■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其

性规划思想“对决”非线性目标函数

■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其

“线性规划”是每年高考必考内容。从近几年的高考命题看,命题重点已从考查线性目标函数的最值转向考查非线性目标函数的最值,突出线性规划思想的应用。那么非线性目标函数主要有哪些呢?下面举例说明。

一、斜率型

例1 (1)(2 0 1 5年·新课标Ⅰ)若x、y

解析：(1)作出可行域,如图1中阴影部分所示。由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点 A(1,3)与原点连线的斜率最大,故的最大值为3。

图1

图2

二、距离型

(1)设z=x2+y2,则z的取值范围是;

(2)设z=x2+y2+6x-4y+1 3,则z的取值范围。

图3

(1)因为z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方,故结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,dmin=|O C|=2,dmax=|O B|=2 9。

所以2≤z≤2 9。

(2)因为z=x2+y2+6x-4y+1 3= (x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方,结合图形可知,在可行域上的点到(-3,2)的距离中：

dmin=1-(-3)=4;

dmax==8。

所以1 6≤z≤6 4。

三、绝对值型

例3 (2 0 1 5年·浙江卷)若实数x、y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是。

解析：因为满足x2+y2≤1的实数x、y表示的点(x,y)构成的区域是单位圆及其内部,因此x∈[-1,1],y∈[-1,1],故6-x -3y＞0。

所以f(x,y)=|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y

直线y=-2x+2与圆x2+y2=1交于A、B两点,如图4所示,易得

设z1=4+x-2y,z2=8-3x-4y,分别作直并平移,则z1=4+x-2y在点取得最小值3,z2=8-3x-4y在点取得最小值3。

图4

所以|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3。

点评：对于绝对值型的目标函数,往往可以通过分类讨论,将含有绝对值的目标函数转化为线性目标函数。

四、综合型

图5

由图可知,点P在点B处时,t取得最小值;点P在点C处时,t取得最大值。

]。

点评：当目标函数比较复杂时,往往可以通过适当换元,将原函数化简成新函数,并根据约束条件确定可行域,求出新变量的取值范围,进而求出新函数的最值。(责任编辑 徐利杰)