APP下载

指数函数y=ax图象与直线y=x的交点个数探究

2017-07-21张优科

数理化解题研究 2017年16期
关键词:教参指数函数交点

张优科

(陕西兴平西郊高级中学,陕西 咸阳 713100)



指数函数y=ax图象与直线y=x的交点个数探究

张优科

(陕西兴平西郊高级中学,陕西 咸阳 713100)

关于指数函数y=ax的图象与直线y=x的位置关系问题,因受中学教材及一般教参中图象的直观影响,形成了一种错误认识,本文将从以下01两种情况对这两个函数交点情况进行探讨.

指数函数;图像;交点个数

关于指数函数y=ax的图象与直线y=x的位置关系问题,因受中学教材及一般教参中图象的直观影响,形成了以下的认识:

(1)当0

(2)当a>1时,y=ax的图象恒在直线y=x的上方.

我们要指出的是,(2)是一种错误认识,对于像y=2x,y=10x的图象来说,它们确实在直线y=x的上方,但是当a=1.1>1时,y=1.1x的图象就与直线y=x不但相交,而且有两个交点,因为(2,1.21)在直线y=x的下方.以下我们来探讨y=ax(a>1)图象的特征.

当y=ax图象上点的切线斜率为1,即y′=axlna=1,x=-loga(lna).

如果要求切点在直线y=x上,就应有

于是得到,(1)当a=e1/e时,y=ax的图象与直线y=x相切于(e,e).

(2)当a>e1/e时,无论x≤0还是x>0,都有ax>x,因此y=ax的图象恒在直线y=x的上方.

(3)当1

说明直线x=e与y=ax图象的交点M(e,ae)在它与直线y=x的交点N(e,e)的下方,又x<0时,显然有ax>x,此外当x充分大时,ax>x.因此y=ax的图象与直线y=x有两个交点,且两交点分布在x=e的两侧.

综上得到:当a=e1/e时,y=ax的图象与直线y=x相切于(e,e);

当a>e1/e时,y=ax的图象恒在直线y=x的上方;

当1

从而纠正了“当a>1时,y=ax的图象恒在直线y=x的上方”的错误认识.从中可领悟高等数学对初等数学的指导意义,以及几何直观在数学学习中既有其积极意义——形象、直观,能启迪思路,但也有其不足的地方——因直观带来的片面性、局限性.所以应全面看待几何直观在数学学习和研究中的作用,更好地把握这一思想方法.

[1]张真子. 函数y=a~x和y=log_a~x图象与直线y=x交点的探讨[J].黑龙江科技信息1999(12):55.

[责任编辑:杨惠民]

2017-05-01

张优科(1982.10-),男,汉族,中学二级教师,本科,从事中学基础数学教学.

G632

B

1008-0333(2017)16-0002-01

猜你喜欢

教参指数函数交点
幂函数、指数函数、对数函数(2)
幂函数、指数函数、对数函数(1)
幂函数、指数函数、对数函数(1)
幂函数、指数函数、对数函数(2)
阅读理解
借助函数图像讨论含参数方程解的情况
试析高中数学中椭圆与双曲线交点的问题
开发出自己的实用教参
神秘的教参
语文教参使用与更新问题浅析