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灵活运用乘法公式

2017-06-10朱适宜

初中生世界·七年级 2017年5期
关键词:平方差交换律灵活运用

朱适宜

在“整式乘法与因式分解”这一章里我们学到的乘法公式有:

完全平方公式:

(a+b)2=a2+2ab+b2,

(a-b)2=a2-2ab+b2.

平方差公式:

(a+b)(a-b)=a2-b2.

那么对于这些公式,我们怎样才能做到灵活运用呢?下面和大家一起来分享一下.

一、完全平方公式

例1 计算(a+b+c)2.

解法一:

原式=(a+b+c)(a+b+c)

=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2

=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2

=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2.

解法二:

原式=[(a+b)+c]2

=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.

【说明】解法一是根据多项式与多项式相乘的法则:先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加;解法二是利用整体思想将a+b看成整体,直接套用完全平方公式展开的.

例2 若a是一个数,且4x2+axy+9y2是一个完全平方式,则a= .

解:±12.

【说明】本题考查的是完全平方式,完全平方公式展开后右边的形式a2+2ab+b2叫完全平方式,即两项的平方和加上或者减去两项乘积的2倍.这里可以确定两项的平方分别是4x2和9y2,则这两项分别是2x和3y,两项积的2倍是12xy,前面的符号可以是加号也可以是减号.所以答案是±12.

例3 若2a2-2ab+b2+4a+4=0,求ab的值.

解:由题意知:a2-2ab+b2+a2+4a+4=0,

(a2-2ab+b2)+(a2+4a+4)=0,

(a-b)2+(a+2)2=0,

a-b=0,a+2=0,

a=b,a=-2,

a=b=-2,

ab=(-2)-2=0.25.

【说明】本题由一个方程,求出两个未知数,所以这个方程一定是特殊的方程,结合已知条件可知:可以通过凑完全平方达到解决问题的目的,将2a2分成a2+a2,一个a2和-2ab,b2凑成(a-b)2,另一个a2和4a,4凑成(a+2)2,再根据平方具有非负性,得到两者均为0,从而求得a与b的值,最后代入求值.

二、平方差公式

例4 计算(x+y+4)(x-y-4).

解法一:

原式=x2-xy-4x+yx-y2-4y+4x-4y-16

=x2-xy-4x+xy-y2-4y+4x-4y-16

=x2-y2-8y-16.

解法二:

原式=[x+(y+4)][x-(y+4)]

=x2-(y+4)2

=x2-y2-8y-16.

【说明】解法一是根据多项式与多项式相乘的法则:先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加;解法二是利用整体思想将y+4看成整体,先套用平方差公式,再套用完全平方公式展开.我们在处理时要先观察:找到相同的项和互为相反数的项.那么对于(a-b+c-d)(-a-b+c+d)应该怎样套用平方差公式呢?这里找到相同的项-b和+c,互为相反数的项是a与-a,-d与d,我们就将其变为[(-b+c)+(a-d)]·[(-b+c)-(a-d)]=(-b+c)2-(a-d)2,套用完全平方公式算出结果即可.

例5 计算(x-1)(x2+1)(x4+1)(x+1).

解:原式=(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)

=(x2-1)(x2+1)(x4+1)

=(x4-1)(x4+1)

=x8-1.

【说明】本题经过观察发现可以将x+1通过乘法交换律交换到前面,这样x-1和x+1就可以套用平方差公式进行简便计算,接着将上面所得的结果与x2+1再套用平方差公式进行简便计算,直至得到结果.

三、乘法公式的综合运用

例6 计算(2y+1)2(2y-1)2.

解法一:

原式=(4y2+4y+1)(4y2-4y+1)

=[(4y2+1)+4y][(4y2+1)-4y]

=(4y2+1)2-(4y)2

=16y4+8y2+1-16y2

=16y4-8y2+1.

解法二:原式=[(2y+1)(2y-1)]2

=(4y2-1)2

=16y4-8y2+1.

【说明】本题的两种解法都采取了乘法公式,第一种先套用完全平方公式再套用平方差公式;第二种先利用乘法的交换律和结合律将其转化为[(2y+1)(2y-1)]2的形式,然后套用平方差公式,最后套用完全平方公式.两种方法比较,个人认为第二种在计算上更加简便.

例7 解方程(2x-1)(1+2x)+3(x+2)(-2+x)=7(x-1)2.

解:(2x-1)(2x+1)+3(x+2)(x-2)=7(x-1)2,

(4x2-1)+3(x2-4)=7(x2-2x+1),

4x2-1+3x2-12=7x2-14x+7,

7x2-13=7x2-14x+7,

14x=20,

x=[107].

【说明】本题经过套用平方差公式和完全平方公式展开,发现关于x的二次项全部抵消,转化成了一个解关于x的一元一次方程的问题.这里需注意的是在套用平方差公式时,我们要看清楚相同的项以及互为相反数的项.

以上是我对运用乘法公式进行简便计算的一些想法和体会,相信你已经感受到了运用乘法公式进行计算的简便之处.其实在因式分解中,如果我们学会对乘法公式进行灵活运用,也可以大大地提高解题的速度和准确率,在以后的学习过程中,同学们要注意积累.

(作者单位:江蘇省淮安外国语学校)

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