朱晓娟

摘 要：转化与化归思想是重要的数学思想之一，数学问题的解决总离不开转化与化归，它可以将复杂的数学问题变得简单。本文举例说明了化归思想在中学数学中的应用的几种基本类型。

关键词：转化与化归；中学数学

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2017）02-089-02

转化与化归思想，将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程，简称为化归思想。化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。

应用化归思想的基本原则为熟悉化、简单化、和谐化。

转化与化归的常见方法有：

一、直接转化法

通常是通过将需要解决的问题直接转化为基本的定义、定理、公式或基本图形问题，使问题由暗到明。

二、换元法

换元法是指将形式较复杂或不标准的方程、不等式、函数化归为形式较简单易于解决的基本问题。

三、构造法

运用构造法解决数学问题时，通常是通过构造与原命题定价的命题形式，从而提高解题速率。构造问题的关键之处在于构造的目的和途径。

四、坐标法

坐标法是指根据平面图形或者空间几何图形的实际情况建立平面直角坐标系或者是空间直角坐标系，将图形各点表示成坐标形式，运用坐标的计算法则表示出需要数量关系。

五、类比法

利用类比推理，将原问题类比到已解决或简单的问题，将问题简单化。

以下为化归思想在中学数学中应用的基本类型：

一、等价转换

把所给的命题等价转化为另一种容易理解的语言或容易求解的模式，把复杂的问题分解为几个简单的问题，把生涩的问题仔细分析，变为在已有知识范围内能够解决的问题，从而得出正确的结果。

例1：若x、y、z∈R 且x+y+z=1，求（ -1）（ -1）（ -1）的最小值

分析：由已知x+y+z=1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x+y+z，或者运用均值不等式后含xyz的形式。所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。

解：（ -1）（ -1）（ -1）= （1-x）（1-y）（1-z）

= （1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz）= （xy+yz+zx-xyz）

= + + -1≥3 -1= -1≥ -1=9

二、数与形的转化

一是形的问题转化为数盆关系来处理，就数论形，二是数的间题用形来直观描述，以形究数，从而使问题简明易解。

例 2： ，求 的最小值

解：通常将 视为（x，y）点到点（-1，-1）之间的距离，那么点（-1，-1）到直线x+y+1=0的距离就是最短距离，即是 的最小值，由点到直线距离公式就可使问题迎刃而解了。

三、正与反的转化

“顺难则逆、直难则曲、正难则反”，顺向推导有困难时就逆向推导，直接证明有困难时就间接证明，正面求解有困难时就反向逆找，探求问题的可能性有困难时就探求不可能性，等式证明从左到右不顺利时就从右到左。

例3：一个小组有12名学生，其中名女生。现需分配6人参加劳动，其中至少要有一名女生，那么这样的分配方法有多少种？

解：如果直接分类会很繁琐，但我们反向考虑：“至少有一名女生参加”的反面是“没有一名女生参加”，则问题得到简化。所以有 - =896（种）分配方法。

四、三维向二维转化

三维是建立在二维基础上进一步研究空间图形问题，因此在研究立体几何问题遇到困难时不妨将其化归为平面几何问题，使问题简化。

例4：如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为_______米。

解：将立体几何的问题转化为平面几何上的问题，由平面几何中两点之间直线段最短原理可以得出小虫爬行的最短路程必然是、 之一。

一、函数与方程的转化

一个数学问题，如能建立描述其数量特征的函数表达式，或列出表示其数量关系的方程式（组）（包括不等式（组）），则一般可使问题得到解答。

例5：已知函数 ，且函数f（x）在区间（0，1]上为单调增函数，求实数a的取值范围.

解：对函数f（x）进行求导得到 ，f（x）在区间（0，1]上为单调增函数，将函数问题转化为方程问题，即 在（0，1]恒大于等于0.

二、一般与特殊的转化

数学充满着辩证法，一般性往往寓于特殊性之中解题时，将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略。

例6：己知等差数列{ }的公差 且 成等比数列，求 的值。

解：由题意知只要满足 成等比数列等比数列的条件，取何种等差数列与结果是无关的，所以取 ，则

运用转化与化归思想解题时应注意以下问题：1.注意化归的目标，保证化归的有效性、规范性；2.注意化归的等价性，保证化归的准确性；3.注意化归的灵活性，设计合理的化归策略。

转化与化归思想在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。要想灵活运用转化与化归思想解决数学问题，首先要扎实基础知识，其次要提高数学素养。

参考文献

[1] 齐 风，王瑞芳，赵克强. 特殊到一般在中学数学解题中的应用[J]. 吉林師范学院学报，1995，（11）：64.

[2] 杨 宇. 高中数学教学中运用化归思想的案例分析[D].天津师范大学，2012.

[3] 刘 运. 化归思想对高中数学教学的指导研究[D].陕西师范大学，2014.