■河北省张家口市第一中学 侯凤云

数列新颖题型赏析

■河北省张家口市第一中学 侯凤云

一、等差数列前n项和的最值问题

例1 (广东省韶关市2 0 1 6届高三调研)已知数列an{}中,a1=2 5,4an+1=4an-7,若其前n项和为Sn,则Sn的最大值为( )。

解析：由4an+1=4an-7知数列an{}为等差数列,公差为单调递减数列由an≥0且an+1＜0,得所以n=1 5,即数列an{}的前1 5项均为正值,第1 6项开始为负值,故S15最大,S15=

点评：对于公差d＜0的等差数列,当a1＜0时,存在最大值,(Sn)max=S1=a1,但无最小值;当a1＞0时,存在最大值Sm,正整数m由不等式组确定,当am=0时,最大值Sm-1=Sm,但无最小值。

二、等比数列的最值问题

例2 (2 0 1 6年衡水中学调研)各项为正数的等比数列an{}中,存在两项am,an使最小值是。

解析：各项为正数的等比数列{an}中由a7=a6+2a5得q2=q+2,故q=2或-1(舍去)。由=4a1可得2n+m-2=1 6,故m+n=6。则等号。注意m+n=6,m,n∈N*的条件,调整与最接近的正整数解

点评：用均值不等式求数列中的最值,既要满足“一正、二定、三相等”的取等号条件,还注意变量为正整数的隐含条件。特别是根据条件得到的值为非正整数时,应取相邻的两个正整数,代入求值然后决定取舍。

三、等差数列与等比数列的类比

例3 在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+ a19-n(n＜1 9,n∈N*)成立。类比上述性质,相应地,在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式成立。

解析：等差数列与等比数列有很多可以类比的性质,类比上述等差数列性质,可得到结论：b1b2…bn=b1b2…b17-n(n∈N*,n＜1 7)。推证过程是：在等差数列an{}中,由a10=0得,a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n= an+1+a19-n=2a10=0,注意到n＜1 9,所以a1+a2+…+an+…+a19=0,即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1。又因a1= -a19,a2=-a18,…,a19-n=-an+1,故有a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1=a1+ a2+…+a19-n。若a9=0,同理可得：a1+a2+…+an=a1+a2+…+a17-n。由于等比数列与等差数列的差别在“积”与“和”,因此把等差数列的“和”类比到等比数列的“积”可以得到：在等比数列{bn}中,若b9=1,应有b1b2…bn=b1b2…b17-n(n∈N*,n＜1 7)。故答案为b1b2…bn=b1b2…b17-n(n∈N*,n＜1 7)。……