王 伟 姚华忠

福州大学机械工程及自动化学院，福州，350116

基于B样条的凸轮式开关机构轮廓线设计方法

王 伟 姚华忠

福州大学机械工程及自动化学院，福州，350116

针对凸轮式开关机构轮廓线与力值曲线定量关系复杂、轮廓线形状描述困难的问题，采用B样条方法，依据能量理论研究了开关机构轮廓线的设计方法。给出了开关机构B样条曲线描述方程及其微分表达式，建立了机构内部弹性势能与外力功的关系式，提出了轮廓线逐步迭代设计算法。利用MATLAB设计了雨刷开关机构轮廓线，结果表明根据能量关系设计开关机构轮廓曲线能达到预期的力值要求,采用B样条曲线方程比高次多项式拟合方程更能有效提高轮廓线设计精度和开关设计质量。

凸轮式开关；轮廓线；能量关系；B样条

0 引言

凸轮式开关在汽车领域得到广泛应用，如汽车的雨刷开关、空调开关、转向灯开关等。手感是凸轮式开关的重要性能指标，该指标由开关的行程感、力感、挡位感等力特性反映，汽车主机厂用开关的力值曲线来描述开关的力特性指标，并将其作为开关设计规范要求[1-2]。当开关的材质确定后，开关的力值曲线就由开关轮廓线决定,因此，轮廓线的设计是凸轮式开关设计的关键，研究凸轮式开关机构轮廓线设计方法具有重要意义。

凸轮轮廓线设计是典型的反求设计问题。张金萍等[3]采用反求工程技术，研究了实测凸轮廓线数据的曲线重构问题，反求设计了高速凸轮廓线。侯悦民等[4]研究了凸轮运动特性的反求设计问题，用样条方法对从动件常用运动规律进行逼近和优化，改善了凸轮运动特性。

凸轮式开关轮廓线设计是基于力特性的反求设计问题，它要求设计出来的凸轮廓线要在运动周期内具有预期的驱动力矩规律。ERDELYI等[5]针对凸轮廓线力特性反求设计问题，建立了开关轮廓线与手柄驱动力的关系模型，用离散点描述轮廓线，用差分方法分析轮廓线几何关系，设计了汽车转向开关结构轮廓线。

凸轮式开关机构轮廓线是一种复杂型线，需要一种高精度的轮廓线描述方法。B样条曲线具有逼近程度高、适应性强、计算简便且便于控制等优点，在凸轮廓线设计中得到广泛应用[6]。TSAY等[7]应用B样条曲线研究了多约束凸轮廓线反求设计问题，实现了运动特性的改善。MANDAL等[8]研究了凸轮B样条曲线控制点反求的优化方法，改善了从动件加速度特性。毛征宇等[9]采用B样条方法对复杂曲线进行拟合，并综合误差、速度和加速度等因素，给出具有自适应调整能力的插补步长确定算法，实验证明采用B样条插补可以保证复杂曲线插补加工的高速与高精度，且具有很好的速度、加速度以及加加速度平滑性。

三次B样条凸轮廓线具有二阶连续特性，合理确定廓线能获得较好的凸轮性能，故在改善凸轮高速运动性能上得到广泛应用[10]。凸轮式开关虽然转速不高，但要求整个挡位周期处处满足力值要求，这需要高精度的廓线方程，因为只有高精度的廓线方程才能建立准确的开关受力关系和能量关系，进而实现力值要求的精确满足。ERDELYI 等[5]采用离散点的差分方程描述廓线,但精度不够高。本文利用三次均匀B样条曲线来描述凸轮式开关复杂轮廓线，建立凸轮廓线与力值的定量关系，实现凸轮廓线的设计。

1 开关结构及轮廓线B样条曲线方程

1.1 凸轮式开关结构

(a)机构原理图

(b)受力分析图1.开关轴 2.凸轮廓线 3.弹簧 4.挡销图1 凸轮式开关结构Fig.1 Structural of cam-type switching mechanism

凸轮式开关机构如图1所示，轴1的径向圆孔装有压缩弹簧3，挡销4由薄壁圆筒和薄壁半圆球组成，薄壁圆筒段起导向作用，挡销半圆球面靠压簧与固定的凸轮廓线2接触，并随轴的转动而沿轮廓线表面滑动。开关根据需要由一到多个挡位组成，图中凸轮廓线的GP1GP2段是开关一个挡位的典型结构，经历波谷-波峰-波谷循环，轮廓线需要满足对应挡位的预期力值要求。

1.2 轮廓线的三次B样条曲线方程

图1b开关力模型中，凸轮理论廓线为挡销圆心(滚子中心)的运动轨迹。挡销圆心轨迹是一条自由曲线，由三次B样条曲线逼近，要求样条曲线通过挡销圆心位置点PCi(i=0,1,…，n-1)。该曲线由n-1段B样条曲线组成，B样条曲线方程为

QCi(t)=

(1)

式中,QCi(t)为挡销圆心样条曲线第i段，i=0,1,…,n-2；t为参数，0≤t≤1 ；VCi为样条曲线控制点，i=0,1,…,n+1。

B样条曲线一阶导数为

(2)

B样条曲线方程满足：

(1)连续性条件

QC(i-1)(1)=QCi(0)=PCii=1,2,…,n-2

(2)首末端点条件

QC0(0)=PC0QC(n-2)(1)=PC(n-1)
VC0(0)=VC1VC(n+1)=VC(n)

由以上条件和式(1)可得

(3)

求解式(3)可得到控制点VCi(i=0,1,…,n+1)，再将控制点代入式(1)即得到样条曲线方程。

凸轮实际廓线为接触点A的轨迹，其极半径为

(4)

式中,rg为挡销半径;rc为挡销中心位置的极半径。

2 开关机构力学模型

凸轮式开关在工作过程中，挡销随凸轮轴的转动在凸轮上滑动，依靠凸轮轴输入的手柄力矩克服摩擦功和阻尼功，同时弹簧存储弹性势能。由于开关速度低以及挡销质量小，故忽略系统的动能和阻尼功,开关机构系统能量关系方程为

W=ΔEp

(5)

式中，W为系统外力功,W=WT-Wf1-Wf2；ΔEp为弹簧弹性势能改变量；WT、Wf1、Wf2分别为凸轮轴力矩输入功、挡销摩擦功、凸轮轴摩擦功。

给定凸轮轴扭矩T、凸轮预压缩量为S0、凸轮轴转角δ时的弹簧压缩量S(δ)，则凸轮轴力矩输入功、势能改变量、摩擦功分别为

(6)

FnB=kS

式中,F为弹簧力；FnA为挡销接触点正压力；FnB为轴与凸轮接触点正压力；k、μ1、μ2分别为弹簧弹性系数、轴-凸轮副摩擦因数、挡销-凸轮副摩擦因数；rm为凸轮轴半径。

3 开关机构轮廓线设计算法

由于机构外力功和弹性势能都与弹簧压缩量S(δ)有关，机构的能量关系方程为弹簧压缩量的隐式方程，因此开关机构轮廓线设计需要通过迭代求解弹簧压缩量，进而确定开关机构理论和实际廓线。具体步骤如下：

(1)不考虑摩擦功，将计算得到的弹簧压缩量作为迭代计算的初始值。在式(5)中令摩擦功为零，得到弹簧压缩量迭代计算的初值

(7)

(2)考虑摩擦功，求解弹簧压缩量:

(8)

判别弹簧压缩量计算是否收敛。如果不收敛，按迭代公式计算弹簧压缩量的迭代值和新的轮廓线，并返回到步骤(2)进行下一轮迭代；如果收敛，进入步骤(3)。迭代公式为

S(g)(δ)=S(g-1)(δ)+ξ(Snew(δ)-S(g-1)(δ))

(9)

式中，ξ为松弛系数，0<ξ<1。

(3)确定凸轮理论廓线和实际廓线。理论廓线为挡销中心轨迹，其直角坐标为

(10)

式中，rCO为挡销中心初始位置处的极半径。

实际廓线坐标方程为

(11)

(4)力值曲线校核。根据所获得的轮廓线，计算凸轮驱动力矩，并将其与预期的力值曲线进行比较。凸轮升程段驱动力矩方程为

T=FnArAsin(φ-δ-θ)+μ2FnArAcos(φ-δ-θ)+
μ1FnBrm

(12)

凸轮回程段驱动力矩方程为

T=-FnArAsin(φ-δ+θ)-μ2FnArAcos(φ-δ+θ)+
μ1FnBrm

(13)

计算流程如图2所示。

图2 凸轮式开关轮廓线设计流程图Fig.2 Flowchart of cam-type switch contour design

4 开关机构轮廓线设计算例及结果讨论

4.1 开关机构凸轮廓线反求设计算例

某凸轮式雨刷开关期望力值曲线如图3所示，开关的结构与物理参数如表1所示。

图3 雨刷开关期望力值曲线Fig.3 Expected force value curve of the wiper switch

表1 雨刷开关结构与物理参数表Tab.1 The structural and physical parameters of wiper switch

图3中P点和C点分别对应力值峰值点和谷值点，Z点对应挡位结束位置。峰值行程感指标用峰值点行程δP与总行程δZ的比值(δP/δZ)描述，该指标反映开关转动力矩达到峰值的快慢；挡位感指标用人手感觉到的落差力矩与对应行程的比值(TP-TC)/δC来描述。在雨刷开关中峰值行程感指标和挡位感指标分别为0.1857 N·mm/(°)、0.3814 N·mm/(°)。

利用MATLAB语言对本文轮廓线设计方法进行编程，计算得到雨刷开关轮廓线，弹簧压缩量迭代计算过程以及雨刷开关理论轮廓线和实际轮廓线如图4所示。

(a)弹簧压缩量曲线迭代过程

(b)雨刷开关轮廓线图图4 弹簧压缩量迭代计算及轮廓线设计结果Fig.4 Iterative computation of the spring compression value and the design results of the switch contour curve

图5所示为期望力值曲线与设计力值曲线。设计力值曲线包括按三次均匀B样条轮廓曲线和按五次多项式曲线获得的力值结果。

图5 期望力值曲线与设计力值曲线Fig.5 The comparison of the expected force value curve and the designed force value curve

4.2 设计结果讨论

(1)从图4可以看出，随着迭代过程的进行，弹簧压缩量曲线逐渐收敛，并且终了位置的弹簧压缩量和初始位置弹簧压缩量相等，实现挡位复位。这表明采用能量法进行凸轮式开关力值特性的轮廓线反求设计是可行的。

(2)从图5可以看出，采用B样条所获得的力值曲线较五次多项式轮廓线的力值曲线更接近期望力值曲线，其中B样条的力值曲线与期望力值曲线相关系数为0.996，五次多项式轮廓线的力值曲线与期望力值曲线的相关系数为0.986；在挡位初始和末了两个阶段，五次多项式轮廓线的力值曲线与期望力值曲线有较大的误差，而采用B样条所求力值曲线与期望的力值曲线基本一致。这表明，B样条曲线设计能够提高轮廓线的设计精度和开关的使用性能。

(3)B样条轮廓线得到的力值曲线在挡位推程和挡位回程末了两个阶段与期望力值曲线误差很小，而在回程的中段误差相对大些，可能是因挡销在这一工作段用库仑摩擦模型与实际接触的摩擦规律有误差导致。由此，这一段凸轮廓线的摩擦规律以及对凸轮廓线设计的影响有待进一步研究。

5 结论

(1)提出了一种根据力值特性进行开关凸轮廓线反求设计的方法，给出了凸轮机构能量关系方程、三次均匀B样条凸轮廓线方程以及数值迭代算法。

(2)雨刷开关设计实例表明，本文提出的采用能量法进行凸轮廓线反求设计是可行的，可以普遍适用于根据力值特性进行凸轮廓线的反求设计。

(3)B样条曲线适合于凸轮式开关复杂轮廓型线的设计，能够有效提高设计精度和开关的使用性能。

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(编辑 袁兴玲)

Design Method of Cam-type Switching Mechanism Contours Based on B-Spline

WANG Wei YAO Huazhong

College of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou, 350116

In order to investigate the problems of complex contour description and complex quantitative relationship between cam-type switching mechanism contours and force value curves, a design method of cam contour was suggested based on B-spline and energy theory. The descriptive and the differential equations of B-spline were given, the quantitative relationship equation between the internal potential energy and external work of switching mechanism was established, and the iterative design algorithm of mechanism contours was presented. A cam-type wiper switch contour was designed by using MATLAB and the suggested cam contour design method, which involved the energetic relationship equation and the iterative algorithm. The design results indicate that the derived contour may satisfy the expected force value curve requirements, and the derived force value curves by using B-spline are more effective in improving the contour precision and the switch performance than that by using high-order polynomial fitting curves.

cam-type switching mechanism；contour； energetic relationship； B-spline

2016-05-17

福建省工业机器人基础部件技术重大研发平台资助项目(2014H21010011)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.07.006

王 伟，男，1970年生。福州大学机械工程及自动化学院教授。主要研究方向为现代机械设计理论及方法、冶金设备及承压设备力学。发表论文20余篇。E-mail：mkwang@fzu.edu.cn。姚华忠，男，1990年生。福州大学机械工程及自动化学院硕士研究生。