文︳曾益俊

例谈参数的分离技巧

文︳曾益俊

求参数的取值范围问题是中学数学中常见的问题，既是教学重点、难点，也是高考的热点。笔者在教学实践中发现，把参数从方程或不等式中分离出来，使问题转化为求函数最值或值域问题，或者将方程或不等式中的未知变量与参数进行换位思考，把问题看成以参数为未知变量的方程或不等式，能够使问题简单。

一、求方程中参数的取值范围

例1已知关于x的方程4x+a2x+a+1=0有实根，求实数a的取值范围。

分析：方程可化为：（2x）2+a2x+a+1=0，转化为关于2x的二次方程，则方程的判别式驻逸0，以及有正实数根，从而建立不等式组求解。观察题目中的参数a是一次，则尝试将a分离出来，变为f（a）形式，也许会更好。

所以f（x）的值域为（-肄，2-22姨］，故a的取值范围是

例2a取何值时，方程lg（x-1）+lg（3-x）=lg（ax）有一解，两解，无解？

分析：原方程可化为：x2-5x+a+3=0（1＜x＜3），然后根据一元二次方程讨论何时有一解，两解，无解。这样的话，必会带来比较繁杂的解答。由于参数a是一次，则可仿照例1的方式，分离参数a试试。

解：原方程可转化为：（x-1）（3-x）=a-x（1＜ x＜3），分离参数，得

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二、求不等式中参数的取值范围

分析：对x，y取一些值试试，看能否得出a取值的大致范围。

例4如果x∈［0，-肄），不等式x2+（p-1）x+1逸0恒成立，求实数p的取值范围。

分析：运用二次函数f（x）=x2+（p-1）x+1思考的话，对x＜0时如何剔除？一时难有好的办法，换个角度思考，分离出参数p试试。

解：原不等式可化为：xp逸-x2+x-1。

（1）当x=0时，0逸-1恒成立；

由（1）（2）可知：p逸-1。

三、求不等式中参数的取值范围

例5对于满足0≤p≤4的所有实数p，不等式x2+px＞4x+p-3恒成立，求x的取值范围。……