四川省仁寿县华兴中学 王 桃

一、引言

勾股定理是初中数学中非常重要的一个定理。它很好地解释了直角三角形中三边的数量关系，对于几何学当中有关直角三角形的计算证明问题，利用勾股定理往往能使学生快速解决问题。同时，在日常生活及工作中，勾股定理的应用也非常广泛。笔者根据多年的教学经验，利用勾股定理如何来解决“线段求长度”“面积”“最短路径”“实际问题”进行分析和探究，希望以此能够为初中数学教学提供有效依据。

二、勾股定理的应用

（一）勾股定理在三角形的高问题中的应用

在初中数学中，求三角形的高如果直接去求会非常困难，而利用勾股定理则非常轻松求出高。

1.利用勾股定理求直角三角形斜边上的高

例题1.如图,在长方形A B C D中,AD=4,CD=3,AE⊥BD,则AE等于多少?

[解析] 利用直角三角形两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高相乘（等积法）

解：∵正方形ABCD，BC=3

∴ ∠BAD=90°，AB=3

在直角三角形ABD中

∵AD=4，AB=3

2.利用勾股定理求一般三角形一边上的高

例题2.如图，△ABC是小新家的门口的一块空地，三边的长分别是AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，现准备以每平方米50元的单价请承包商种植草皮，问共需要多少费用？

[解析] 解决一般三角形某边上的高，常常通过勾股定理，利用三边关系列方程

解：过点A作AD⊥ BC，设BD＝x，则DC＝(14－x)米

∵在Rt△ABD与Rt△ACD中，由勾股定理得：

AB2－BD2＝AD2＝AC2－DC2

即132－x2＝152－(14－x)2

解得x＝5

（二）勾股定理在面积问题中的应用

例3.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，则图中阴影部分面积是多少？

[解析] 解决面积问题，首先通过图形将面积问题转化为求线段的长度问题，在直角三角形中要求某条线段的长，通常设未知数，利用三边关系来列方程。

解：∵正方形ABCD，AB=8

∴AD=BC，AB=CD=8cm

∵CE=3cm

∴DE=8-3=5cm

∵将△ADE折叠到△AFE

∴AD=AF，DE=EF=5cm

在直角△CEF中

设BF=xcm，则AF=AD=(x+4)cm

在直角△ABF中

（三）勾股定理在最短路程问题中的应用

例4.如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

[解析] 蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如图：

解：如图①，在Rt△ABC1中，

AC12＝AB2＋BC12＝42＋32＝25，

∴AC1＝

如图②，在Rt△ACC1中，

AC12＝AC2＋CC12＝62＋12＝37，

∴AC1＝

如图③，在Rt△AB1C1中，

AC12＝AB12＋B1C12＝52＋22＝29，

∴AC1＝

∵25＜29＜37，

∴沿图①的方式爬行路线长最短，最短的路线长为5.

（四）勾股定理在方位角问题中的应用

例5.如图，在C港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，1小时后甲船到达B岛，乙船到达A岛，且A岛与B岛相距17海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？

[解析] 对于方位角，通常是利用方位角得到直角三角形，然后利用直角三角形的三边关系，即勾股定理解决问题。

解：由题意得

AB=17，AC=5，BC=8

∵ AC2=25,BC2=64

∴ AC2+BC2=289=AB2

∴△ABC为直角三角形

∵甲沿北偏东60°

∴A沿南偏东30°

（五）勾股定理在噪音影响问题中的应用

例略。

三、总结

（一）勾股定理在初中数学中的应用一般有两条思路。

1.已知直角三角形勾股定理求第三边勾股定理逆定理。

2.已知三角形三边勾股定理逆定理得出直角三角形勾股定理。

（二）利用方程的思想，通过勾股定理列方程，从而达到求线段的长度。