周儒东

(广东高州中学，广东 茂名 525200)



求二次函数最值问题的一些类型题

周儒东

(广东高州中学，广东 茂名 525200)

本文主要总结了求二次函数最值问题的一些方法，其中包括配方法、函数的单调性、平移对称轴、平移区间、函数的导数等等.

二次函数;最值

二次函数是高中数学必修一的一个非常重要的知识点，其中求二次函数的最值问题更是重中之重，是高一第一学期期中试与期末试中必考内容. 如果我们学生在平时做练习的过程中能够积累一些类型题及类型方法，那么学生不仅能够很好很快地掌握二次函数这个知识点，而且无论是在平时做题还是在考试中更能得心顺手地做题.

下面我们就介绍高中有关二次函数的最值问题的几类型题及其求解方法.

一、配方法

初中所学习的配方法一般用于具体的，其定义域为R的二次函数.

例1 已知f(x)=x2+4x-1，求f(x)的最小值.

解 ∵f(x)=x2+4x-1=(x+2)2-5≥-5,

∴fmin(x)=f(-2)=-5.

二、函数的单调性

函数的单调性是高一学习的用来求二次函数的最值问题的最常用的方法，一般用于具体的，定义在某个区间的二次函数.

例2 已知f(x)=x2+4x-1，求f(x)在区间[-3,1]的最值.

解 ∵y=f(x)的对称轴为x0=-2，开口向上

∴y=f(x)在区间[-3,-2]上单调递减，fmin(x)=f(-2)=-5，fmax(x)=f(-3)=-4；

又y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增，

∴fmin(x)=f(-2)=-5，fmax(x)=f(1)=4.

综上，y=f(x)在区间[-3,1]上的最值为：fmin(x)=f(-2)=-5，fmax(x)=f(1)=4.

三、平移对称轴

高中我们有时会遇到一种对称轴没定的，即一次项含有未知数的二次函数求最值，这时，我们就要学会先定区间，再平移对称轴来讨论.

例3 已知函数f(x)=x2+2ax-1，x∈[-5,5]，求f(x)的最小值.

分析 因为该函数图象的对称轴是个变量：x0=-a，开口……