2.077 9，相关系数R2=0.999 5；宜宾至泸州段左岸分维数为D2=2.098 3，相关系数R2=0.999 2，右岸分维数D2=2.098 2，相关系数R2=0.999 5；泸州至朱沱段左岸分维数为D2=2.101 8，相关系数R2=0.999 4，右岸分维数D2=2.101 6，相关系数R2=0.999 3，均能通过F显著性检验。说明数据点与拟合直线吻合地很好，即各分段具有较好的二阶分维特征，得到的分形维数能够很好地反映各分段河道的特征。

3.2 整体分维数与分段分维数的关系

表5为水富至朱沱段的整体和分段分维数结果。由表5可知，整体分维数小于各分段分维数。全河段左岸分维数为2.073 8，水富至宜宾段左岸分维数为2.078 2，比全河段左岸分维数增加了0.21%；宜宾至泸州段左岸分维数为2.098 3，比全河段左岸分维数增加了1.18%；泸州至朱沱段左岸分维数为2.101 8，比全河段左岸分维数增加了1.35%，由此可知分维数不断增大，右岸亦如此，即整体分维数小于各分段分维数[22]。

表5 水富至朱沱段整体及分段分维数计算结果Table 5 Calculation results of integral and subsection fractal dimension of the river section from Shuifu to Zhutuo

由表5可知，整体分维数并不等于各河段分维数的算术平均值[23]。各河段左岸分维数算术平均值为2.092 8，并不等于全河段左岸分维数2.073 8；各河段右岸维数算术平均值为2.092 6，并不等于全河段右岸分维数2.073 3。所以全河段整体分维数不等于各河段分维数的算术平均值。

3.3 纵剖面分形维数与流量的关系

对研究河段3个分段的左、右岸纵剖面分维数进行了计算，其相关系数都在0.99以上，说明数据点与拟合直线吻合得很好，流量与河道长度具有很好的相关性。将左、右岸Q=1 000～10 322 m3/s流量对应的分维数绘于图10。由图10可知，纵剖面分形维数随着流量不断增大而不断减小。

图10 水富至朱沱段分形维数与流量关系Fig. 10 Relationship between fractal dimension and flow of the river section from Shuifu to Zhutuo

随着河道来流量的加大，河岸逐渐被淹没，河道弯曲程度逐渐变小[23]。因此，河道纵剖面分维数随流量增大而减小。

3.4 纵剖面分形维数与河道纵坡降的关系

笔者统计了各河段在Q=1 000～10 322 m3/s流量下的河道纵坡降。图11～图13分别绘制了3个河段纵剖面分形维数与河道纵坡降关系曲线。由图11～图13可见，水富至宜宾段左岸，随着流量增大，分维数减小，河道纵坡降不断增大，分维数为2.099 7时坡降达到最大值0.249 7‰，对应流量2 310 m3/s；分维数继续减小，坡降开始减小，分维数为2.081 6时坡降达到最小值0.212 6‰，对应流量3 969 m3/s；之后坡降随分维数减小而增大。宜宾至泸州段左岸分维数与河道坡降的变化规律与水富至宜宾段相类似。而泸州至朱沱段左岸河道纵坡降与分形维数的变化曲线则与上述两段不同，整体来说河道纵坡降随着分维数减小而增大，分维数为2.123 5时坡降达到最大值0.260 7‰，对应流量796 9 m3/s；之后坡降随分维数减小而减小。各河段左、右岸纵坡降随分形维数的变化规律基本相同，坡降随分形维数的变化曲线类似波形。

图11 水富至宜宾段分形维数与纵坡降关系Fig. 11 Relationship between fractal dimension and the gradient of the river section from Shuifu to Yibin

图12 宜宾至泸州段分形维数与纵坡降关系Fig. 12 Relationship between fractal dimension and the gradient of the river section from Yibin to Luzhou

图13 泸州至朱沱段分形维数与纵坡降关系Fig. 13 Relationship between fractal dimension and gradient of the river section from Luzhou to Zhutuo

水富至宜宾段位于向家坝下游，河床受枢纽下泄水流冲刷严重，河床床面形态变形加剧，床面高低不平，高程相差较大，且该河段地区地形高程相差较大，故坡降分维关系曲线呈现骤升骤降态势,与简谐波形状相似。宜宾至泸州段经岷江、横江汇流，流量较大，河床冲刷严重，坡降分维关系曲线亦骤升骤降。而泸州至朱沱段地区地形较为平缓，水流较为平稳，故坡降分维关系曲线较为平滑，与简谐波形状相似度最高。这进一步揭示了流量、坡降、纵剖面分维数3者之间的关系，为城市防洪和航道整治等工程问题的解决提供一种新的依据。

4 结 论

1)笔者研究对象为向家坝下游约270 km的长河段，建立了一维非恒定-分形数学模型，该模型的计算结果与原型实测资料吻合良好，验证精度符合要求，表明该模型合理可靠。

2)研究河段左岸分维数为D2=2.073 8，相关系数R2=0.999 5；右岸分维数D2=2.073 3，相关系数R2=0.999 5，且均能通过F显著性检验。

3)水富至宜宾段左岸分维数为D2=2.078 2，相关系数R2=0.999 6，右岸分维数D2=2.077 9，相关系数R2=0.999 5；宜宾至泸州段左岸分维数为D2=2.098 3，相关系数R2=0.999 2，右岸分维数D2=2.098 2，相关系数R2=0.999 5；泸州至朱沱段左岸分维数为D2=2.101 8，相关系数R2=0.999 4，右岸分维数D2=2.101 6，相关系数R2=0.999 3，且均能通过F显著性检验。

4)研究河段纵剖面分形维数呈2阶分维特性，且分段分维数大于整体分维数；各分段纵剖面分维数的算术平均值不等于整体分维数；纵剖面分维数随流量增大而减小；各分段河道纵坡降随纵剖面分形维数的变化曲线类似波形。

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(责任编辑：谭绪凯)

Fractal Characteristics of Longitudinal Section of River Bed

NI Zhihui1, 2, WANG Wei1, WU Lichun3

(1. Key Laboratory of Hydraulic and Waterway Engineering of the Ministry of Education, National Engineering Research Center for Inland Waterway Regulation, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, P. R. China; 2. Southwestern Research Institute of Water Transportation Engineering, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400016, P. R. China; 3. Chongqing University of Education, Chongqing 400067, P. R. China)

Taking Shuifu to Zhutuo section in mainstream of the Yangtze River as the research object, an unsteady and fractal mathematics model with one-dimension was established. The studied section was divided into 3 segments, and the confluence of Minjiang River and Tuojiang River was taken as a demarcation. The fractal dimension of longitudinal section in river profile was calculated. The research indicates that: the fractal dimension of longitudinal section has two order fractal characteristics, and the overall fractal dimension is smaller than that of the piecewise. The value of overall fractal dimension is not equal to the arithmetic mean of fractal dimension of various sections. Fractal dimension of longitudinal section decreases as the flow increases. The longitudinal slope in various sections of river course is changing with the fractal dimension of longitudinal section, whose morphology is similar to the wave shape.

waterway engineering; longitudinal section; unsteady flow; fractal dimension; variable dimension fractal; numerical simulation

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.07.10

2015-09-12；

2016-11-12

国家重点基础研究发展计划项目(2016YFC0402104)；重庆市基础与前沿研究计划项目(cstc2016jcyjA0380)；省部共建水利水运工程教育部重点实验室暨国家内河航道整治工程技术研究中心开放基金项目(SLK2016B03)；内河航道整治技术交通行业重点实验室开放基金项目(NHHD-201514)

倪志辉(1980—)，男，湖南衡阳人，博士，副研究员，主要从事河流海岸水动力学、环境及数值模拟方面的研究。E-mail：benny251@163.com。

TU612.3

A

1674-0696(2017)07-058-08