张优科

(陕西兴平西郊高级中学，陕西 咸阳 713100)



指数函数y=ax图象与直线y=x的交点个数探究

张优科

(陕西兴平西郊高级中学，陕西 咸阳 713100)

关于指数函数y=ax的图象与直线y=x的位置关系问题，因受中学教材及一般教参中图象的直观影响，形成了一种错误认识，本文将从以下01两种情况对这两个函数交点情况进行探讨.

指数函数;图像;交点个数

关于指数函数y=ax的图象与直线y=x的位置关系问题，因受中学教材及一般教参中图象的直观影响，形成了以下的认识：

(1)当0

(2)当a>1时，y=ax的图象恒在直线y=x的上方.

我们要指出的是，(2)是一种错误认识，对于像y=2x，y=10x的图象来说，它们确实在直线y=x的上方，但是当a=1.1>1时，y=1.1x的图象就与直线y=x不但相交，而且有两个交点，因为(2,1.21)在直线y=x的下方.以下我们来探讨y=ax(a>1)图象的特征.

当y=ax图象上点的切线斜率为1，即y′=axlna=1，x=-loga(lna).

如果要求切点在直线y=x上，就应有

于是得到，(1)当a=e1/e时，y=ax的图象与直线y=x相切于(e,e).

(2)当a>e1/e时，无论x≤0还是x>0，都有ax>x，因此y=ax的图象恒在直线y=x的上方.

(3)当1

说明直线x=e与y=ax图象的交点M(e,ae)在它与直线y=x的交点N(e,e)的下方，又x<0时，显然有ax>x，此外当x充分大时，ax>x.因此y=ax的图象与直线y=x有两个交点，且两交点分布在x=e的两侧.

综上得到：当a=e1/e时，y=ax的图象与直线y=x相切于(e,e)；

当a>e1/e时，y=ax的图象恒在直线y=x的上方；

当1

从而纠正了“当a>1时，y=ax的图象恒在直线y=x的上方”的错误认识.从中可领悟高等数学对初等数学的指导意义，以及几何直观在数学学习中既有其积极意义——形象、直观，能启迪思路，但也有其不足的地方——因直观带来的片面性、局限性.所以应全面看待几何直观在数学……