张四保，邓 勇(喀什大学数学与统计学院，中国 喀什 844008)

几类正整数是否为完全数问题

张四保，邓 勇
(喀什大学数学与统计学院，中国 喀什 844008)

本文研究形如5m+j与13m+j的正偶数是否是偶完全数的问题，以及形如5m-1的正奇数是否是奇完全数的问题，并给出相应的结论.

完全数；偶完全数；奇完全数

设σ(n)是正整数n的所有正因数(包括1和n)的和函数. 若n满足σ(n)=2n，则n被称为完全数. 根据Euclid定理[1]与Euler定理[2]可知，当2p-1为Mersenne素数时，2p-1(2p-1)是完全数，且是仅有的偶完全数[3]. 到目前为止，人们只发现了49个偶完全数，其中第49个偶完全数274 207 280(274 207 281-1)由美国中央密苏里大学数学家柯蒂斯·库珀领导的研究小组通过参加一个名为“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际项目于2016年1月7日发现[4]，而至今尚未发现奇完全数，是否存在奇完全数，这已成为数论中著名的问题之一[5].

1 主要结论及证明

定理1 形如5m+j的正偶数不是完全数，其中j=-1,2.

证 设n是5m+j型的正偶数，其中j=-1,2，即n≡-1,2(mod 5). 由Euler定理与Euclid定理可知，偶完全数n的形式必为2p-1(2p-1)，其中2p-1为Mersenne素数. 当p=2时，n≡1(mod 5)；当p=3时，n≡3(mod 5)；当p≥5时，令p=4k+1，或p=4k+3.

当p=4k+1时，

n=2p-1(2p-1)=24k(24k+1-1)≡1(mod 5).

当p=4k+3时，

n=2p-1(2p-1)=24k+2(24k+3-1)≡3(mod 5).

而n≡-1,2(mod 5). 所以，形如5m+j的正偶数不是完全数，其中j=-1,2. 证毕.

(1)当qi≡1(mod 5)或qi≡4(mod 5)或满足qi≡1(mod 5)与qi≡4(mod 5)；

(2)当βi全为偶数；

(3)当βi全为奇数，qi都满足qi≡2(mod 5)，且qi的个数s为偶数；

(4)当βi既有偶数又有奇数，qi都满足qi≡2(mod 5)，且βi为奇数的个数为偶数个；

(5)当βi全为奇数，qi都满足qi≡3(mod 5)，且qi的个数s为偶数；

(6)当βi既有偶数又有奇数，qi都满足qi≡3(mod 5)，且βi为奇数的个数为偶数个；

(7)当βi全为奇数，且满足qi≡2(mod 5)的qi为偶数个，满足qi≡3(mod 5)的qi为偶数个；

(8)当βi全为奇数，且满足qi≡2(mod 5)的qi为奇数个，满足qi≡3(mod 5)的qi为奇数个；

(9)当βi既有偶数又有奇数，满足qi≡2(mod 5)的βi为奇数的个数为奇数个，满足qi≡3(mod 5)的βi为奇数的个数为奇数个；

(10)当βi既有偶数又有奇数，满足qi≡2(mod 5)的βi为奇数的个数为偶数个，满足qi≡3(mod 5)的βi为奇数的个数为偶数个;

则n不是奇完全数.

Case 5 结合以上Case 1至Case 4所讨论的情况，即qi中都有满足qi≡1(mod 5)，qi≡2(mod 5)，qi≡3(mod 5)，qi≡4(mod 5)的奇素数.

定理3 形如13m+j的正偶数不是完全数，其中j=0,4,5,7,9,11,12.

证 设n是13m+j型的正偶数，其中j=0,4,5,7,9,11,12，即n≡0,4,5,7,9,11,12(mod 13).当p=2时，n≡6(mod 13)；当p=3时，n≡2(mod 13)；当p≥5时，令p=4k+1，或p=4k+3，这里k≥1为整数.

当p=4k+1时，

n=2p-1(2p-1)=24k(24k+1-1)≡3k(3k·2-1)(mod 13).

下面对3k取模13的情况进行讨论. 由于

当k=3k1时，有3k=33k1=27k1≡1(mod 13). 此时，n=2p-1(2p-1)≡3k(3k·2-1)≡1(mod 13)；

当k=3k1+1时，有3k=33k1+1=27k1·3≡3(mod 13). 此时，n=2p-1(2p-1)≡2(mod 13)；

当k=3k1+2时，有3k=33k1+2=27k1·9≡9(mod 13). 此时，n=2p-1(2p-1)≡10(mod 13).

当p=4k+3时，

n=2p-1(2p-1)=24k+2(24k+3-1)≡3k·22(3k·23-1)(mod 13).

结合上面对3k取模13情况的讨论，有

n=2p-1(2p-1)=24k+2(24k+3-1)≡3k·22(3k·23-1)≡2,3,8(mod 13).

综上所述，偶完全数n=2p-1(2p-1)取模13只满足n=2p-1(2p-1)≡1,2,3,6,8,10(mod 13).所以，若正偶数n满足n≡0,4,5,7,9,11,12(mod 13)，则n不是完全数. 证毕.

[1] 徐品方. 魅力无穷的完全数[J]. 数学通报, 2000，65(10)：39-41.

[2] 吴振奎. 麦森素数与完全数[J]. 中等数学，1999，18(4)：19-20.

[3] 王绍恒，刘水强. 完全数与伪完全数[J]. 湖南师范大学自然科学学报，2000，23(2)：33-36.

[4] 田 媛.第49个超大梅森素数被发现超2200万位[EB/OL].(2016-01-21)[2016-03-14].http://world.gmw.cn/2016-01/21/content_18593014.htm.

[5] Guy R K. 数论中未解决的问题[M].张明尧,译. 北京：科学出版社，2003.

[6] DICKSON L E. History of theory of number[M]. Amsterdam: North-Holland Pub Co, 1919.

[7] MCDANIEL W L, HAGIS P. Some results concerning nonexistence of odd perfect numbers of the formpαm2β[J]. J Fibonnacci Quart, 1975,13(1):25-28.

[8] IANNUCCI D E, SORLI R M. On the total number of prime factors of an odd perfect number [J]. Math Comput, 2003,72(224):2077-2084.

[9] LUCA F. The anti-social Fermat number [J]. Am Math Monthly, 2000,107(2):171-173.

[10] 沈忠华. 关于亲和数和完全数的一个注记[J]. 黑龙江大学自然科学学报，2006，23(2)：250-252.

[11] 杨仕椿. 形如n=πα32βQ2β的奇完全数[J].阿坝师范高等专科学校学报，2006，23(4)：120-122.

[12] SHEN Z H, YU X Y. A note on amicable number[J]. 数学杂志，2008，28(2)：141-144.

[13] STARNI P. On some properties of the Euler’s factor of certain odd perfect numbers[J]. J. Numb Theor, 2006,116(2):483-486.

[14] 朱玉扬. 奇完全数的几个命题[J]. 数学进展，2011，40(5)：595-598.

(编辑 HWJ)

Problems of Whether or Not Several Kinds of Positive Numbers are Perfect Numbers

ZHANGSi-bao*,DENGYong
(School of Mathematics and Statistics, Kashgar University, Kashgar 844008, China)

In this article, the problems whether or not the positive even numbers of the form 5m+jand 13m+jare perfect numbers were investigated. Also studied was the problem whether or not the positive odd numbers of the form 5m-1 are perfect numbers.

perfect number; even perfect number; odd perfect number

2016-03-15

新疆维吾尔自治区高校科研计划重点资助项目(XJEDU2008I31)

10.7612/j.issn.1000-2537.2017.03.014

O156

A

1000-2537(2017)03-0079-04

*通讯作者,E-mail：sibao98@sina.com