赵西卿,董晓明,张 昕,杨 芝,洪 霞,王伟伟

(延安大学 数学与计算机科学学院, 陕西 延安 716000)



一类Diophantine方程在实二次Euclid域上的整数解

赵西卿,董晓明,张 昕,杨 芝,洪 霞,王伟伟

(延安大学 数学与计算机科学学院, 陕西 延安 716000)

研究了一类典型的Diophantine方程在实二次Euclid域中的整数解问题。主要利用二次域中的理论和二次代数整数环中算术基本定理,证明了此类Diophantine方程在特殊情形下无整数解的相关结论。

Diophantine方程; 实二次域; 整数解

1 预备知识

引理2[10]设D满足引理1的条件,即

那么, α是二次代数整数的充要条件,可表示为

α=m+nω,m,n∈Z,n≠0

(1)

2 定理及证明

x2-D=4y5

(2)

均无整数解。

(3)

(4)

即

故有

(5)

由式(5)可得b=±1或±2k,其中k=1,2,3,4。

③ 若b=±2k时,右边b(5a4+10Da2b2+D2b4)≡0(mod25),左边24≡24(mod25),矛盾。从而Diophantine方程(2)在形如式(4)的分解下无整数解。

由引理4,Diophantine方程(2)另可分解形式为

k=±1,±2,…

当k=1时,即可化简为

故有

因为24≡24(mod25),而

5αa4b+10Dαa2b3+D2αb5+βa5+

10Dβa3b2+5D2βa2b4≡0(mod25)

矛盾,所有该种情形下方程(2)也不存在整数解,证毕。

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[11]邬毅,杨懿,龙兰,等.关于二次域理论求解一类Diophantus方程的整数解[J].数……