王钰， 于纪言， 王晓鸣

(南京理工大学 智能弹药技术国防重点学科实验室， 江苏 南京 210094)



摄动落点预测法的快速建模与基于精度最优的分段预测控制法

王钰， 于纪言， 王晓鸣

(南京理工大学 智能弹药技术国防重点学科实验室， 江苏 南京 210094)

快速的高精度落点预测是实现高旋弹丸弹道预测修正或制导的关键，基于基准弹道的摄动(PP)预测法能够较好地平衡计算精度与效率。为解决PP预测法难以快速适应环境与目标的问题，结合摄动理论与分步逼近法实现初始发射条件及基准弹道的快速确定，并根据理论简化推导出摄动模型参数计算方法。通过弹道仿真与无控试验验证其可行性，结果表明:该方法可快速完成发射参量计算与摄动预测建模；与修正质点弹道(MPT)预测法相比，弹道前段PP预测法预测精度较优，弹道后段略差。综合PP预测法与MPT预测法计算速度与精度特点，提出结合PP与MPT的分段预测法，经蒙特卡洛仿真，分段预测法的修正效果相较于单一的PP或MPT预测法更优。

兵器科学与技术； 制导炮弹； 快速落点预测建模； 摄动理论； 基准弹道生成； 分段预测法

0 引言

制导/修正弹药的制导方案主要包括弹道成型、弹道预测和弹道追踪法[1]。对于控制效能较小的弹丸(如双旋式弹道修正弹)，弹道预测法较为适用。弹道预测法的关键在于快速的、高精度的弹道落点预测。落点预测方法主要包括线性拟合和弹道积分外推方法。线性拟合方法计算速度快，输入参量少，但计算精度较差。为提高预测精度，Ghosh等[2]和曹营军等[3]提出了基于神经网络的离线线性拟合方法，固定条件下其预测精度较高，但使用范围受限。Kramer等[4]提出在线训练模型方案，但不适用于有控的情况。积分外推法计算精度高，但占用计算资源多、计算时间长。为简化计算，Costello等[5]、Hain等[6-7]、李兴隆等[8]提出并改进了修正线性弹道理论，将其分别运用于平射弹道、高旋曲射弹道、末段修正弹道，研究显示相较于传统的积分外推法其计算速度更快，但需全弹道状态可测，实际运用受限。为平衡在线计算速度与计算精度，李超旺等[9]、王毅等[10]和田在克等[11]提出了基于基准弹道的摄动(PP)预测法，并将其分别运用于火箭弹和修正榴弹，均获得较好的预测精度与修正效果。该方法使用弹道积分法求解基准弹道与摄动模型参数，根据摄动多项式模型进行在线落点预测。现有的PP理论预测方法中模型参数均通过弹道仿真求解，特定目标、环境下的摄动模型参数求解需较长时间，难以满足快速装定要求，且对于固定目标基准弹道的确定方法均没有仔细研究。为解决PP预测方法的环境- 目标适应性问题，本文基于摄动理论提出一种针对固定目标点的发射参数与基准弹道快速生成方法，并根据理论简化推导出摄动模型参数快速解算方法。

1 发射参数优化及基准弹道生成

由于基准弹道是PP预测法的基准，其计算误差将直接影响预测精度；由摄动理论原理可知，实际弹道与基准弹道偏差越大，预测误差越大；对于修正能力较弱的弹丸，为提高命中率，应保证无控弹丸落点尽量接近目标点。故根据射击前实测气象条件、目标位置等快速计算无控落点与目标点接近的发射参数与基准弹道是提高PP预测法预测精度与命中率的关键。

图1 基准弹道生成流程Fig.1 Flowchart of base trajectory generation

已知发射点O与目标点的GPS坐标，为方便计算与控制，根据(1)式将目标点GPS坐标转换至以发射点为原点，射向方向为x轴的射向坐标系。坐标转换角度关系如图2所示。

图2 坐标转换示意图Fig.2 Schematic diagram of coordinate transformation

(1)

式中：[xT,zT]=IT；D表示发射点到目标点在地球表面的最短距离；α表示目标点与发射点连线与真北方向的夹角，向东为正；γ为坐标北方向与真北方向间的夹角。α、D、γ只与发射点和目标点的坐标相关，与射向角无关，其计算公式可参考文献[12]。

由于弹丸初速非连续可调，为提高能量利用效率，将发射点与目标点距离与可选择的各弹丸初速对应的最大射程相比较，选取最大射程稍大于发射点与目标距离的弹丸初速值v0，在该初速下根据经验选取参考射角与射向角。根据设定的初始参量，代入发射前实测的气象数据，计算得参考弹道落点Iref=(xref,zref). 当参考落点与目标点偏差较大时，需调整发射参量(射角和射向角)使其接近目标点，从而减小修正距离。参考落点与目标点的距离记为(xT-xref,zT-zref)=(ΔxT,ΔzT). 不考虑发射与飞行过程中的干扰及参数误差，弹丸无控落点可表示为射角与射向角的函数：

IB=[x,z]=f(θ,αN).

(2)

由摄动理论，落点位置可根据(3)式近似计算，其中偏导数可使用仿真方法依据偏导数定义(见参考文献[13])近似求解。

(3)

(4)

(5)

2 PP落点预测方法

为适应高旋炮弹飞行时间短、修正能力较弱的特点，修正/制导炮弹对在线计算速度、控制方法的能效要求较高。相较于弹道成型、弹道追踪方法，落点预测控制法的控制能效最高[1]。为更好地平衡落点预测精度与计算速度，本文主要研究基于PP落点预测法。为提高任意环境、目标下摄动建模速度以满足快速装定要求，根据理论简化推导，提出了模型参数快速计算方法。

2.1 摄动预测模型

IA=[xIA,zIA]=f(P,v,a).

(6)

由其物理性质可知，(6)式是连续函数，故落点表达式可用泰勒级数公式近似为

(7)

式中：R=[r1…rn]为落点方程的自变向量，[r1…rn]=[xyzvxvyvzaxayaz]；下标B表示基准弹道相关量；下标A表示实际弹道相关量；o(RA-RB)表示与自变量相关的高阶函数。由泰勒公式的性质，在RB的邻域范围内，落点的泰勒级数公式收敛，故当实际弹道与基准弹道较为接近时，落点位置可由(7)式近似计算。

2.2 模型参数求解

PP预测法预测落点的关键在于偏导参数计算。为满足发射前快速装定的要求，本文根据偏导数的定义，经理论推导求得偏导参数的迭代计算公式。

2.2.1 1阶位置偏导数

根据偏导数定义，某弹道点对应的∂IA/∂ri为

(8)

(9)

式中：vxe、vye、vze分别表示落地时弹丸速度在惯性基准系x、y、z轴的投影。

2.2.2 1阶速度偏导数

假设实际弹道vi(i为x、y或z)与基准弹道仅相差Δvi，由于气动力与弹丸飞行速度相关，后续飞行弹道中弹丸所受气动力(矩)与基准弹道均不相同，故需迭代求解。速度偏导数计算流程图如图3所示。

图3 速度偏导数计算流程图Fig.3 Calculational flowchart of partial derivation of velocity

力矩变化引起弹丸飞行姿态变化，而姿态变化又对气动力(矩)产生影响，所以需迭代求解弹丸姿态角。为简化求解，本文选用动力平衡角的变化量近似代替攻角变化量。动力平衡角的矢量定义为

αR=i×(ε×i)=ε-cosδi，

(10)

式中：i、ε分别表示速度与弹轴的单位矢量；δ表示弹丸总攻角。

根据参考文献[14]中动力平衡角的近似解：αR≈2(ρSdv4CMα)-1Ixpg×v，可得动力平衡角变化量计算公式：

(11)

式中：vA和vB分别表示实际弹道与基准弹道中的相对速度，vA和vB为其矢量形式；Ix表示弹丸对x轴的惯性矩；S为弹丸迎风面积；d表示弹丸直径；ρ表示空气密度；p表示弹丸滚转角速率；g表示重力加速度；CAMα和CBMα分别表示实际弹道与基准弹道的翻转力矩系数，可用CMα0+CMα2δ2近似计算，CMα0、CMα2分别为翻转力矩对攻角的1阶和3阶导数。

由气动力定义可得实际弹道与基准弹道所受外力之差为

(12)

式中：Δ(f)=fA-fB，即实际弹道与基准弹道对应的f值之差；CLα为升力系数；CD为阻力系数；Cnpα为马格努斯力系数导数。将(12)式代入(10)式可得与速度、动力平衡角相关的ΔF表达式：

(13)

t0时刻Δvi初始偏差对应的落点变化量ΔI可根据(14)式迭代计算：

(14)

当Δvi较小时，落点变化量相对于速度的偏导数可由(15)式近似求解：

(15)

2.2.3 1阶加速度偏导数

由于随机风、气动参数误差、控制器作用等因素，弹丸实际受力与仿真结果不完全一致，即当基准弹道与实际弹道的位置、速度一致时，由于干扰作用加速度也可能存在区别。弹道预测的目的是计算某飞行状态下弹丸无控飞行落点位置，故预测段无控制力作用。因为实测加速度偏差值包含控制力相关项与位置、速度偏差相关项，所以实际加速度偏差Δa=Δam-Δac-ΔavP，其中Δa为(7)式中的自变量偏差的加速度相关项，Δam表示实测弹丸加速度与基准弹道对应加速度之差，Δac表示控制力对应的弹丸加速度，ΔavP表示速度、位置差引起的加速度差。

由于加速度偏差由扰动引起，而干扰作用时间、变化状态未知，故无法准确计算扰动加速度引起的落点偏差；Δac和ΔavP均由计算获得，存在计算误差；对于单卫星测量系统，加速度无法直接测量，Δam存在间接测量误差。相对而言，干扰加速度通常为小量，故忽略(7)式中加速度项。

2.2.4 高阶偏导数

由定义可知n阶偏导数可根据公式(16)计算：

(16)

式中：ri+1，…，ri+n表示I表达式中的任意n个自变量，可重复。将1阶偏导代入(16)式即可求解任意阶偏导数。

3 PP预测法仿真分析

为验证上述理论的可行性，对155 mm弹丸进行仿真，弹丸参数如表1所示，其中lCG表示舵翼控制力作用点与全弹质心的轴向距离。仿真主要包括：

表1 155 mm弹丸参数表Tab.1 Parameters of 155 mm caliber projectile

1)基准弹道生成(基于2.1节方法)；

2)不同阶数摄动模型对比；

3)摄动理论模型建立速度(基于2.2节方法)，及其在仿真与无控试验下的落点预测精度。

3.1 基准弹道生成

为评估基准弹道生成方法的可行性、精度及计算速度，假设发射点GPS坐标为[东经105°，北纬38°]；目标点坐标为[东经104°50′，北纬38°10′]. 选取初始射向角：北偏西41°，由(1)式求得发射系下目标位置：[23 570 m，1 171 m]. 由目标点与发射点的距离选择弹丸初速805 m/s(最大射程约25 km)，初始射角45°. 气象条件为无控飞行试验实测的气象数据。落点与目标点距离阈值设置为30 m.

为选取合适的分步优化自变量区间，在参考点θref=40°、αNref=-40.4°处建立模型(见(3)式)，根据模型求解不同Δθ、ΔαN对应的射程、横偏预测值，并与相同条件下的仿真落点比较。不同Δθ、ΔαN对应的射程、横偏预测误差分别如图4和图5所示。

图4 Δθ、ΔαN射程预测误差图Fig.4 Δθ,ΔαN versus prediction error of range

图5 Δθ、ΔαN横偏预测误差图Fig.5 Δθ,ΔαN versus prediction error of deflection

由图4和图5可知：|Δθ|和|ΔαN|越大，PP预测法预测误差越大；射角偏差对预测的影响大于射向角偏差；射向角偏差对射程预测的影响大于横偏；当|Δθ|<5°且|ΔαN|<5°时，PP预测法预测总误差小于250 m. 综合考虑预测误差和迭代次数，[ΔθD,ΔθU]、[ΔαND,ΔαNU]均设定为[-5°,5°]。迭代逼近过程中，每步计算结果如表2所示。发射参量优化使用计算机(相关配置参数如表3所示)通过Matlab软件计算，使用软件自带计时器测得优化计算总耗时619.8 s.

表2 发射参量分步计算结果Tab.2 Calculated results of launching parameters

表3 计算机配置参数Tab.3 Computer configuration data

3.2 模型阶数选择

为研究摄动模型的阶数对落点预测精度的影响，从而选择合适的模型阶数，分别使用1阶、2阶、3阶模型对弹道落点进行预测，其落点预测误差如图6所示；不同阶数模型参数求解与预测所用时间(计算设备如表3所示)如表4所示。

图6 不同阶数模型的PP预测法预测误差Fig.6 Predicted errors of perturbation methods with different model orders表4 不同阶数模型建模与预测时间Tab.4 Modeling and predicting time of different model orders

模型阶数建模时间/s预测时间/ms11326304249657023124101325

由图6可知，1阶、2阶、3阶模型的弹道预测误差均较为接近，1阶模型预测精度略逊于2阶、3阶模型，而2阶与3阶模型的预测结果几乎一致。由表 4可知，阶数越高，建模与预测时间越长；1阶与2阶建模时间均小于1 min，预测时间均小于10 ms；3阶建模时间大于2阶的2倍。综上所述，2阶摄动模型能更好地满足计算精度与速度的需求。

3.3 模型参数求解

为验证2.2节摄动模型参数求解方法的可行性，通过Matlab编程(计算设备配置见表3)，分别使用仿真解法(见参考文献[9-11])与简化解法(见2.2节)求解相同基准弹道、相同弹丸与环境参数情况下的2阶摄动模型参数，并比较两种方法的计算时间与预测精度。

由于不同弹道时刻对应的摄动模型参数变化较大，按飞行时间每隔5 s计算一组摄动参数，落点预测时根据时间插值求解。不同的参数计算方法对应的2阶摄动模型参数计算时间如表5所示，由表可知，简化计算方法的计算时间远小于仿真方法。

表5 不同方法模型参数计算时间Tab.5 Parameters computing time of different methods

为研究简化计算方法对弹丸落点预测精度的影响，比较相同情况下，不同方法建立的摄动模型对应的全弹道PP预测误差，如图7所示，其中飞行前10 s用于测量、控制系统初始化，故预测从10 s开始。由图7可知飞行10 s之后，简化算法与仿真方法计算的摄动模型预测误差均40 m以内；35 s之前简化算法误差略大；35 s之后两种算法对应的预测精度近似。综上所述，简化的参数计算方法可在保证一定精度的前提下大幅提高建模效率。

图7 不同参数算法的PP预测误差Fig.7 Predicted errors of different calculation methods

3.4 无控弹道预测精度

为分析PP预测法(简化计算参数)的预测精度，分别以仿真无控弹道与无控实测弹道为实际弹道，对弹道落点进行预测并与实际落点和修正质点弹道积分外推(MPT)预测法预测结果比较。

3.4.1 仿真弹道预测

为分析PP预测法预测精度，通过仿真向实际弹道添加发射、气象、测量等干扰，其中包括发射高低角、方向角、初速、风速偏差、弹丸气动参数与GPS测量误差，各项干扰均为零均值正态分布，其标准差如表6所示。200组该随机干扰下无控弹道的全弹道2阶PP预测法预测值，每组弹道对应的实际与基准弹道落点距离、10 s和40 s后最大预测误差如图8所示，为方便观察分析，200组数据按实际与基准弹道落点距离递增顺序排列。

表6 发射、飞行与测量干扰参量表Tab.6 Launching, flight and measurementinterference parameters

图8 不同无控仿真弹道预测误差Fig.8 Prediced errors of different uncontrolled trajectories

由图 8可知：

1)实际落点到目标点距离最大为555 m，10 s后的最大预测误差为128 m，40 s后最大预测误差为43 m;

2)每组弹道40 s后最大预测误差均小于10 s后的最大误差，则预测误差随时间推移逐渐减小；

3)随实际弹道与基准弹道落点距离增大，40 s与10 s后的最大预测误差均没有明显变大趋势，可见预测误差与实际弹道—基准弹道落点距离无明显关系。

保持实际弹道其余发射与飞行参量不变，分别改变实际弹道与基准弹道初始速度、射向角、射角之差，预测误差分别如图 9、图 10和图 11所示。

图9 不同初速差下无控弹道预测误差Fig.9 Predicted errors of uncontrolled trajectories with different launch velocities

图10 不同射向角下无控弹道预测误差Fig.10 Prediction errors of uncontrolled trajectories with different gun azimuths

图11 不同射角下无控弹道预测误差Fig.11 Predicted errors of uncontrolled trajectories with different gun elevations

由图9～图11可见：当其余弹道干扰相同时，实际弹道与基准弹道的初速差或射角差越大时，预测误差越大；射向角偏差对落点距离预测误差影响不大。

3.4.2 无控试验弹道预测

为验证实际飞行情况下PP预测法的预测精度，对实际无控飞行雷达数据进行全弹道落点预测，并与MPT预测法预测结果对比。其中PP预测法的基准弹道(落点与实际无控落点偏差约200 m)及其对应的偏导数根据理想发射条件计算获得；两种模型计算的气象条件均使用发射前测量数据，气动参数由气动仿真结合风洞试验获得。两种模型的全弹道预测误差如图12所示。由图12可知：

1)相对于MPT预测法，PP预测法预测对弹道各参数的测量误差等干扰更敏感，故PP预测法落点预测值在全弹道范围内波动更明显;

2)由于弹道起始段MPT预测法对横偏预测误差较大，故在弹道前段其预测精度不及PP预测法；但PP预测法受干扰等情况影响明显，弹道末段预测精度略差。

图12 无控试验弹道预测误差Fig.12 Predicted errors of uncontrolled experiment

为比较PP预测法与MPT预测法的计算时间，使用相同的计算设备(配置见表3)、相同的计算软件(Matlab)，统计不同算法对应的落点预测时间如表 7所示。不同起始预测时刻对应的MPT预测法计算时间不同(表中起始计算时刻为发射时刻至落地前3 s)，而PP预测法预测时间与起始预测时刻无关。由表7可知，全弹道范围内，PP预测法预测时间均远小于MPT预测法。

表7 不同方法下落点预测时间Tab.7 Computing time of different prediction methods

4 分段预测法

根据3.4节可知，弹道前段PP预测法预测精度优于MPT预测法，后段相反；且后段MPT预测法预测时间较前段明显缩短，经程序优化可适应在线计算要求。综上所述，为综合PP预测法与MPT预测法的优势，提出分段(PW)预测法，即弹道前段采用PP预测法，后段采用MPT预测法进行落点预测控制。控制指令计算公式为

(17)

(18)

式中：γc表示舵指令；φF表示提前相位角(计算方法参考文献[15])；ΔI为预测落点与目标点的位置差；I(*)表示使用*法预测的落点位置；ts为分段时刻，根据仿真求解全弹道预测精度最优化求解：

(19)

te表示飞行总时长，ΔIr为真实落点与目标点的位置差。

4.1 预测精度比较

为验证PW预测方法的预测精度，分别使用2阶PP预测法、MPT预测法以及PW预测法对相同情况下的无控弹道进行全弹道落点预测，实际弹道干扰如表6所示，预测结果如图13所示，其中ts根据(19)式选为60 s. 由图13可知，PW预测法的预测精度在全弹道范围内均优于单一的PP预测法与MPT预测法。

图13 不同预测方法对应的无控仿真弹道预测误差Fig.13 Predicted errors of uncontrolled trajectory simulation of different methods

4.2 控制效果比较

为比较不同控制方法对弹丸落点的控制效果，使用蒙特卡洛法(500个样本点)分别计算相同弹道干扰条件下(如表6所示)，无控与不同预测模型(2阶PP、MPT、PW)对应的有控落点分布情况。3种预测控制方法起控时间均为40 s，控制指令更新周期均为0.1 s，φF为155°，ts为60 s. 无控、PP预测法、MPT预测法与PW预测法预测控制的落点散布分别如图14～图17所示；对应的圆概率误差(CEP)、落点- 目标平均距离如表8所示。

图14 无控落点散布图Fig.14 Impact dispersion of uncontrolled projectiles

图15 2阶PP预测法预测控制落点散布图Fig.15 Impact dispersion of projectiles controlled by PP method

由图14～图17与表8可知，PP预测法、MPT预测法与PW预测法均能有效减小弹丸散布，并使弹丸靠近目标点；落点CEP值MPT预测法>PP预测法>PW预测法；落点- 目标平均距离MPT预测法>PP预测法>PW预测法。综上所述，PP预测法修正效果优于MPT预测法；而PW预测法略优于PP预测法。但由于修正能力(40 s起控该弹丸修正能力约为300 m)不足，3种预测方法均难以将偏差较大的落点修正至目标点附近；可考虑通过增大控制力或提前修正的方式增大弹丸控制能力，以改善修正效果。

图16 MPT预测法预测控制落点散布图Fig.16 Impact dispersion of projectiles controlled by MPT method

图17 PW预测法预测控制落点散布图Fig.17 Impact dispersion of projectiles controlled by PW method表8 不同情况下落点统计量Tab.8 Statistics of impact-points in different conditions

方法CEP/mΔX/mΔZ/m无控14216-19649-2114PP预测法3917-2466037MPT预测法4918-38642041PW预测法3534-2224521

5 结论

本文建立了基于摄动理论、逐次逼近优化求解方法的基准弹道与发射条件快速求解方法；并根据理论近似推导，提出了摄动模型偏导数的快速计算方法。该方法能有效缩短在线弹道预测与发射前准备时间，为PP落点预测方法的实际运用提供基础。通过仿真分析摄动预测精度与速度特点，并与MPT预测法比较，从而提出综合PP预测法与MPT预测法的PW预测方法。

经弹道仿真与无控飞行试验验证可知：

1)基于摄动理论的基准弹道求解方法可在620 s内生成落点与目标点距离小于30 m的基准弹道。

2)综合考虑计算时间与计算精度，2阶摄动测模型较优。

3)根据理论简化推导的PP预测快速建模方法，可在50 s内完成已知基准弹道与环境参数下的2阶摄动模型建模，计算时间远小于仿真计算方法。

4)表6对应的干扰条件下，简化方法建立的摄动模型，预测误差有明显收敛性，且40 s之后预测误差均小于50 m；相比于MPT预测法，PP预测法计算时间明显缩短，弹道前段预测精度更优，后段略差。

5)蒙特卡洛仿真分析可知相较于单一的PP预测法或MPT预测法，PW预测法的控制效果更优。

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Rapid Impact-point Prediction Modeling Based on Perturbation Theory andPiecewise Prediction Control Method

WANG Yu, YU Ji-yan, WANG Xiao-ming

(Ministerial Key Laboratory of ZNDY, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China)

The rapid and accurate impact-point prediction is a key to correct or guide a high-spinning projectile， and the impact-point prediction based on perturbation(PP) with base trajectory can balance the calculation efficiency and precision. As the parameters of the perturbation model cannot be calculated rapidly with the variation in environment and target, a method combining the perturbation theory and step approximation method is proposed to calculate the proper launching parameter and base trajectory quickly; and an equation of the model parameters which can be calculated by iteration is deduced to fast modeling under arbitrary destination and condition. Simulations and uncontrolled experiment were carried out to verify the feasibility of the proposed method. The results show that the base trajectory and perturbation model can be established. Compared with the modified point-mass trajectory (MPT) method, the predicted error of ascending trajectory of perturbation method is smaller and the predicted error of descending one is larger. Considering the characteristics of PP and MPT methods, a piecewise prediction method combining PP and MPT is proposed. According to the Monte Carlo simulation, the correcting effect of PW method is better than those of PP or MPT method.

ordnance science and technology; guided projectile; rapid impact-point prediction modeling; perturbation theory; base trajectory generation; piecewise prediction method

2016-07-06

国家自然科学基金项目(11402121)

王钰(1991—)， 女， 博士研究生。 E-mail: 15250996016@163.com

王晓鸣(1962—)， 男， 教授， 博士生导师。 E-mail: 202xm@163.com

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1000-1093(2017)05-0867-10

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.05.005