孙玲琍

(华中农业大学 理学院， 湖北 武汉 430070)



关于k-错位全排列性质的注记

孙玲琍

(华中农业大学 理学院， 湖北 武汉 430070)

探讨k-错位全排列个数的性质，指出已出版教材中关于该性质的错误，并给出正确的证明.

组合数学； 错位全排列；k-错位全排列

MSC 2010:05A15

1 预备知识

定义1[1]对1,2,…,n进行全排列，若每个元素都不在原来的位置，则称为“错位全排列”，记错位全排列的个数为Dn.注：D1=0,D2=1,D3=2.

定理1[1]当n≥2时，Dn=nDn-1+(-1)n.

定义2[1]对1,2,…,n进行全排列，若其中恰好只有k个元素不在原来的位置，则称为“k-错位全排列”，记k-错位全排列的个数为Pn(k).注：Pn(0)=1,Pn(1)=0.

2 主要结果

教材[1]关于k-错位全排列的个数Pn(k)给出了以下性质定理：

但教材[1]对定理6中的(Ⅱ) (Ⅲ) 并没有给出证明，而我们很容易利用n=4进行验证，发现以上两个结论并不成立.

由P4(0)=1,P4(1)=0,利用定理2，可得：

再利用定理1，可得：

从而

因此，本文通过严格证明，修正以上结论如下：

定理6′(Ⅱ) 的证明

(1)

即

证毕.

定理6′(Ⅲ) 的证明

n(n-1)(1-1)n-2(利用定理4、定理5)=

n(n-1)(n-2)(n-1)!-n(n-1)(n-3)(n-2)!+

n(n-1)[(n-1)!-1]-n(n-1)[(n-2)!-1](利用定理6′(Ⅱ) 、(Ⅰ) )=

(n2-3n+3)n!.

证毕.

利用n=4进行验证：

[1]张秀平.组合数学[M].北京:北京师范大学出版社,2011.

[2]曹汝成.组合数学[M].广州:华南理工大学出版社,2012.

MSC 2010:05A15

[责任编辑 高俊娥]

On the Properties ofk-heterogeneousFullPermutation

SUN Lingli

(College of Science, Huazhong Agricultural University, Wuhan 430070, China)

In this paper, we study the properties ofk-heterogeneousfullpermutation,correcttherelatederrorsinthepublishedtextbookandgivethedetailedproofs.

combinatorics; heterogeneous full permutation;k-heterogeneousfullpermutation

2017-03-18

中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2662017PY091).

孙玲琍，博士，副教授，研究方向：组合数学.E-mail:sunlingli@mail.hzau.edu.cn

O

A

1009-1734(2017)04-0001-04