王一超 靳晓庆 王云雷 王 俊 庞永俊

(1.河北建筑工程学院，河北 张家口 075000;2.宁波大学机械学院，浙江 宁波 315211)

有效发射率的计算方法

王一超1靳晓庆1王云雷1王 俊2庞永俊1

(1.河北建筑工程学院，河北 张家口 075000;2.宁波大学机械学院，浙江 宁波 315211)

有效发射率在辐射计算中有着十分重要的作用，在非接触式辐射测温设备中，黑体是测温设备中十分关键的组成部分，而黑体的有效发射率的精确测量直接影响到测温设备的准确性.为此，总结了多种有效发射率的计算方法，对各种方法的原理算法进行了介绍，对比了各方法中存在的联系与不足.由推导过程发现，积分法和多次反射法在等温漫射条件下，精度较高，但对于不同形状的腔体计算较为复杂；蒙特卡洛法在等温非等温条件下均适用，对空腔形状和腔体微元的辐射特性处理有很好的适应性，且计算简单，结果精确.

有效发射率；蒙特卡洛法

0 研究背景

黑体空腔的有效发射率在光度学辐射度学等领域具有重要的价值，空腔的有效发射率是评价其接近理想黑体的程度.由于黑体空腔设计通常采用球型、柱型、柱锥型等结构，所以空腔有效发射率的计算多以上述轴对称形状的空腔为研究对象[1].

自Buckley提出了求解漫射圆筒空腔辐射特性的积分方程后[2]，研究人员对轴对称黑体空腔进行了研究.但在实验方面存在不完全收集辐射、腔体温度等参数测量不准确的弊端，使得实验研究有所不足，此不足在理论计算中得以弥补.

计算空腔有效发射率主要有积分方程方法、多次反射方法和蒙特卡洛方法.采用合适的算法对于求解空腔发射率有着重要的意义，本文分别介绍了各类方法计算原理，并对不同算法的特点和不足进行了说明.

1 基于腔体等温条件的计算方法

1.1 积分方程理论

1.1.1 Gouffe算法

图1 Gouffe模型示意图

国外学者G.Ribaud和A.Gouffe[3]在20世纪四十年代最先提出了一个单孔空腔的有效发射率的计算公式，Gouffe公式.

图1中，设功率为P0的辐射束从腔孔表面垂直入射到腔内壁x位置的微元面，产生辐射强度为E(x),若将被照射的微小面积看作辐射源，则其辐射出射度为M(x)=ρE(x),ρ为壁面反射率，然后逐次计算辐射在腔体内反射后，从腔孔逸出的辐射功率，并按次相加求和，从而可得，腔孔的有效吸收率，然后根据基尔霍夫定律可得，腔孔的有效发射率即为腔孔的有效吸收率，表示为[4]：

(1.1)

(1.2)

式中，A为空腔开孔面积；St为空腔内表面面积，R为腔体开孔半径，L为腔体深度.

但是，由于推导中认为腔内的辐射分布经两次反射后是均匀的，因此仅适用于球形，圆柱形和圆锥形.此外，Bartell[5]等人指出当腔体开的孔口较大时，离开中心轴的后壁面会存在较大误差，特别是当后壁倾斜时产生的误差更大.所以对于计算圆锥形这类空腔时，该种方法不再适用.

1.1.2 Buckley-Sparrow算法

Buckley-Sparrow算法由Buckley[6]于1927年最先提出，后由Sparrow[7-10]于1962年进行修改完善.该方法是假设空腔壁面是等温漫射，面元本身发射的能量，与空腔中其它壁面发射在该面元上的反射能量的和即为空腔内壁各点辐射的实际有效能量.

在壁面某微元dAx0处，有效辐射为，

εα(x0)=εEb(Tx0)+(1-ε)∫εα(x)dXx0x

(1.3)

式中，J为半球有效发射率，ε为壁面材料固有发射率，X为角系数[11].

由角系数的相对性得，

Xx0,xdAx0=Xx,x0dAx

(1.4)

根据有效发射率定义得，

εa=J/Eb(T0)

(1.5)

得黑体空腔有效发射率分布公式为：

εa(x0)=εEb(Tx0)/Eb(T0)+(1-ε)∫εa(x)Xx0,x

(1.6)

Buckley-Sparrow算法成立的基本前提是假定腔体壁面为漫发射和漫反射体，虽然该假定为理想状态，但是实际中的许多工程材料可近似为漫射体，因此采用该种方法计算，精确度有所提高.但从公式中可以发现，即使对简单形状进行计算，Sparrow法仍然比较复杂，存在一定的不适用性.

1.1.3 Buckley-Sparrow算法改进

东北大学谢植、高魁明[12,13]等提出一种矩形区域近似法，将区域壁面近似分割成若干等分的方形而非梯形结构，采用矩形区域近似法以后，上述方程变为

(1.7)

经矩形区域近似以后得如下代数方程:

(1.8)

式中，Ai=|Xx0,xi+1-Xx0,xi|

此方法将积分求解转化为代数求解问题，且采用矩形区域近似方法，可以有效改善采用梯形区域法中奇点造成精确度不高的问题.

1.2 多次反射理论

Devos[14]在1954年根据多次反射理论提出了一个黑体空腔有效发射率的表达式，该公式与Gouffe公式不同，没有假设腔体壁面是漫反射，不推导吸收比，对任意形状的腔体适用.

Devos模型如图2所示.

图2 Devos模型示意图

假设腔体恒温且腔壁均匀，对任意形状空腔，腔体开孔面积do，腔体壁面上某一微元面dA，根据多次反射理论，腔体有效发射率近似为微元dA在开口方向的有效发射率减去do直接和间接由dA反射在do方向的有效发射率，由此得微元面dA向空腔开口do方向的有效发射率为[15]：

(1.9)

式中，ρ为定向反射率；dΩ为两微元面间的立体角.

由于三级及以上的辐射反射项的值很小，可以忽略不计，工程上多用二级计算公式计算有效发射率.这种数学模型已经十分接近实际黑体空腔，然而该方法计算过程相当复杂.

2 基于腔体非等温条件的计算方法

上述计算存在局限性，在推导过程中都存在腔体壁面恒温且均匀的假设，是针对等温漫射或等温漫反射空腔壁面有效发射率的，在非等温漫反射的条件下不适用.

文献[16]指出辐射腔体温度分布的均匀性决定了辐射光谱的偏离程度.实际的腔体辐射均存在温度分布不同的不等温性.因此基于均匀温度分布计算的有效发射率，对于温度非均匀情况下的辐射会产生不容忽略的偏差.

褚载祥等[17]对等温漫反射有效发射率计算公式加以修改，在原公式的基础上考虑非等温条件，将温度修正系数与波长修正系数添加到公式中，并假设腔体底面与壁面各存在一温度分布函数T，以带盖圆筒空腔为例，计算腔底光谱有效发射率分布为，

(2.1)

同样可得沿筒面轴向的光谱有效发射率分布为，

(2.2)

沿盖面径向光谱有效发射率分布为，

(2.3)

联立方程，此方程组中各项角系数的计算与等温假设下的计算完全一致，由空腔的几何参数确定，而与温度的分布无关.

此方法的局限性在于需要对不同的空腔进行温度分布的测定，研究其他腔形时各项角系数需重新计算，在开孔较多，孔形状复杂的条件下温度测定与角系数计算十分复杂.

谢顺康[18]提出通过对Gouffe算法进行系数修正从而计算非等温漫射黑体空腔壁表面局部有效发射率的新算法，导出了漫射非等温黑体空腔的新公式.引入平均几何因子和温度修正因子，假设该因子不随反射次数的变化而变化，修改后的Gouffe方程为，

(2.4)

式中，Aw=∫s0dXw,0

μw为温度修正因子，表示计算点对空腔壁上各点(面元)的几何因子的加权平均值；Bw为平均几何因子，体现了非球面空腔壁面引起的发射率值的相对偏离程度.

这种计算方法不能像原Gouffe公式进行代数运算，因其假设修正系数的变化与反射次数无关，所以在空腔形状近似球形的条件下准确度较高，但对其他形状的空腔的适应性不强，这也是Gouffe公式本身带有的局限性.

3 蒙特卡洛法

蒙特卡洛法最初由Howell和Perlmutter[19]提出，将概率模型运用到黑体空腔发射率模拟计算中，由Heinisch[20]和Ono A[21]先后将其应用于空腔有效发射率的计算中，提出了利用蒙特卡洛数学模型计算黑体空腔有效发射率的方法，Sapritsky[22]在等温状态的基础上考虑了腔体的不等温性和周围的环境辐射对腔体有效发射率的影响，并进行修正.盛健[23]和方茜茜[24]将蒙特卡洛算法和Sparrow积分算法等其他算法进行了对比，验证了蒙特卡洛算法的正确性.黄东涛[25]在Sapritsky基础上指出其对于空腔壁面二维不等温性考虑不足，忽略了环境辐射的影响，并对其进行了系数修正.

蒙特卡洛法计算黑体空腔有效发射率的计算方式，主要有直接法和间接法两种[26].

直接法的主要原理为，把辐射能流看做N根光束，每根光束独立携带一定能量E，光束从空腔壁面上各发光点发射，射出位置位置由一随机数决定.各光束能量的大小与其发射点位置的温度有关.将任一光束携带的能量分配为两部分，一部分不通过任何壁面反射，直接从空腔口射出，另一部分能量则在空腔内经过若干次反射，由一随机数决定光束运动是镜面反射还是漫反射，如此对随机性的物理过程进行跟踪计算，直到光束从空腔出口逸出或被某处腔壁面吸收为止，由此确定空腔的辐射特性.

空腔发射率可写为

(3.1)

式中，Eout(λ,T)为空腔口辐射出去的辐射功率；Eb(λ,T0)为温度为T0，波长为λ时，黑体单色辐射功率；A为空腔开孔面积.

间接法在直接推导的基础上，根据基尔霍夫定律，当空腔壁面处于辐射热平衡时，发射率在数值上等于吸收率，从而求得发射率.对于间接法求解有两种思路，即几何概率法和能量法.几何概率法是追踪随机的某一光束，通过光束的吸收能量比重的减小来观测光束的反射和出腔特性，由此计算等温空腔的有效发射率；能量法则是对光束进行逆向的追踪，根据辐射能量的变化来修正空腔有效发射率的不等温问题.研究中多见几何概率方法.

通过跟踪取样的光束，追踪其随机性反射直到能量接近消失或光束出射，统计出所有发射光束在离开腔口时的能量，

求出空腔有效反射率为，

(3.2)

等温空腔有效发射率为，

(3.3)

蒙特卡洛法的优点是对于复杂空腔形状和腔体微元的辐射特性处理有很好的适应性，且便于计算机计算，不需考虑收敛，计算的发射率精度高，是一种较好的计算方法.

4 结 论

本文总结了多种有效发射率的计算方法，对各种方法的原理算法进行了介绍，对比了各方法中存在的联系与不足.由推导过程发现，积分法和多次反射法在等温漫射条件下，精度较高，但对于不同形状的腔体计算较为复杂；相对而言，蒙特卡洛法在等温非等温条件下均适用，对空腔形状和腔体微元的辐射特性处理有很好的适应性，且计算简单，结果精确，是一种较好的评价发射率的方法.

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Introduction of the Calculation Methods of the Effective Emissivity

WANGYi-chao1,JINXiao-qing1,WANGYun-lei1,WANGJun2,PANGYong-jun1

(1.Hebei University of Architecture,Zhangjiakou,Hebei 075000;2.Mechanic Engineering Institute of Ningbo University,Ningbo,Zhejiang 315211)

Effective emissivity has a very important role in the radiation calculations.In the non-contact radiation thermometry devices,blackbody is a very critical component for temperature measuring,and accurate measurement of the effective emissivity of the blackbody temperature directly affects the accuracy of the device.Therefore,a variety of the calculation of the effective emissivity is summarized,the principle of the algorithms is described,and lack and contact of various methods are contrasted.Discovery of the derivation finds that the integration and multiple reflection methods under isothermal diffusion conditions have high accuracy,however,different shapes of the cavity need more complex calculations.Monte Carlo method is applicable under both isothermal and non-isothermal conditions,the processing of the shape of the radiation cavity and the characteristics of the cavity micro-element have good adaptability,and the calculation is simple and accurate.

effective emissivity；Monte Carlo method

2016-11-12

宁波市自然基金项目(2015A610041)

王一超(1988-)，男，硕士，助教，从事建筑环境与工程技术研究.

10.3969/j.issn.1008-4185.2017.02.020

TU 85

A