李志鹏， 高悦豪， 王震宇， 麻鸿祥， 武校刚

(宁波工程学院 建筑与交通工程学院， 浙江 宁波 315211)

基于有限元法的一维光子晶体光学特性分析

李志鹏， 高悦豪， 王震宇， 麻鸿祥， 武校刚

(宁波工程学院 建筑与交通工程学院， 浙江 宁波 315211)

运用电磁学的里兹变分法， 建立一维光子晶体理论分析的有限元模型. 通过建立的有限元模型， 采用有限元方法对一维光子晶体进行研究. 数值模拟出完整一维光子晶体的透射谱、 含缺陷层的一维光子晶体TE偏振光和TM偏振光的透射谱以及缺陷层厚度对一维光子晶体的透射特性的影响.

有限元法； 一维光子晶体； 缺陷层； 禁带

0 引 言

自1987年由S.John和E.Yablonovitch在讨论周期性电介质结构对材料中光传播行为的影响时分别开创性地独立提出光子晶体(Photonic Crystals,PC)的概念以来[1,2]， 光子晶体已经被越来越广泛和深入的研究. 所谓光子晶体， 就是介质在空间呈现周期性排列形成的人造新型光学材料. 当光在折射率呈周期性变化且与光波长有着相同的数量级厚度的材料介质中传播时， 某些频率范围内的光会受到抑制形成光子禁带[3,4]， 因此， 又可称为光子带隙(PBG)材料. 一维光子晶体是由材料的折射率在一个方向上周期性变化形成的， 如果一维光子晶体在某个位置上电介质排列的周期性被打破了， 即晶体中出现了缺陷， 即形成一维缺陷光子晶体.

对一维光子晶体的理论研究， 人们大多使用的是特征矩阵法. 本文提出另外一种研究方法， 即有限元方法. 有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术方法， 用许多子域来代表各个连续区域， 在子域中， 未知函数用带有位置系数的简单插值函数来表示[5]. 因此， 无限个自由度的原边值问题转化成了有限个自由度的问题. 然后， 用里兹变分原理或伽辽金方法得到一组方程组， 通过求解方程组得到边值问题的解.

1 一维光子晶体有限元模型

图 1 一维光子晶体示意图Fig.1 Schematic diagram of one-dimensional photonic crystal

一维光子晶体是折射率在一个方向上的周期性排列形成的人工微结构材料. 这种结构在垂直于介质层方向上的折射率是空间位置的周期性函数， 而在平行于介质层平面的方向上折射率不随空间位置而变化. 如图 1 所示的是一种典型的一维光子晶体， 由介质A和介质B交替叠层而成. 介质A的折射率为na， 几何厚度为a， 介质B的折射率为nb， 几何厚度为b， 折射率空间变化周期(晶格常数)为d=a+b， 且d的量级为光波长量级.

在一维光子晶体均匀介质层中， 电磁场必须满足亥姆霍兹方程

(1)

满足亥姆霍兹方程最基本的解是平面电磁波解. 其解

(2)

式中：k是布洛赫矢量. 梯度算子变化的结果为

该问题可简化为

(3)

有限元方法首先是区域离散化. 一维区域离散化示意图如图 2 所示， 因此， 根据一维光子晶体的结构， 可以将晶体的每一个介质层作为一个单元. 如果光子晶体有N个周期， 那么就可以划分为2N个有限单元， 每个单元的介质折射率和几何厚度交错相同.

图 2 一维区域的有限单元划分示意图Fig.2 Schematic diagram of one-dimensional region finite element division

之后是选择插值函数. 为简单起见， 我们可以应用线性插值， 因此， 在e个单元内， 场值φ(x)可以近似为

式中：ae和be是待定系数. 每一单元内均有两个节点， 根据两个节点处的值， 可以解出ae和be. 得到

由变分原理推导出式(3)的泛函可写成

(4)

(5)

(6)

应用局部和全局结点编码的关系， 我们能够将[Ke]扩展成4×4矩阵， 并将{φe}扩展成4×1列向量， {be}扩展成4×1列向量， 则由所有单元相加后得出下列矩阵形式

(7)

式中： [K]是(2N+1)×(2N+1)矩阵， [φ], [b] 是(2N+1)×1列向量， 其中， [b]是与区域边界有关的矩阵. 通过高斯消元法求出各点的φ值， 再通过解后处理可以求得所需要的关系值. 下面以电场为例， e单元内的有效反射系数为

(8)

(9)

(11)

2 计算结果举例

2.1 不含有缺陷层的一维光子晶体

图 3 垂直入射时不含缺陷层的一维光子晶体透射谱Fig.3 Transmission spectrum of one-dimensional photonic crystal with no defect for normal incidence

由介质TiO2和CaF2周期性排列， 构成一维光子晶体， 入射层和初涉层均为空气层. 两介质的折射率分别为n1=2.70(TiO2)， n2=1.32(CaF2)， 各个介质层的厚度为光学厚度， 即均为n1d1=n2d2=λ/4， 中心波长为λ0=630nm. 周期数N=10. 光垂直入射即入射角为0°. 如图 3 所示.

由图 3 可以看出， 一维完整光子晶体在波长为518.8～792nm范围内存在禁带， 在此波长范围内的光被严格禁止， 不能在晶体内传播， 而波长在其他范围内的光可以透过.

2.2 含有缺陷层的一维光子晶体

由介质TiO2和CaF2周期性排列构成一维光子晶体基本单元， 缺陷层介质为Si,入射层和出射层均为空气层. 其中， 两介质的折射率分别为n1=2.70(TiO2)， n2=1.32(CaF2)， 两介质层的厚度为光学厚度， 即均为n1d1=n2d2=λ/4， 缺陷层的折射率为n′=3.3(Si)， 该层厚度为30nm， 中心波长为λ0=630nm， 缺陷层前后均为5个周期. 光的入射角为30°. 结果如图 4 所示.

由图4可以看出， 在相同情形下，TE偏振光和TM偏振光的光学特性有着显著的不同，TE偏振光的禁带出现在504.2 ～825.1nm波长范围内， 而TM偏振光的禁带出现在467.9 ～840.2nm波长范围内. 由于引入了缺陷层， 破坏了一维光子晶体的周期性结构， 因而，TE偏振光和TM偏振光在各自的禁带中均出现了透射峰， 其中，TE偏振光的透射峰出现在波长为572.4nm左右，TM偏振光的透射峰出现在波长为573.9nm左右. 这与矩阵法计算的结果是完全吻合的.

在以上含有缺陷层一维光子晶体的各个参数不变的情况下， 改变缺陷层厚度分别为50nm、 70nm. 为了不受其他参数变化的影响， 还把光定为30°角入射， 因此， 可以TE偏振模式光为例， 结果如图 5 所示.

图 4 入射角为75°的一维缺陷光子晶体的透射谱Fig.4 Transmission spectrum of one-dimensional photonic crystal with defect for the incident angle 75°

图 5 含不同缺陷层厚度的一维光子晶体透射谱Fig.5 Transmission spectrum of one-dimensional photonic crystal with different thickness defect layer

由图4(a)和图5可以看出， 缺陷层厚度为30nm时， 禁带内的透射峰出现在波长为572.4nm左右； 缺陷层厚度为50nm时， 禁带内的透射峰出现在波长为637.5nm左右； 缺陷层厚度为70nm时， 禁带内的透射峰出现在波长为700.2nm左右. 因此， 随着缺陷层厚度的增加， 禁带内的缺陷峰引起向着波长增加的方向移动.

3 结 论

本文详细推导了一种理论分析一维光子晶体光学特性的方法——有限元法. 通过示例计算讨论了一维光子晶体的光学传输特性. 本文方法所得结果与用其他方法如特征矩阵法、FDTD等方法所得结果完全一致， 表明本文方法对一维光子晶体理论分析的适用性和有效性. 而且， 本文方法更加适用于对二维光子晶体的研究， 将在以后另文发表.

[1]YablonovitchE.Inhibitedspontaneousemissioninsolid-statephysicsandelectronics[J].Phys.Rev.Lett., 1987, 58： 2059-2062.

[2]JohnS.Stronglocalizationofphotonsincertaindisorder-eddieletricsuperlattice[J].Phys.Rev.Lett., 1987, 58： 2486-2490.

[3]FangYuntuan,ShenTinggen,TanXilin.Studyonone-dimensionalphotoniccrystalwithimpuritydefects[J].ActaOpticaSinica, 2004, 11(24)： 1557-1560.

[4]GuGuochang,LiHongqiang,ChenHongtao,etal.Proper-tiesoflightpropagationin1-Dperiodicdielectricstructure[J].ActaOpticaSinica, 2000, 6(20)： 728-733.

[5] [美]金建铭. 电磁场有限元方法[M]. 陕西： 西安电子科技大学出版社， 2001.

Analysis of Optical Properties of One-Dimensional Photonic Crystals Based on Finite Element Method

LI Zhipeng, GAO Yuehao, WANG Zhenyu, MA Hongxiang, WU Xiaogang

(School of Civil and Transportation Engineering, Ningbo University of Technology, Ningbo 315211, China)

By use of the Ritzvariational method, the finite element theoretical analysismodel of one-dimensional photonic crystal is established. Based on the finite element model, the characteristics of one-dimensional(1D)photonic crystals are analyzed by finite element method. The numerical simulation of the transmission spectrum of one-dimensional complete photonic crystals, the transmission spectrum of TE and TM polarized light for one-dimensional photonic crystals with defect, and the influence of the defect layer thickness on the transmission properties of one-dimensional photonic crystal, are carried out.

finite element method; one-dimensional photonic crystals; defect; band gap

1671-7449(2017)03-0250-04

2016-12-07

浙江省科技创新活动计划资助项目(2016R424002)

李志鹏(1995-)， 男， 本科， 主要从事光通信技术研究.

武校刚(1984-)， 男， 讲师， 硕士， 主要从事光子晶体及光通信技术的研究.

O433

A

10.3969/j.issn.1671-7449.2017.03.011