管燕妮

摘 要：利用几何画板，可以给学生一个“操作数学”的环境，把抽象的数学教学变得形象、直观动态展示教学内容或数学问题，达到“举一反三”的效果，开拓学生视野。本文由一道数学题呈现出了两圆的位置关系决定了轨迹的类型。体现了几何画板对于研究性学习的强大效果。

关键词：几何画板；轨迹；研究

数学是一门抽象的学科，因而数学教学应注重揭示数学思维活动的全过程，拓宽解题思路，提高应变能力。數学教学的最根本目标是培养学生能够独立思考问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识和创造性的逻辑思维方式。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，更重要的让学生在学习中学会运用课本的知识达到“举一反三”的效果。

而利用几何画板，可以给学生一个“操作数学”的环境，把抽象的数学教学变得形象、直观动态展示教学内容或数学问题，能够化抽象为具体，化具体为形象，因而，使教学更加直观、生动，有利于激发学生的学习兴趣，增强教学的趣味性。数形结合思想是一个非常重要的数学思想。数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”几何画板为“数形结合”创造了一条便捷的通道，它不仅对几何模型的绘制提供信息，同时，可以解决学生难以绘制的图形，而且提供了图形“变换”的动感。高中数学学习的内容跨度大、抽象性强，只有促进高中学生对数学知识的深刻理解，才能达到掌握和灵活应用数学知识的目的。因此，只有在变化环境下反复理解，学生的认识才能不断深入。

例：一动圆与圆[（x+5）2+y2=4]内切，同时与圆[（x-5）2+y2=36]外切，求动圆圆心的轨迹方程。

根据题意可求得其轨迹方程为[x26+y29=1]，是双曲线。此时，我们会考虑，是不是只要是和两个定圆一个内切，一个外切，动圆圆心的轨迹方程总是双曲线呢？如果是用传统教学，这研究起来复杂，计算量大，且不生动形象。而如果用了几何画板来进行研究，就节约了不少时间，且容易让学生总结出结论。

试想，此动圆圆心的轨迹是否会和两定圆的位置关系有关。发现，题中所给的两个动圆是相离的关系，如果是相交，相切，内含的关系，会是什么样的结果。这时我们可利用几何画板作两个可以变换位置关系的圆来进行研究。具体做法如下：

（1）任意取两定点[F1]、[F2]为圆心，使用左边工具栏中的画圆工具分别作出两个圆，使得两个圆的位置关系为相离；

（2）在其中一圆（如圆[F1]）上任取一点[A]，以[A]为圆心，另一圆半径（如r2）为半径作圆，构造直线[AF1]与该圆的交点为[M]，[N]（假设[M]是距离点[A]较远的点，点[N]是距离点[A]较近的点）；

（3）构造线段[MF2]，并作出线段[MF2]的垂直平分线与直线[AF1]的交点为[P]，以[P]为圆心，[PA]为半径作圆，并显示为虚线，则圆[P]分别与圆[F1]内切，与圆[F2]外切。

不难证明，因为[PF2=PM]；

所以[PF2-PF1=PM-PF1=r1+r2]为常数，依次选中点[P]、[A]，点击菜单中构造-轨迹，便可构造出圆心P的轨迹，而该圆心轨迹就是以[F1]、[F2]为焦点、[r1+r2]为实轴长的双曲线（如图）。

（4）美化界面，保留圆[F1]、圆[F2]的控制点，其余不必要的都可以隐藏掉。

（5）拖动圆[F1]或圆[F2]的控制点，便可以得到当两圆相切、相交、内含时圆心[P]的轨迹。部分效果图如下：

从不断改变两圆的位置关系，可得出不同的轨迹，让学生开拓了视野，也让学生了解到此题中的轨迹并不是永远为双曲线，会随着两圆的位置关系的改变而改变，使学生得到了举一反三的效果。

运用几何画板有效地拓展了学生学习的空间，培养了学生研究的兴趣、解决问题的欲望及发现问题和解决问题的能力。学生的学习积极性、主动性有明显的增强。同时也能让学生真正的动手操作、观察、研究、思考。

数学学习不应是一个被动吸收知识、记忆、反复练习强化的过程。一个有意义的学习过程，是学生以一种积极的心态，调动原有的知识和经验，尝试解决问题，同化新知识并建构新的认知结构的过程。所有的新知识只有通过学生再创造的活动，使其纳入原有的认知结构中，才可能成为有效的知识。只有这样，学生获得的才是真正的数学经验，而不仅仅是一些抽象的数学结论。

参考文献：

[1]耿秀蓉.“几何画板”在命题变式教学中的应用[J].宁夏师范学院学报，2011，（6）.

[2]何立特.几何画板在探究轨迹问题中的应用[J].河南教育学院学报，2009，（9）.