☉浙江宁波国家高新区信懋中学 陈恩丹

基于“生成性”教学理念下的法则教学实践
——以“微共体”实践案例为例

☉浙江宁波国家高新区信懋中学 陈恩丹

关于如何教学数学运算法则，一直是一线教师感到苦恼、困惑的问题，“重结果轻过程”是法则教学中的普遍现象，大多数教师会直接给出运算公式（法则），然后让学生通过反复训练来强化记忆公式.课堂教学普遍与以生为本理念存在偏差，较少体现过程教育与以生为本相结合的教学思想.“法则”教学是初中数学教学的重点，如何让学生真正理解法则，掌握法则，究其“根”“本”，就是让学生经历法则的形成过程，将带有生硬规定性的法则变成学生的自然生成，充分淡化生硬的规定痕迹.这就要求教师在教学时要立足学生的生活经验、数学学习经验和已有知识水平，慢化探究过程，引导学生经历法则的生成与构建，揭示法则的本质.最近，笔者因工作需要执教了浙教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第三章第三节“多项式的乘法（第1课时）”.为此，结合新课标对数学知识教学的要求，从新法则的生长点、生长过程、在知识体系中的相互验证、融会贯通等一系列探究过程进行了尝试，下面谈谈我的教法和思考.

一、教学实录及设计说明

1.追根溯源，找准新法则的生长点.

师：同学们前两天学习了单项式的乘法，今天上新课前我们一起来热身，口答下面几道题.

①（-2a2c）（-3bc）；②c·（b+m）；③-6a（a3-3ab+1）.

生1：6a2bc2.

师：它属于哪一类运算？运算依据是什么？

生1：单项式的乘法，依据是单项式乘法法则.

师：很好！单项式乘法法则其实就是依据乘法交换律.

生2：bc+cm.

师：它属于哪一类运算？运算依据是什么？

生2：单项式与多项式相乘，依据是分配律.

生3：-6a4+18a2b-6a.单项式与多项式相乘，依据是分配律.

师：棒极了！这里既要关注不要漏乘，又要关注符号问题，你都处理得很到位.

师：（指着第二个式子）老师将这里的c换成（a+n），这又属于哪一类运算？这就是我们今天所要学习的多项式的乘法（1）.

师板书：课题 3.3多项式的乘法（1）.

设计说明：本教学片段体现以生为本，选择了合适的切入点.查阅众多课例，关于本节内容的切入，大部分教师都选择通过厨房的面积引入多项式与多项式相乘法则，虽然感受数学与生活的联系，对学生来说也很容易理解，但是由于直接切入计算面积得到多项式乘法法则，缺少了循循善诱的基因，不利于思维的发散.同时，粗暴地导入课题的方法忽视了学生的学习能力，学生一开始只是一味地计算厨房的面积，而不知道为何要去计算，忽略了知识体系的构建和学习方法的迁移.事实上，学生已经学过单项式的乘法，所以，多项式乘法的学习，从单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘的简单例子，回顾单项式的乘法法则，为本节课的学习打下扎实基础.同时，以c·（b+m）中的c换成（a+n）找准多项式乘多项式新知识的生长点，让学生自然而然去类比单项式的乘法法则，进而自主探索得到多项式的乘法法则.本课的导入既让学生复习梳理了单项式的乘法，同时又让学生类比之前的研究方法，构建了“前后一致，逻辑连贯”的教学.

2.合作探究，品味新法则的生长过程.

师：（a+n）（b+m），多项式与多项式相乘又该如何计算？计算结果会如何？请同学们类比单项式乘法进行探索.

师：你们是怎么思考的？有哪些方法途径？请同学们组内交流，再汇报小组的成果.

生4：我们把（a+n）看成一个整体，利用整体的思想，将它转化成单项式乘多项式，运用分配律得到b（a+n）+m（a+ n），再利用分配律转化成单项式乘单项式得到结果.

师：还可以怎么思考？

生5：也可以把（b+m）看成一个整体.

师：我们熟悉的长方形（或正方形）的面积，即两数相乘的模型，此处亦是两式相乘的模型.能否借助几何图形的面积来诠释结果是否正确？

生6：构造边长分别是（a+n）与（b+m）的长方形.

师：这个图形的面积可以怎么表示？

生6：（a+n）（b+m）.

师：还有其他方法吗？引导学生采用分割的方法计算长方形（或正方形）的面积.

图1

师：用不同方法计算同一长方形（或正方形）的面积，所得结果相同.这是生活中常用到的割补法，是数学家刘徽的出入相补原理，整体面积等于若干图形的面积之和，体现建模思想.这里用图形面积的方法比较直观地解释这个结果，也体现了数形结合的思想.当然，（指着构造的图形）老师觉得它亦有不足之处，边长都是正数，但是（a+n）（b+m）中的a、n、b、m可以是任意的实数，甚至是一个单项式或者多项式.

师：你能用文字语言描述多项式乘法该如何计算吗？

生：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.

师：用符号语言可表示为（a+n）（b+m）=ab+am+nb+ nm.

师板书：（a+n）（b+m）=ab+am+nb+nm.

设计说明：本教学片段的设计，首先以“（a+n）（b+ m）这个多项式与多项式相乘又该如何计算？计算结果会如何？请同学们类比单项式乘法进行探索.你们是怎么思考的？有哪些方法途径？”这些提问引领学生思考，不但使学生体会到知识的形成过程，更深刻认识到多项式的乘法法则是基于单项式的乘法运算的基础上产生的，从而对运算发展的主线有了更清晰的认识；接着，指明问题的解决策略——从“数”的角度来计算和从“形”的角度来诠释，利用大矩形面积不变，尝试多种图形分割方式，感受用等积构造恒等式的妙处，也为将来用构图法验证乘法公式、验证勾股定理储备知识基础，渗透数形结合思想；最后，用自己的语言提炼多项式乘多项式法则，感受如数学家般的思考研究过程.在生生互动、师生互动中完成方法途径的讨论，让学生经历法则的生成过程，将带有生硬规定性的法则变成学生的自然生成，充分淡化生硬的规定痕迹.

3.尝试应用，构建新法则成知识体系.

（1）例1：计算：①（x+y）（a+2b）；②（3x-1）（x+3）；③（2a-b）2.

师：先引导，不计算：x+y有哪几项？a+2b有哪几项？

生口答：画出多项式的每一项（红粉笔）.

边讲边板书第①小题，让学生独立完成第②小题与第③小题.

师：（第②题）3x2这一项的符号为什么是正？9x这一项的符号为什么是正？-x这一项的符号为什么是负？-3这一项的符号为什么是负？

师总结归纳：①积的符号由这两项的符号来确定，同号得正，异号得负；②最后的结果要合并同类项.

师：（第③题）它是多项式与多项式相乘吗？哪两个多项式相乘？你的计算结果是否正确？我们按法则来计算，法则指引.

师：你能总结一下多项式与多项式相乘过程中有哪些需要注意的地方？

注意：①不重复、不漏项，应按一定的顺序进行；

②多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”；

③有同类项的要合并，最后结果不含同类项.

（2）接着请同学们来编题.

请同学们来编题：从下面6个单项式中任意选取若干个单项式（每个最多用一次）运用“+、-”运算符号组成多项式，再写成多项式乘多项式的形式，让你的同桌来计算结果.

老师对学生的出题和解题情况进行巡视，挑选出两个典型的题目投影进行批改.

（a-2b）（m-1）；（a-n）（2b+c-1）.

师：这位同学编的（a-n）（2b+c-1），属于多项式乘多项式吗？

生（合）：是.

师：初次乘开有几项？生7：六项.

师：你是怎么思考的？

生7：因为我们可以将（2b+c-1）看成一个整体，利用整体的思想，将它转化成单项式与多项式相乘，运用分配律得到a（2b+c-1）-n（2b+c-1），再利用分配律转化成单项式乘单项式得到六项.

师：还可以怎么思考？

生8：也可以将（a-n）看成一个整体.

生9：也可以直接对照多项式的乘法公式，多项式与多项式乘法公式中的a、n、b、m可以是任意的实数，甚至是一个单项式或者多项式.所以运用多项式乘法法则，初次乘开应该有六项.

师：三项多项式乘三项多项式呢？

生9：九项.

（3）例2：先化简，再求值：（2a-3）（3a+1）-6a（a-4），其中

师：对于-6a（a-4），你是怎样化简的？

师根据生的回答，分析，点拨，板书.

师：新知识、旧知识有机结合.

（4）变式：（2a-3）（3a+1）-（6a+1）（a-4）.

生独立完成.

设计说明：两道例题及两道练习，让学生独立尝试、同桌互改、班级展示及教师点拨.一方面直接巩固应用多项式乘法法则，深化对法则的理解；让学生感受到不管问题如何变化，始终可以找到用整体转化思想、用数形结合、用法则等问题解决的方法；最后，充实并构成了完整的整式乘法法则，为后续乘法公式等知识的学习作铺垫.另一方面，不但能活跃课堂气氛，提高学生学习的兴趣和积极性，而且让知识真正被吸收、被运用，经过学生自身的“再加工、再创造”，成为有效的知识，对培养学生的多种思维能力、合作学习能力和交流能力等诸多方面都会起到意想不到的效果.

二、教学思考

基于《课标（2011年版）》提出的教学要求和教材的意图，将其教学立意于“类比、感悟、积累、发展”，从学生已有的知识与经验出发，运用类比的思维策略、教师价值引导和学生自主建构相结合的适度开放的方式，引导学生经历完整的认知过程.在设计上注重整体感悟知识发展的逻辑主线，结构上层层递进.在“追根溯源，找准新法则的生长点”的教学中，既有回顾单项式乘法的过程，又有通过类比提出问题的过程，以揭示新旧知识之间的内在联系和激发学生的学习兴趣；在“合作探究，品味新法则的生长过程”的教学中，既有学生自主实践与思考的过程，又有交互反馈与评价的过程，以感悟研究数学的基本经验；在“尝试应用，构建新法则入知识体系”的教学中，既有学生练习，又有学生自己编题，以促进学生自我提高.这体现了过程教育和以生为本的思想，也遵循了导入性教学、法则教学的基本规范，能全面发挥其育人功能.

本节课在法则的生成教学过程中，呈现以下几个明显特征：

1.体现以生为本，法则引入自然、流畅.

读懂教材，领悟编者的意图，这是有效开展教学的基础.然而，受条件限制，教材内容往往只能以静态的形式呈现，其中蕴含的数学思维要靠教师通过动态的课堂活动才能得以激活.如果教师没有深入理解教材，没有领会编者意图，课堂上只能是教材内容的“二传手”，各环节的教学将是碎片化的，不够连贯，不易构建完整的知识体系，经历思维过程、培养数学能力更是无从谈起.

如果本次教学仅从实际问题引入知识，列出多项式乘多项式的算式，然后根据面积的不同算法得到法则，这样的引入无法让学生从整体上体会运算发展的脉络及各种运算之间的关系.笔者引导学生通过类比单项式的乘法法则来自主探索得到多项式的乘法法则，更利于学生知识体系的巩固→发展→扩散.这种数学化的引入注重数学知识间的内部联系，问题层层递进，引导学生在不知不觉中进入学习的最佳状态.

2.渗透数学思想，多视角感悟法则.

在整个法则教学过程中，除了让学生能从“数”的角度来计算得到法则，还鼓励学生从图形面积——“形”的角度来解释法则的正确性，渗透了数形结合的应用思想.

研究方法上注重培养学生多视角去研究感悟法则，注重整体感悟知识发展的逻辑主线.学习方法上重视培养学生的素养，让学生感悟类比思想、整体思想、数形结合思想、转化与化归思想.较好地处理了知识与方法的关系，让学生体验了在数形结合思想方法引领下的知识学习，感悟数形结合的必要性和知识产生的必然性，提高学生对数学知识的理解.

3.慢化探究过程，揭示法则本质.

拉长思维过程，让学生经历法则的形成过程，自主揭示法则的本质，准确把握法则的内涵和外延.当前，数学课堂仍然存在“快餐式”教学.比如，在法则的教学中，有的教师不关心法则的形成过程，“直接”告诉学生法则，让学生记住法则公式，接着举例训练，反复练习.这种教学方式缩减了法则探究的历程，影响了学生的深度思考，阻碍了学生的思维发展和能力的提升.网上诸多课例，对多项式乘法法则的得出用时不到十分钟，法则产生的历程交代得不够到位，法则本质的揭示并不是学生自主完成的，导致学生对法则的应用只会机械模仿，生搬硬套，长此以往，将对“四基”的落实产生不利影响.笔者的教学中，法则的给出虽然用时较多，挤压了强化训练的时间，似乎很不划算，实则不然.在探索法则的过程中，学生通过独立思考、小组讨论、分享交流，经历问题解决的全过程，体验解决方法的多样性，在交流碰撞中解决问题，提升能力.正因为笔者能够慢化探究过程，才能有如此精彩的课堂生成，学生才能收获成功的喜悦，体会数学学习的乐趣.在这种“慢”教学中，学生充分经历法则的形成过程，自主完成法则的建构，理解法则的本质属性，对学到的法则自然体会深刻，记忆牢固.学生在获取数学知识的同时，思维能力、情感体验等方面都将得到发展，这应是数学课堂不懈的追求.

总之，在新课程的教学中，面对新问题、新困惑，既要敢于大胆地把学习的主动权还给学生，尊重学生，满足学生的表现欲望，让学生在尝试中发现问题，在自主与合作中探究解决问题的方法，在讨论中形成知识、方法的结论，在交流中产生情感共鸣，在运用中获得成功的满足；同时又要不断总结、优化、完善课堂教学中的调控策略，组织好学生的探究、讨论与交流，努力做到“活而不乱”.

1.尹红梅，张建鹏.因势利导，自然生成——“单项式与多项式”教学实录及其评析［J］.中学数学教学参考（中），2015（8）.

2.詹高晟.慢化概念教学，促进本质理解［J］.中学数学教学参考（中），2016（3）.

3.耿恒考.理解概念 明确法则 熟练应用——苏科版七年级“2.4相反数”解读及教学实录片段［J］.中学数学（下），2013（16）.

4.陈莉红.探究让法则教学更有效［J］.江西教育，2013（10）.