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众所周知，列方程解应用题历来是初中数学教学的重点，更是难点.传统的教学方法总是按题目内容分类（如，行程问题、工程问题等）并进行解法的探讨和研究，也因此，形成了一些行之有效的教学模式与方法.但是，倘能从根本上解决列方程的标准问题，其教学或许能事半功倍，甚至达成“一役而三役济”的效果.

一、列方程要重视过渡阶段的教学

“分散难点，各个击破”是列方程解应用题应该遵循的教学原则，所以，在学习代数式与整式加减时，就可着手训练学生把文字式的数量关系翻译成代数式的能力，使学生学会并习惯于用字母表示数，以培养学生的抽象思维能力.

其次，要训练学生善于把文字叙述的题目数学符号化，逐步实现学生从算术解题思路向代数解题思路的转化.在有些版本的教材里，在学生学习正负数有理运算的前后，结合小学里学过的一些简单算术题采取列方程的教学形式，再利用“等量加（减）等量和（差）相等”的原理来求解，然后，和它的算术解法相对照，使学生探究发现用算术方法解题就是把解题思路和解题方法联系起来考虑.这样思路既不容易清晰明白，步骤也不明确；反之，如果采用代数解法，步骤明确，方法新颖，而且有规律可循，就化难为易了.如此，既可以培养学生学习代数知识的兴趣，又为学生进一步学习列方程解应用题做好了铺垫.

再次，在列方程解应用题的入门教学时，多数题目是按照“三度量”关系来列等式的，如，距离=速度×时间，总价=单价×件数，工作量=工效×工时等等.这些公式在准备工作中也应该放在重要的地位上，而且这些知识都可以在学习代数式的相应章节里联系小学的旧知识加以拓展，使它在列方程解应用题的教学中起到正迁移的作用.

最后，学生在学习解方程的过程中，可严格训练，使学生能够准确无误地进行迅速合理的运算，且能正确验根.把列方程和解方程的两个步骤区分开来，这就把列方程解应用题的难点分散开来处理了，为日后列方程解应用题创造了良好的条件.

总之，列方程解应用题必须使学生闯过翻译关、思路关、列方程和解方程这四个关口，才能顺利利用方程解应用题.

二、列方程要重视不变量的研究

方程的形式一般为：f（x）=ξ（x）.其中x并不是变量，而是未求出的未知量，它是个确定量.这样就可以看出用等号连接起来的两个量f（x）和ξ（x）仅是形式不同而实质一样的确定量.不妨把这种量称为不变量.即一旦设定某未知量为x时，那么根据应用题中的内容，必然可以找到含有x的两个形式不同、实质一样、有相等关系的确定量f（x）与ξ（x）.

1.当确定量ξ（x）=c（常量）时，题目中一定存在一个明显的确定量c，它等于含有未知量x的确定量f（x），即f（x）=c，不妨把量c叫作显在不变量，我们可以它作为标准来列方程.

例1已知某战车在公路和小路上的速度分别为40千米/时，30千米/时.现这个战车在516小时内行30千米.问它在公路上和小路上行了多少千米？

解法1根据题意，战车在公路和小路上的速度是确定的，它所行的总路程和总时间也是已知的.若设战车在公路上行驶x千米，则在小路上行驶（30-x）千米.根据行程的“三度量”关系求出战车在公路和小路上分别用的时间.至此，就可用题目中已知的总时间516小时作为显在不变量，并以它为标准列得方程：x140+30-x130=516，x=20.

解法2如设战车在公路上行驶x小时，利用间接法同样可以求出战车在公路和小路行驶的里程数.为此，就可用题目中已知的总路程30千米作为显在不变量，并以之为标准列得方程：40x+30516-x=30，x=112.

比较两种解法，不难发现所设未知量的内容不同，显在不变量就不同，导致列方程的标准就有了改变，列方程和解方程也就因此有了繁简和难易之分.所以，我们在列方程解应用题时，首先，要考虑题目中是否有显在不变量，若有多个，就可以一个恰当的显在不变量作为列方程的标准，以简化解题过程.

2.当确立量ξ（x）不是表现为一个常量，而是一个含有未知量x的量，不妨把这个确定量称为潜在不变量.即在所给题目中虽然没有直接表现出某个常量作为显在不变量，但从已知量和未知量潜在的变化关系中可以确定出某个量是不变的，并可以用这个量作为标准列方程.

例2某学生骑自行车以12千米/时的速度下山，而后以9千米/时的速度过平路到达目的地，共耗时11112小时；他返回时，以8千米/时过平路，再以4千米/时上山回到家中，共耗时1.5小时.问学生家距目的地多远？

解法1解此题目，只要分别求出山路和平路长后，全长就水到渠成.但根据题意，不管该学生骑车往返速度怎样变化，题中虽然也未给出山路或平路的路程，但平路长和山路长总是个确定量，我们就可以用确定量山路长或平路长作为标准来列方程.

如果设山路长为x千米，因学生骑车往返所需的总时间是已知的，且骑车的速度变化也是已知的，这时路长就是个潜在不变量，通过学生往返的过程就可用平路长作为标准列出方程：911112-x112=81.5-x14，x=3.

解法2如设平路长为x千米，就可用山路长作为标准列方程：1211112-x19=4312-x18，x=6.

通过这个例子可以看出，方程的两边必须是同类的量；同时从上述两例也可得知，应用题按列方程的标准可分为显在不变量型和潜在不变量型两类.因此，在分析题意时，着重从各种数量变化关系里找出标准不变量列方程是解应用题的关键.

行文至此，我们完全可以明白，列方程的标准就是在审题过程中寻找到的某个确定的不变量，并以之作为列方程的依据.

三、列方程要认真分析语句

我们在研究应用题的过程中，不难发现题目陈述信息中包含了关于已知条件、结论、数量之间变化关系的三类语句，后者则是列方程的着眼点.因此，教师或学生在掌握了题目中的条件和结论的前提下，一定要从整体出发，认真思索，深入挖掘，着重分析有变化关系的语句，再从变化的形式里找出不变的因素，确定出列方程的标准依据，才能顺利地解决问题.这也就是通常所说的抓主要矛盾的方法.

例3某个任务，由甲独做，3天才能完成；由已獨做，6天才能完成.那么甲乙二人合做几天可以完成？

解此题比较简单，除了后面那个语句是关系语句和结论外，其他语句都是条件.但由于其中没有说明任务的工作量是多少.传统的教学法就把它看作单位1，这就比较抽象，使初学的人难于理解.实际上，它指的既可以是一件东西，也可以是一堆东西，多少虽然是不定的，但它有确定的内容，这是一方面.其次，此题也暗示着这任务虽然也是一个条件，但是它在解题的最后过程中却游离于题目之外，因此，它是一个参变量.为了把抽象事物具体化，便于理解，可以把它作为参数a考虑，使问题明朗化，并且具有直观性.因此，笔者认为参数的引入，是理解题意的桥梁、思考问题的手段，应该引起人们重视.

设这个任务的工作量为a，且两人合作x天可以完成.根据“三度量”关系：工作量=效率×时间，得a13x+a16x=a，x=2.

例4某仪器制造厂按计划每天生产20台仪器，到预定期内尚差100台不能完成任务.若提高工效25%，到期就将超额50台完成任务.问原计划生产仪器多少台？预定期限是多少天？

解如设原计划生产仪器x台，则根据题目中的关系语句，就须以预定天数做标准列方程，这是一般的想法.如果深挖题意，不难发现增加的150=（100+50）台仪器是从提高工效25%获得的，那么就要设预定期限为x天，以显在不变量150台为标准列出一个最简方程20x·25%=100+50，x=30.

由此说明：列方程与选取未知量有着极为密切的关系；严格审题、深挖题意则是十分重要的.同时，还说明利用显在不变量和潜在不变量做标准列方程是可以互相转化和灵活运用的，也是有规律可循的.

以上文字，仅是笔者在列方程解应用题教学时的初步尝试和点滴体会，今不揣拙浅，托出与同行交流，但愿“吾山之石”能引得“他山之玉”.