牛荣军， 徐金超， 邵秀华， 邓四二

(1.河南科技大学 机电工程学院, 河南 洛阳 471003; 2.空调设备及系统运行节能国家重点实验室, 广东 珠海 519000;3.洛阳鸿元轴承科技有限公司, 河南 洛阳 471132)

双排非对称四点接触球转盘轴承刚度分析

牛荣军1,2， 徐金超1， 邵秀华3， 邓四二1

(1.河南科技大学 机电工程学院, 河南 洛阳 471003; 2.空调设备及系统运行节能国家重点实验室, 广东 珠海 519000;3.洛阳鸿元轴承科技有限公司, 河南 洛阳 471132)

随着轴承空间限制和高承载能力的目标要求，对传统负游隙对称型(初始接触角α01=α02=45°)双排四点接触球转盘轴承进行改进，提出负游隙非对称型接触角设计(α01为35°～60°，α02为90°-α01)，并基于赫兹接触理论和滚动轴承设计方法建立负游隙非对称双排四点接触轴承的力学模型。结果表明：随着单向载荷轴向力Fa、径向力Fr和倾覆力矩M增加，主刚度在开始阶段基本呈下降趋势，随着单向载荷的增加非线性上升，负游隙的影响使得轴承的刚度变化曲线存在一个临界拐点；初始阶段随着轴向负游隙量的增加，轴承的初始预紧刚度都得到明显提高，但随着载荷的增加负游隙对轴承刚度的影响逐渐减弱，最终基本趋于一致；单向载荷条件下，当轴向负游隙为-0.03 mm和非对称接触角取α01=55°，α02=35°时，其综合轴承刚度最好；综合外载工况下，负游隙取-0.03 mm和非对称接触角取α01=60°，α02=30°或α01=35°，α02=55°时轴承综合刚性最佳。从提高轴承综合刚性角度考虑，非对称接触角设计和负游隙都可以起到明显效果。

机械学； 轴承； 非对称接触角； 负游隙； 四点接触； 刚度

0 引言

转盘轴承是一种广泛应用于风力涡轮发电机、塔式起重机、炮台、坦克等大尺寸的具有旋转功能的机械中的轴承，四点接触球转盘轴承属于转盘轴承的一种。目前，四点接触转盘轴承普遍采用对称接触角设置，两个接触对初始接触角都为45°[1-5]。随着轴承空间限制和高承载能力的目标要求，采用非对称接触角和负游隙设计将会是其性能提升的有效解决方法[3-6]。因此开展非对称接触角和负游隙对此类大型转盘轴承刚度的影响，进而合理地选取初始非对称接触角和游隙量，为新型非对称双排四点接触球轴承的研发提供理论依据，极具现实意义。

关于滚动轴承的结构参数设计对轴承承载能力的影响，国内外学者已开展了较为深入的研究。文献[1,4,7]系统研究了对称接触角条件下，轴承结构参数对转盘轴承载荷分布和承载能力的影响。文献[5-6]对负游隙单向载荷下转盘轴承的刚度进行了研究。文献[8]对深沟球轴承在奇压和偶压承载下的刚度进行了有限元求解，发现奇压形式下的轴承刚度大于偶压形式下轴承的的刚度。文献[9-10]通过载荷、位移、刚度的关系对配对角接触球轴承的刚度进行了分析。文献[11]对角接触球轴承进行了拟静力学建模，在建模的基础上对轴承的静刚度和动刚度进行了求解。文献[12]考虑油膜刚度对轴承刚度影响的情况下分析了沟曲率半径系数、钢球数量、轴向预紧量、外载荷等对双列角接触球轴承刚度的影响。Gunduz等[13]基于赫兹理论对背靠背、面对面双列角接触球轴承刚度进行了理论推导。Guo等[14]建立了考虑游隙在内的轴承有限元模型，对球轴承刚度矩阵进行推导，并进行试验验证。Sheng等[15]考虑转速对球轴承刚度的影响，用隐函数微分法对球轴承的变刚度进行推导，发现转速越高，轴承的刚度越低。Petersen等[16]给出了滚珠轴承的载荷分布和变刚度的解析表达式。

从上述研究可以看出，轴承准确的刚度计算具有重要意义。此外，目前对于轴承刚度的研究主要集中于中小型滚动轴承，而大型和超大型转盘轴承的刚度计算涉及较少，并且还未见到非对称接触角双排四点接触球轴承相关承载能力研究的报道。本文首先基于赫兹(Hertz)接触理论和滚动轴承设计方法建立非对称负游隙双排四点接触球轴承的精确数学模型，并采用数值方法对力学平衡方程进行求解，然后分析单向和联合载荷下，非对称接触角和游隙对轴承刚度的影响规律。为非对称双排四点接触球轴承的初始接触角和游隙的选取提供了理论参考依据，以辅助工程应用。

1 非对称双排四点接触球轴承模型

图1给出球位置角分布示意图，dm为轴承的节圆直径，j为钢球的序号(j=1,2,3,…,z，z为钢球的个数)，φj为第j个钢球的位置角。

图1 轴承滚动体位置角Fig.1 Position angle of rolling elements

图2描述了非对称双排四点接触球轴承的接触角设置，α0m(m=1,2,3,4)表示轴承上下两排4个接触对的初始接触角。其中，α01+α02=90°，α03+α04=90°，并取α01=α03.

图2 轴承非对称接触角设置Fig.2 Asymmetric contact angle configuration of bearings

轴承外圈固定，内圈旋转，轴承的曲率中心变化情况如图3所示。取上排滚动体为研究对象，C1e、C2e表示受载前后外圈上下滚道的曲率中心，C1i、C2i表示受载前内圈上下滚道的曲率中心，C′1i、C′2i表示受载后内圈上下滚道的曲率中心。O表示受载前钢球中心，O′表示受载后钢球中心。α01、α02表示受载前接触角，α1φ、α2φ表示受载后接触角。

图3 轴承的曲率中心及接触角变化前后的位置Fig.3 Curvature center and contact angles of bearing before and after loading

图4 轴承的受力图Fig.4 Bearing forces equilibrium

由于转盘轴承转速很低，可以按照静力学的方法来建立轴承整体力学模型，如图4所示，其中，Fa、Fr分别为轴向力、径向力，M为倾覆力矩，Q1φ、Q2φ、Q3φ、Q4φ为接触对m在位置角φ处的法向接触载荷，dc为双排钢球中心距。内圈相对外圈在外部载荷作用下产生轴向位移量δa，径向位移量δr和倾斜角位移量θ. 设轴向位移引起的轴向变形为δa，径向位移引起的径向变形分量为δrcosφ，倾角位移引起的轴向变形分量为Riθcosφ(Ri为内圈沟曲率中心轨迹半径)，倾角位移引起的径向变形分量为0.5dcθcosφ. 内圈相对外圈位移减小的方向为正，位移增加的方向为负。接触对位移的正负如表1所示。

表1 接触对位移的正负影响关系Tab.1 Positive and negative influences of contact on displacement

由于轴承受载后内圈相对外圈有位移，所以接触对m(m=1,2,3,4)在位置角φ处的沟心距Amφ将发生变化。轴承接触对m受载前沟心距Am为

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：ri为内沟道半径;re为外沟道半径;Dw为钢球直径;ua为轴向游隙(四点接触球轴承一般取零游隙或负游隙[17]，本文取负游隙)。

受载后接触对m在位置角φ处的沟心距Amφ为

A1φ=[(A1sinα01+δa+Ri1θcosφ)2+

(5)

A2φ=[(A2sinα02-δa-Ri2θcosφ)2+

(6)

A3φ=[(A3sinα03+δa+Ri3θcosφ)2+

(7)

A4φ=[(A4sinα04-δa-Ri4θcosφ)2+

(8)

式中：Rim(m=1,2,3,4)表示内沟道曲率中心轨迹半径。

(9)

(10)

(11)

(12)

由于内圈相对于外圈发生相对位移，接触对m在位置角φ处的接触角也发生了改变，变化后的接触角αmφ为

(13)

(14)

(15)

(16)

轴承受载后任意位置角φ处钢球与内圈、外圈总的接触变形δmφ等于位移后沟心距Amφ与受载前中心距Am之差，即

δmφ=Amφ-Am，m=1,2,3,4.

(17)

根据Hertz点接触理论，接触对m在位置角φ处的法向接触载荷Qmφ与接触变形δmφ的关系[18]为

(18)

式中：Knm表示滚动体与内圈、外圈之间总的负荷- 变形常数，对于轴承钢制造的轴承，

(19)

式中：∑ρi表示钢球与内滚道接触点的主曲率和；∑ρe表示钢球与外滚道接触点的主曲率和；nδi表示钢球与内滚道接触点的主曲率函数F(ρ)相关的系数；nδe表示钢球与外滚道接触点的主曲率函数F(ρ)相关的系数；∑ρi、∑ρe、nδi和nδe的计算方法参照文献[20]。

内圈在受到外部轴向载荷、径向载荷、倾覆力矩以及钢球对内圈的接触载荷下处于平衡状态，力学平衡方程为

Q4φsinα4φ)-Fa=0,

(20)

Q4φcosα4φ)cosφ-Fr=0,

(21)

Q3φcosα3φ-Q4φcosα4φ)cosφ-M=0.

(22)

(20)式～(22)式是三元非线性方程组，未知量是δa、δr、θ. 当给定轴向力、径向力、倾覆力矩时，可以采用Newton-Raphson方法求解非线性方程组，根据求得的δa、δr、θ，进一步获得轴承滚动体载荷和轴承刚度和轴承寿命等。

2 计算及结果分析

某1.5MW风力发电机变桨轴承，型号B033-40-1 900/P5，结构参数如表2所示。材料为42CrMo，运行时受到轴向力272 kN、径向力100 kN、倾覆力矩1 700 kN·m，对其进行分析研究。

表2 双排四点接触转盘轴承参数Tab.2 Parameters of double-row four-point-contact slewing bearing

轴承的刚度反映了其在承受负载时抵抗弹性变形的能力，是轴承结构对弹性变形难易程度的表征[19]。通过轴承载荷平衡方程对位移量求导，可以获得非对称双排四点接触球轴承的刚度矩阵。

本文用Kaa、Krr、Kθθ分别表示轴承的轴向主刚度、径向主刚度、角主刚度，主刚度能判断出轴承的结构和选型是否合理，对于轴承的选型具有重要的指导意义。把通过Newton-Raphson方法求解得到的δa、δr、θ分别代入轴承的刚度矩阵中即可精确求出轴承的主刚度Kaa、Krr、Kθθ.

图5 单向载荷下非对称接触角对轴承主刚度变化影响Fig.5 Influence of asymmetric contact angle on main stiffness of bearing under unidirectional load

2.1 非对称接触角对轴承刚度的影响

图5分别给出轴承在单向Fa、Fr、M载荷作用下和轴向游隙为-0.02 mm时，非对称接触角分别取35°、40°、45°、50°、55°、60°情况下轴承的主刚度Kaa、Krr、Kθθ变化情况。由图5可以看出，非对称接触角变化对轴承主刚度产生非常明显的影响，特别是轴向刚度Kaa和角刚度Kθθ；随着单向载荷Fa、Fr和M的变化，主刚度在开始阶段基本呈下降趋势，但是随着单向载荷的增加主刚度出现非线性上升。其主要原因是开始阶段由于负游隙的影响使得轴承产生一定的预载荷，提高轴承刚性，但随着载荷增加，负游隙的影响逐渐减弱，在变化曲线拐点处负游隙的影响降到最小，后续阶段轴承刚性的变化主要是由于载荷的影响作用；对于3个主刚度而言，随着接触角的增加，轴向刚度Kaa不断提高，径向刚度Krr和角刚度Kθθ在非对称接触角为60°时最大，45°时最小。这是因为轴承在只受轴向力作用下，接触角越大，接触面积增加，抵抗变形的能力增大，刚度增加，而轴承只受径向力或力矩作用时，在接触角为45°时，轴承是对称结构，此时轴承受到的载荷最小，接触面积最小，相应的径向刚度和角刚度最小。

单向载荷作用下，非对称接触角对轴承主刚度Kaa、Krr和Kθθ产生明显影响，在非对称接触角为α01=60°，α02=30°时最大。此外，随着非对称接触角的增大，负游隙对轴承刚度的影响减弱，特别是轴向刚度，在接触角为60°时轴向刚度曲线趋近于直线，拐点消失。

2.2 负游隙对轴承刚度的影响

图6分别给出轴承在单向Fa、Fr、M载荷作用下和非对称接触角为35°、45°、55°时，轴向负游隙分别取为-0.01 mm、-0.02 mm、-0.03 mm情况下轴承的主刚度Kaa、Krr、Kθθ的变化情况。从图6可以看出，负游隙对轴承主刚度产生非常明显的影响，随着轴向负游隙量的增加，轴承的初始预紧轴向刚度Kaa、径向刚度Krr和角刚度Kθθ都得到明显提高，但随着载荷的增加，负游隙对轴承刚度的影响逐渐减弱，最终基本趋于一致；对于轴向刚度Kaa，当轴向负游隙为-0.03 mm和非对称接触角取55°时，其综合轴向刚度最好。此时，随着轴向载荷的变化，其刚性变化比较平稳，没有明显的刚度下降拐点；对于径向刚度Krr和角刚度Kθθ，当轴向负游隙为-0.03 mm和非对称接触角取45°时，其综合刚度最好，此时径向刚度的拐点对于径向载荷达到150 kN，角刚度的拐点对于倾覆力矩达到180 kN·m.

图6 单向载荷下负游隙对轴承主刚度变化的影响Fig.6 Influence of negative clearance on main stiffness of bearing under unidirectional load

负游隙的大小可以明显增强轴承的预紧刚性，改善轴承载荷分布均匀性，延长轴承寿命。但过大负游隙量会增加轴承滚道和滚动体载荷，轴承摩擦力矩增大，从而影响轴承的运转灵活性和摩擦发热，加速轴承润滑脂性能退化，缩短轴承寿命。因此，通过初始负游隙预紧作用提高轴承刚性有个合适度问题，可以结合非对称接触角、滚动体直径和数目等参数设计综合提高轴承刚性。对于本研究对象，设计要求其轴向极限游隙为-0.03 mm. 从上述分析可以看出，单向载荷下，轴向刚度Kaa、径向刚度Krr、角刚度Kθθ在负游隙为-0.03时最大。

2.3 联合工况下轴承刚度分析

图7给出在外载工况(轴向力272 kN、径向力100 kN、倾覆力矩1 700 kN·m)，轴向游隙在-0.03～0.03 mm和非对称接触角在35°～60°时，轴承主刚度随游隙和非对称接触角的变化曲线图。

图7 联合载荷下负游隙和非对称角对轴承刚度的影响Fig.7 Influences of negative clearance and asymmetric contact angle on bearing stiffness under combined load

由图7可以明显看出，在联合载荷条件下轴承主刚度的变化明显不同于单向载荷的影响，随着轴承轴向游隙的增大，轴承轴向主刚度和径向主刚度近似呈线性减小，而角刚度在非对称接触角为45°和50°时线性上升，其他非对称接触角情况呈线性下降趋势；原轴承对称接触角设置(α01=α02=45°)，游隙变化对轴承轴向和角主刚度的影响不十分显著，且随着轴向游隙由负到正变化，角主刚度出现上升趋势。综合外载工况下轴向游隙取-0.03 mm和非对称接触角取α01=60°，α02=30°或α01=35°，α02=55°时轴承综合刚性最佳。

随着非对称接触角的变化，轴向刚度明显高于径向刚度，轴向刚度与角刚度变化趋势相近，径向刚度先下降后上升；非对称接触角为45°和50°时的主刚度明显小于其他非对称接触角情况。这是因为在联合负载下，接触角为45°或50°时轴承受载较均匀，综合Hertz接触弹性变形量变大，刚度减小；在表2所示的联合载荷和负游隙条件下，轴承辅刚度随非对称接触角变化关系如表3所示，辅刚度∂Fa/∂δr与∂Fr/∂δa、∂Fa/∂θ与∂M/∂δa、∂Fr/∂θ与∂M/∂δr具有明显的对称性。从提高轴承综合刚性的角度考虑，非对称接触角设计可以起到明显效果。

表3 辅刚度随非对称接触角变化Tab.3 Variation of auxiliary stiffness with asymmetric contact angle

因为变桨轴承受力情况复杂，这就要求轴承在单向载荷和综合工况下都具有较高刚度。结合上述单向载荷下非对称接触角和负游隙对轴承刚性影响结论，对于本研究对象，可取负游隙ua=-0.03 mm和非对称接触角α01=60°，α02=30°作为轴承的设计参数。

3 计算结果验证

文献[20]给出了计算四点接触球轴承主刚度的理论计算方法，将表2的轴承参数分别代入(23)式、(24)式、(25)式可计算得到双排四点接触球轴承在单向载荷和零游隙下的轴向、径向与角度变形量。为更清晰描述轴承3个主刚性变化，分别改变轴向力Fa、径向力Fr、倾覆力矩M值，记录对应轴承的轴向、径向和角位移量变化，并把理论计算与通过精确数值计算得出的结果进行比较验证。

δa=δi,a+δo,a=

(23)

δr=δi,r+δo,r=

(24)

(25)

式中参数定义如表4.

为了验证所求出刚性值的正确性，在测试原理如图8所示的轴承刚性试验台上进行试验测量，主要测试轴承分别在轴向、径向和弯矩受力3种情况下的刚性值，并与数值和理论计算刚性值进行比对分析。由于轴承的尺寸较大，很难将其实际运转并进行测量，本文以静态施压试验方式来进行轴承轴向、径向与弯矩的刚性测试。

表4 参数定义表Tab.4 Parameter definition list

图8 轴承刚性试验原理图Fig.8 Test principle diagram of bearing stiffness

进行弯矩刚性测量时，施加偏心力Fe到上盘，测量上盘的移动距离，求得上盘的旋转角度。由于上盘的偏心加载力会造成上盘的轴向水平移动，因此分别安置两支位移计于轴承测试平台的180°方向，利用两支位移计测量的位移彼此相消以消除轴向水平移动距离，其示意图如图9所示。由图9可以得知两支相180°方向的位移计测得的位移量分别为δa+δθ与δa-δθ，得到的位移量δθ再代入(25)式即可求得旋转角度。

图9 弯矩刚性试验示意图Fig.9 Test principle diagram of bending moment stiffness

图10 非对称双排四点接触球轴承刚性比较Fig.10 Stiffness comparison of asymmetric double-row four-point contact ball bearing

图10给出非对称接触角分别为35°、45°、55°和轴向游隙为0时，理论计算与数值计算的轴向、径向及角位移变化曲线图，以及对称接触角设置(α01=α02=45°)时的试验结果。有图10可以看出：本文的计算结果与文献[20]给出的理论计算结果相比，随着外部单向载荷的增加，两种计算结果的变化趋势一致，位移变形量都呈非线性增加趋势；在相同负载下数值和理论计算值都较试验值小，其原因是轴承受到轴向、径向和力矩负载时，由于Hertz接触理论仅考虑滚动体与内外圈间接触面受压所产生的弹性变形，但实际上除了滚动体与与内外圈间的弹性变形量之外，还可能发生内外圈自身尺寸的改变，在径向负载时尤其显著，因而造成试验值的变形量较理论值高。且Hertz接触理论无法考虑到施力后滚动体与内外圈之间的相对运动和润滑影响，从而也会影响到试验结果。由文献[18]与文献[21]也可以发现，其轴承刚性试验结果也同为理论值刚性较试验值刚性高，即理论变形量小于试验值的变形量，因此可以判断在定性上试验值会高于理论值，由图10可以发现定性上试验结果都符合这个现象；与数值计算结果和试验结果相比，理论计算结果偏小，随着单向载荷增加，二者偏离更加明显。其主要原因是理论值没有考虑轴承受载后滚动体与内外圈接触角和负载区域的变化，从而影响轴承变形量计算结果的准确性，导致数值和试验值均比理论值预估的更高。

在非对称接触角情况下，理论计算结果由于未考虑轴承受载后滚动体与内外圈接触角和负载区域的变化，计算结果偏小，本文数值计算结果与试验结果相近，说明本文提出的非对称四点接触球轴承计算模型的正确性和精确性，可以准确地用于此类转盘轴承承载能力分析和寿命评估。

4 结论

1)单向载荷和负游隙条件下，非对称接触角对轴承主刚度产生明显的影响，随着单向载荷Fa、Fr和M增加，主刚度在开始阶段基本呈下降趋势，随着单向载荷的增加主刚度出现非线性上升，刚度变化曲线存在一个临界拐点，主要是由于负游隙的初始预紧作用。在非对称接触角为α01=60°,α02=30°时，Kaa、Krr和Kθθ最大。

2)轴承负游隙对轴承刚度产生明显影响，随着轴向负游隙量的增加，轴承的初始预紧刚度Kaa、Krr和Kθθ都得到明显提高，但随着载荷的增加，负游隙对轴承刚度的影响逐渐减弱。单向载荷条件下，当轴向负游隙为-0.03 mm和非对称接触角取α01=55°，α02=35°时，其轴承刚度最好。

3)从提高轴承综合刚性角度考虑，非对称接触角和负游隙设计都可以起到明显效果。综合单向负载和联合负载工况，游隙取-0.03 mm和非对称接触角取α01=60°，α02=30°时轴承综合刚性最佳。

4)非对称接触角情况下，理论方法由于未考虑轴承受载后滚动体与内外圈接触角和负载区域的变化，计算结果偏小，本文数值计算结果与试验结果相近。

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Stiffness Analysis of Asymmetric Double-row Four-point-contactBall Slewing Bearing

NIU Rong-jun1,2， XU Jin-chao1， SHAO Xiu-hua3， DENG Si-er1

(1.School of Mechatronics Engineering, Henan University of Science and Technology, Luoyang 471003, Henan, China;2.SKL of Air-Conditioning Equipment and System Energy Conservation, Zhuhai 519000, Guangdong, China;3.Luoyang Hongyuan Bearing Technology Co．Ltd., Luoyang 471132,Henan, China)

Owing to the bearing space constraints and high load carrying capacity requirements, the traditional symmetric double-row four-point contact ball slewing bearing with negative clearance (α01=α02=45°)is improved, and a new asymmetric contact angle design(α01=35°-60°，α02=90°-α01) with negative clearance is proposed. A calculation model of double-row four-point-contact bearing with asymmetric contact angle is established based on the Hertz contact theory and rolling bearing design method. The influences of asymmetric contact angle and negative clearance on bearing stiffness are analyzed. The results show that,with the increase in unidirectional loadsFa,FrandM, the main stiffness decreases first and then increases nonlinearly, and a critical inflection point exists on bearing stiffness curve due to the negative clearance. In the initial stage, the initial preload stiffness of bearing is obviously improved, however, the effect of negative clearance on bearing stiffness is gradually weakened and eventually tend to be consistent with the increase in negative clearance. Under unidirectional loading condition, the integrated bearing stiffness is the best for the negative clearance being -0.03 mm andα01=55° andα02=35°. Under the combined loading condition, the bearing stiffness is optimum for the negative clearance being -0.03 mm andα01=60°,α02=30° orα01=35°,α02=55°. Asymmetric contact angle and negative clearance design have a significant effect to improve the overall stiffness of bearing.

mechanics； bearing; asymmertric contact angle； negative clearance； four-point-contact； stiffness

2017-01-06

国家科技攻关项目(JPPT-ZCGX1-1)；空调设备及系统运行节能国家重点实验室开放基金项目(SKLACKF201603)；河南省自然科学基金项目(162300410086)

牛荣军(1977—), 男, 副教授，硕士生导师。E-mail: niurongjun@163.com

TH133.33+1

A

1000-1093(2017)06-1239-10

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.06.025