摘要： 清晰解读豪斯道夫微积分和分数阶微积分阶数的分形维意义，并比较这2种微积分建模方法的区别与联系.这是首次清晰定量地导出分数阶微积分的分形几何基础.提供豪斯道夫导数模型描述历史依赖过程的几何解释，即初始时刻依赖性问题，并与分数阶导数模型对比.基于本文作者的早期工作，详细描述非欧几里得距离的豪斯道夫分形距离定义——豪斯道夫导数扩散方程的基本解就是基于该豪斯道夫分形距离.该基本解实质上就是目前广泛使用的伸展高斯分布和伸展指数衰减统计模型.

关键词： 豪斯道夫导数； 豪斯道夫微积分； 分数阶微积分； 非欧几里得距离； 结构距离； 豪斯道夫分形距离； 基本解

中图分类号： O39； O241.8

文献标志码： A

0 引 言

分形几何[1]在科学与工程中广泛而深入的应用需要相应的微积分建模工具.20世纪80年代发展起来的分形分析方法[2]是这方面的理论尝试，但其数学表达复杂，难以用于实际问题的建模.近年来非常流行的分数阶微积分方法与分形几何的内在联系，理论上研究得还不是很清楚，尤其是有关的定量分析不成熟.[34]

本文作者[5]引入了豪斯道夫分形导数，近年来已成功用于水利学、蠕变、松弛、核磁共振、反常扩散、经济学等问题[611].豪斯道夫导数的基本概念数学上非常简单，是一个局部算子，比非局部的分数阶导数计算量大幅度减少.从豪斯道夫导数扩散方程能够直接推出目前广泛使用的伸……