■陕西省神木县职业技术教育中心 高 平

数学期望考题的新动

■陕西省神木县职业技术教育中心 高 平

近年来高考考查离散型随机变量的数学期望的试题,具有内容新、背景新、结构新、实际应用性强等特点。下面结合实例谈谈近年高考考查数学期望的新动向,供同学们参考。

一、取材新

不难发现数学期望的试题也融入新课标的教育理念,多角度、多视点地考查同学们的数学素养。关注学生生活,注重社会现实,体现时代精神,体现社会热点,关注当前科技新发展,试题中有大量的生活背景,充分体现了“从生活走向数学,从数学走向生活”的理念。

例1 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算)。甲、乙两人独立来该租车点租车骑游,各租车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过四小时。

(1)求出甲、乙所付租车费用相同的概率;

(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与数学期望Eξ。

则所付费用相同的概率为：

(2)设甲,乙两人所付的费用之和为ξ,ξ可为0,2,4,6,8。

分布列为：

二、情境新

例2 马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下：

请小牛同学计算ξ的数学期望。尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同。据此,小牛给出了正确答案Eξ=。

解析：初看此题,与平时给出的分布列很是不同,第二行的概率值都没有给出,为同学们的答题设置了障碍。但尝试从基本思路出发解决本题,却发现非常简单：变量ξ的期望Eξ=1×?+2×!+3×?=4×?+2×! =2(!+2×?),而“!+2×?”刚好就是事件概率的性质——概率和为1,这样就能很快得出结果2。

例3 (2 0 1 5年福建理科卷)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定。小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试。若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定。

(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望。

解析：(1)首先记事件“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则银行卡被锁定相当于3次尝试密码都错误,基本事件总数为=6×5×4,事件A包含的基本事件数为=5×4×3。

依题意得,X所有可能的取值是1,2,3。

所以,X的分布列为：

三、注重知识的交汇

在知识网络交汇点设计试题是高考数学命题的新特点和大方向,高考中的数学期望试题也不失时机地体现了这一动向。

例4 设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S。

(1)记使得“m+n=0成立的有序数组”为事件A,试列举A包含的基本事件;

(2)设ξ=m2,求ξ的分布列及数学期望Eξ。

解析：(1)由x2-x-6≤0得,-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}。由于整数m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0)。

(2)由于m的所有不同取值为-2,-1, 0,1,2,3,所以ξ=m2的所有不同取值为0, 1,4,9,且有

故ξ的分布列为：

(责任编辑 徐利杰)