钱霞

整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，通过把握研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，对问题进行整体处理的思想方法.从整体上去认识问题，思考问题，常常能化繁为简，变难为易，同时又能培养大家思维的灵活性、敏捷性.整体思想在“整式乘法与因式分解”这一章中的主要体现形式有：整体代入、整体加减、整体代换等，下面我们就一起来看看吧.

例1 已知xy2=-1，求-xy（x3y7-3x2y5-y）的值.

【分析】本题根据条件显然无法求出x、y的值，只能考虑在所求代数式中构造出xy2的形式.

解：原式=-（xy·x3y7-xy·3x2y5-xy·y）

=-（x4y8-3x3y6-xy2）

=-x4y8+3x3y6+xy2

=-（xy2）4+3（xy2）3+xy2.

当xy2=-1时，

原式=-（-1）4+3×（-1）3+（-1）

=-5.

【说明】本题在处理单项式与多项式相乘的时候，也可以将-xy看成一个单项式，用-xy与多项式的每一个项相乘，再把所得的积相加.

例2 若m+[1m]=3，则m2+[1m2]的值是（ ）.

A.7 B.11 C.9 D.1

【分析】本題根据条件虽然是可以求出m的值，但代入求值时非常麻烦.那么我们就想到了将m+[1m]看成一个整体.利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，则（m+[1m]）2=m2+2m×[1m]+[1m2]，此处m×[1m]=1，再将m+[1m]=3代入即可.

解：∵（m+[1m]）2=m2+2m×[1m]+[1m2]，

又∵m+[1m]=3，m×[1m]=1，

∴32=m2+2+[1m2]，

∴9=m2+2+[1m2]，

∴m2+[1m2]=7.故选A.

【说明】本题比较灵活，首先由m+[1m]=3，求m2+[1m2]的值，想到将m+[1m]=3的两边进行平方，套用完全平方公式；其次这里利用到了一个隐含条件m×[1m]=1.

例3 若a、b满足（a+b）（a+b-2）+1=0，则a+b= .

【分析】本题可以考虑求出a、b的值，再代入计算a+b的值，但是我们发现只有一个方程，却有两个未知数，所以这里的a、b无法求出.经观察，我们发现此处可以将a+b看成整体，转化后等号的左边正好是完全平方式.

解：将（a+b）看成整体，原方程可化为：

（a+b）[（a+b）-2]+1=0，

（a+b）2-2（a+b）+1=0，

（a+b-1）2=0，

a+b-1=0，

a+b=1.

【说明】本题的处理结果正好是完全平方公式，所以可以求出a+b的值.大家可以思考，如果等号的左边不是完全平方式……