☉浙江宁波市四眼碶中学 潘小梅

关注学生现实 构建“自然”的教学
——人教版八年级下册“15.3分式方程”教学实录及思考

☉浙江宁波市四眼碶中学 潘小梅

2016年12月，浙江省宁波市特级教师、名师团队与广西师范大学举行了教学联谊活动，笔者受命在广西桂林漓江中学执教人教版八年级上册“15.3分式方程（第1课时）”，现撰文将本课的备课过程及教学思考与各位分享.

一、备课过程的思考

由于笔者平时使用的教材是浙教版系列教材，对人教版的教材内容编排体系较为陌生，所以备课之前反复研读了人教版教材中关于该课的内容编排.“分式方程”位于人教版八年级下册第15章，本章先介绍分式及其运算，再介绍分式方程及其应用.分式方程位于第3节，第3节共分3课时，先介绍分式方程及其解法，然后介绍分式方程在实际生活中的运用，在课后的配套练习中还涉及含字母系数的分式方程.笔者根据内容体系的分析，首先确定第1课时的授课内容是分式方程的概念及其解法.在确定授课内容的基础上，结合了解到学生基础水平一般的实际情况，对以下问题进行了深入思考：

思考1：本课的教学目标是什么？

笔者认为，本课的教学目标是让学生经历分式方程概念的产生过程，类比含分母的整式方程的解法探索分式方程的解法，掌握解分式方程的一般步骤，在解分式方程的过程中，逐步感受“化归与转化”的数学思想，并在问题探索与解决的过程中获得自信与成功的体验.

思考2：怎样导出“分式方程”的概念？

概念的导出一般有两种方式：概念的形成与概念的同化.分式方程是从现实生活中抽象出的一种数学模型，所以可以选择概念形成的方式导出分式方程的概念，也就是从生活中的实际问题抽象并建立分式方程，课本就是通过本章的章前图（流水问题）导出分式方程的概念.与此同时，由于学生之前已经学过较多的整式方程（一元一次方程、二元一次方程），课本中先给出“分母中含有字母的方程是分式方程”，并顺带说“以前学过的方程都是整式方程”.笔者认为，学生刚刚在本章的前两节学过分式的概念，也可以认为分式方程新知的生长点是分式.事实上，分式方程就是分式与分式或分式与整式之间建立等量关系.另外，学生学习分式方程解法的起点是解一元一次方程.因此，笔者选择教学的切入点是：通过分式与整式的概念复习，由关系的建立得到分式方程，尊重了知识的逻辑关系.

思考3：如何突破本课教学的难点？

学生之前在解一元一次方程时所执行的“检验”环节只是为了检查自己的解答是否正确，但是对于分式方程来说，“检验”成为必须的环节.因此，本课教学的难点是理解求解分式方程检验的必要性.这一点既不能强加给学生让学生识记，也不能过度解释.因为对八年级学生而言，他们还不能很好地理解在方程两边乘同一个整式，所得到的方程与原方程并不一定是同解方程，况且也没有必要和初中学生交流“同解理论”.所以，为了让学生理解检验的必要性，可以让学生自己在解分式方程的过程中自然地发现，然后步步回代，发现解满足整式方程但不满足分式方程，从而发现问题所在.

思考4：如何落实解分式方程的技能？

本课的教学重点是分式方程的解法，相比于整式方程，分式方程首先要进行去分母转化为整式方程，再解整式方程得到解，最后进行检验.在这些过程中，去分母的关键是找最简公分母，为什么要找最简公分母？如何找最简公分母？检验是代入原分式方程还是代入最简公分母？这些具体操作技能的获得都需要通过学生集体练习、个别展评、易错点分析，经验总结，帮助学生一步步掌握解分式方程的技能.另外，技能的掌握有一个从陌生到熟练的过程，需要适量的训练.

二、教学过程

课堂伊始，在简短而欢快的自我介绍开场白之后展开如下教学：

1.分类归位，导出概念.

师：你能将“整式、分式、单项式、多项式”这四个概念填入合适的位置吗？

（在黑板上出示如图1所示的框架）

图1

生1：（1）号位置填的是“整式”，（2）号位置填的是“单项式”，（3）号位置填的是“多项式”，（4）号位置填的是“分式”.

师：单项式和多项式的位置可以更换吗？

生（众）：可以.

师：现在请你举一个单项式的例子.

生2：5.

师：好，单独的一个数是单项式.还有呢？

生3：2x.

师：很好！数和字母相乘就组成单项式.在这里，字母x能取一切实数.现在请你举一些多项式的例子.

生4：x-6.

师：举了一个只含有一个字母x的多项式，还有呢？

生5：4x+3y.

师：好！含有2个字母的多项式.这些单项式、多项式统称为整式.现在请你举一些分式的例子.

师：像这些分母中含有字母的式子，我们都称它们为分式.分式中的字母能取所有的实数吗？

生7：不能！

师：现在，老师选一个整式中的单项式5和一个多项式x-6，提出这样一个问题：“多项式x-6的值等于5”，你能把这句话翻译成一个数学式子吗？

生8：x-6=5.

师：怎样称呼这个式子？

生9：方程.

师：确切地说，它是一个什么方程？

生10：一元一次方程.（师板书）

师：这里字母x的取值还是任意的吗？

生11：不是！

师：它是一个确定的数，只是这个数暂时还不知道，我们称它为未知数.现在，如果要构造一个二元一次方程，你会选哪两个式子？

生12：5，4x+3y，构成二元一次方程4x+3y=5.

师：我也选了两个整式.我们把这些左、右两边都是整式的方程称为整式方程.那么，你能提出一个怎样的问题，也构造一个方程呢？生13：分式的值是5，构造出方程：

师：能否给这些方程取一个名字？

生15：分式方程.

师：今天我们一起来学习分式方程.（师板书课题）

【教学说明】本教学片段先让学生整理“单项式、多项式、整式、分式”四个概念的关系并举例，既让学生回顾梳理这些概念，同时让学生类比“整式方程是对整式之间建立等量关系”来提出问题，从而引出分式方程.

2.厘清关系，巩固概念.

师：能说说什么叫分式方程吗？

生16：分式与整式相等，或者分式与分式相等，就得到分式方程.

师：确实，分式方程就是对分式与整式或分式与分式之间建立等量关系.那么，从结果的“样子”看，你可以更简洁地定义分式方程吗？不妨模仿一下分式的概念.（屏幕上出示分式的概念：分母中含有字母的式子叫作分式）

生17：分母中含有未知数的方程叫作分式方程.

师：现在，请大家看如下的问题：

下列方程中，哪些属于整式方程？哪些属于分式方程？

生18：第（1）个方程是整式方程，第（2）个方程是分式方程.

师：怎样由第（1）个方程得到第（2）个方程？

生19：把左边、右边分别取倒数.

师：“倒一倒”，就从一个整式方程变成了一个分式方程！

生20：第（3）个方程是整式方程，第（4）个方程是分式方程.

师：怎样由第（4）个方程得到第（3）个方程？

生21：方程（4）乘以x去掉分母以后就得到方程（3）.

师：不错！去掉分母，分式方程就得到整式方程！

生22：（5）是二元一次方程，（6）是分式方程.

师：方程（6）告诉我们，分式方程也可能含有2个未知数.

【教学说明】本教学片段设置了6道判断题帮助学生巩固分式方程的概念，根据事先对学生学习基础的了解，特意设置了互相配对的3组判断题，旨在让学生了解“倒一倒”“等式两边同乘一个式子”都可以实现分式方程与整式方程的转换，“无声”地为后续分式方程的解法进行铺垫.

3.类比旧知，探索解法.

师：这个主意好！我们不妨来回顾一遍.（师生合作下写出如下的解法）

化简得3（x-2）=2x.

解得x=6.

师：为什么在方程两边同乘6，这个6是怎样找到的？

生24：6是分母的最小公倍数，乘6以后，就去掉分母了！

师：那么，如果你想知道自己解得的x=6到底是不是正确的，可以怎么办？

生25：代入原方程看左、右两边是否相等.

当x=6时，左边=2，右边=2，所以x=6是原方程的解.（续前板书）

师：那么，除了这种方法，我们还有其他的方法把分式方程化为整式方程吗？

生27：乘公分母x（x-2）.

去分母得到3（x-2）=2x，这样就得到整式方程了！去分母的关键是找到公分母，那么如何找公分母呢？请你们试一试！

教师依次在黑板上写下以下方程，请学生说出公分母，并归纳最简公分母的找法.

师：找到最简公分母，我们就可以根据等式的基本性质化去分母了.下面，请大家完成以下练习：（1）（.练习来自书本）

【教学说明】本教学片段中，学生先想到“倒一倒”的方法将分式方程变为整式方程，教师顺势让学生解整式方程并进行完整的书写，然后让学生类比含分母的整式方程的解法联想如何去分母，从而引出公分母.课堂中注意到学生对公分母的找法还不够熟练，随手补充了练习帮助学生回顾最简公分母的找法.

4.做中生疑，探索解法.

教师请一位学生上台板书方程（2）的解题过程，学生板书如下：

化简得x+5=10，解得x=5.

师：（在对完第1题答案后）我刚才巡视教室时，发现很多同学一直在看第（2）题，好像没错，好像又错了？不知道你们是什么疑惑？

生28：我看看每一步都没有错，可发现x=5时，原方程的分母为0，那就没有意义了！

师：这倒是一个奇怪的问题，原因到底出在哪里呢？我们把x=5代入“x+5=10”成立吗？

生29：成立！

师：继续往上代呢？

生30：（x+5）（x-5）为0，分母也为0了！

生31：（恍然大悟地）也就是说我们是对不可能相等的两个分式乘了一个数0以后得到一个等式了.x=5是原方程的增根.

生32：可是我们在去分母的时候怎么知道是否乘了一个值为0的数呢？

生33：算好以后检验一下！

师：对，事先不知，解完方程以后进行检验.你们觉得怎样检验呢？

生34：可以代入原方程看看分母是不是等于0.

师：还有其他检验的方法吗？

生35：也可以代入最简公分母，看看最简公分母是不是为0.

师：很好！最简公分母是根据分母产生的，更直接！现在，我们来看一道完整的解分式方程题：例2：解方程：

（师生共同确定最简公分母，然后书写完整的解题步骤，共同归纳解分式方程的一般步骤：化（化为整式方程）→解（解整式方程）→验（检验是否为增根）→写（写出分式方程的解或说明无解），接着从课本练习中筛选以下两题）

师：方程（2）的解为x=-1.5，x=1是方程（3）的增根，方程（3）无解.是否所有的分式方程只要出现增根就无解了呢？我们来看之前遇到的一个方程：去分母以后得到方程的解是什么？

生36：x=1或x=0.

师：我们发现x=0是该方程的增根，但是该方程还有一个解x=1.

【教学说明】本教学片段中，教师没有急于告诉学生解分式方程必须进行检验，而是先让学生自行解方程，在实践的基础上产生疑惑，再举例帮助释疑解惑，让学生自然地理解解分式方程时检验的必要性，同时通过后续的练习帮助学生理解增根.本处通过例2强化分式方程的解题步骤，目的是帮助学生学会规范地进行书写.

5.梳理小结，提升认识.

师：今天，我们又认识了“方程家族”中的一名新成员：分式方程，你能否模仿式子的结构将“整式方程、分式方程、一元一次方程、二元一次方程”放到合适的位置呢？

（生模仿课开始的框架整理）

师：当然，整式方程远不止这两种，所以，我们在后续再添上省略号.解分式方程的一般步骤是什么？

生37：化→解→验→写.

师：把分式方程转化为整式方程，去分母是最普遍的方法，其他的“倒一倒”等方法只适用于一些特殊的方程.这些转化，给了你什么启发？

生38：解题时，我们常常把不会的转化为会的，把陌生的转化为熟悉的……

师：转化，是我们最常用的数学思想，它无时无刻不藏在数学之中、生活之中，让我们变得越来越聪明！

【教学说明】出示三个问题，帮助学生梳理知识，将新知纳入新旧概念体系，形成完整的知识架构，感悟转化、类比等数学思想，提升认识.

三、教后反思

在课后的教学研讨中，名师、特级教师、广西听课教师等众多参与教师对本课展开深入研讨和交流，充分肯定了本课设计和实施中的亮点，认为这是一节“设计精巧、过程自然”的课，笔者也从中获得很多启发，现集结一些观点及思考分享如下.

1.教学设计尊重“学生现实”，推进才会自然.

我们常说，理解数学是教好数学的前提，与此同时，对学生学习水平的理解也是有效教学的保证.关于本课的教学导入，大部分老师遵循了教材的编排，采用了实际生活问题导入，有的老师还自行编制了基于学生实际的应用题，让学生体会分式方程是刻画现实世界的重要模型，但是本课教学中，基于学生现实，笔者把列分式方程及其应用作为第2课时，既避免了课始就让学生畏惧冗长的文字理解，又让学生有更多的时间来学习分式方程的解法，收到了良好的教学效果，使得学生的学习显得轻松、自然.

2.思想方法教学“润物无声”，渗透才会自然.

数学思想方法指的是蕴含在知识内容中体现数学本质的东西，本课中重点渗透了两种思想方法，一是类比思想，二是化归思想.在整个教学过程中，并没有刻意地说出或板书这两种思想，但却潜移默化地渗透在各个教学过程中，如开课之初类比整式方程提出问题引出分式方程，之后类比含分母的整式方程的解法想到去分母解分式方程，到最后类比式子的分类对方程进行分类，这些数学活动让学生感悟、体验、运用类比的思想方法.再者，本课教学中巧妙地将分式方程转化为整式方程来解的萌芽蕴含在整式方程和分式方程的辨别中，既以对比的形式给出整式方程和分式方程的不同特征，又让学生在对比中感受可以通过“倒一倒”“去分母”等方式将分式方程转化为整式方程，从学生的课尾感悟中可见学生已经自然地感受到这种把陌生变为熟悉的转化与化归思想.

3.运算教学需要“适量训练”，技能自然形成.

运算技能指的是按照一定的程序与步骤进行运算，运算能力主要体现在运算的正确、灵活、合理和简洁，提高运算能力需要适度的训练，实现从简单到复杂、从低级到高级、从具体到抽象的螺旋上升.本课的教学目标是帮助学生学会解分式方程，从学生的课堂练习和黑板板演来看，大部分学生都已经学会解一般的分式方程，但是由于学生参差不齐，有的学生找最简公分母也有一定的困难，在同样的学习容量下，需要进行课后的补习.再者，本课在时间允许的情况下，可以增加学生自己练习、互相纠错、反馈评价等环节，充分暴露学生的学习水平、学习过程等情况，以便教师教学跟进.再者，技能的形成需要一个过程，只有当学生经历适量的训练之后，逐渐明晰算理，才会从模仿走向程序，通过优化程序走向自动化.