李海涛,苏简兵,王艳永

(1.江苏师范大学 科文学院,江苏 徐州 221116;2.江苏师范大学 数学与统计学院,江苏 徐州 221116;3.吕梁学院 数学系,山西 吕梁 033000)

第二类华罗庚域上的极值问题

李海涛1,苏简兵2,王艳永3

(1.江苏师范大学 科文学院,江苏 徐州 221116;2.江苏师范大学 数学与统计学院,江苏 徐州 221116;3.吕梁学院 数学系,山西 吕梁 033000)

讨论第二类华罗庚域上的一个极值问题.此极值问题可以看作是复平面上经典的Schwarz引理在高维的一个类似,也可以认为是复平面上经典的Schwarz引理在高维的一个推广.通过计算出第二类华罗庚域的最小外切椭球,得到部分情况下第二类华罗庚域与单位超球间的极值映照和极值.

极值问题; 华罗庚域; 最小外切椭球

多复变函数论中的核心问题之一就是在双全纯映照下域的分类问题.在多复变的理论中,有许多单连通区域是彼此不全纯等价的,而证明2个域全纯等价就需要采取某种合适的方法.极值问题可以看作是复平面上经典的Schwarz引理在高维的一个类似[1],也可以认为是复平面上经典的Schwarz引理在高维的一个推广[2].通过极值问题的研究,可以得到把一个域映为单位圆盘的极值映照,并能得到极值距离.利用极值距离,可以来衡量2个域是否双全纯等价.讨论的极值问题如下:

设M为Cn中的一个域,p为M中的一个点.假设Mp记为域点对(M,p)(为简单计,称之为“点域”),对于2个点域Mp与Nq,记Hol(Mp,Nq)为由所有将M映入N且将点p映为点q的全纯映照所组成的集合.对于一个映照f∈Hol(Mp,Nq),如果成立

|detdf(p)|=

则称f为Carathéodory极值映照,而|det df(p)|称为Carathéodory极值,分别简称为C-极值映照与C-极值.

要研究极值的有关问题,当然很重要的一个问题是关于极值映照和极值的计算问题.在这方面,C.Carathéodory[3]做了开创性的工作,得到了多圆柱到单位超球的极值;后来,Y.Kubota[4-7]用较复杂函数的级数展开分析方法得到了Cartan域到单位超球的极值;关于复椭球与单位超球间的极值和极值映照由Ma D.W.[2,8]所得到.

华罗庚域是Yin W.P.等[9]在对称典型域的基础上建立的,是4类典型域的推广.作为华罗庚域的2个特例超Cartan域和Cartan-Egg域,它们到单位超球的极值和极值映照已经得到一些结果.如第一类超Cartan域到单位超球的极值和极值映照由文献[9]得到;第二类超Cartan域到单位超球的极值和极值映照由文献[10]得到;第三类超Cartan域到单位超球的极值和极值映照由文献[11]得到;第四类超Cartan域到单位超球的极值与极值映照由文献[12]得到;文献[13]构造了比超Cartan域更广的一类Hartogs域,得到了从这类Hartogs域到单位超球的极值和极值映照;第一类Cartan-Egg域到单位超球的极值与极值映照由文献[14]得到.

对于一般的华罗庚域到单位超球的极值和极值映照的研究目前较少,已知第一类华罗庚域到单位超球的极值和极值映照由文献[15]得到.本文在文献[15]所用方法的基础上,讨论了第二类华罗庚域到单位超球的极值与极值映照.

1 预备知识

设Cartan的第二类不可约有界对称域为RII(p),即

其中,I为p阶单位方阵,Z是p阶对称复方阵,即

(1)

在不引起混淆的情况下不加区分Z和z.

下面给出第二类华罗庚域,其形式如下

其中

N1,N2,…,Nr为正整数,p1,p2,…,pr为正实数.

(2)

(3)

时,则有

下面记

下面定义Hermite椭球.Hermite椭球指形如

的把原点映为原点的全纯映射的集合,则Carathéodory极值问题是求一个极值映射

使得

为了给出主要结果,下面给出一些引理.

引理 1.1[2]设D是Cn中包含原点的一个域,Bn为Cn中的单位球,若l是一个复线性映照,使得l(D)⊂Bn,则l-1(Bn)必为一个包含D的Hermite椭球.如果l是如下极值问题的一个解

则l-1(Bn)必为D的一个具有最小体积的外切Hermite椭球.

其中,ai>0,b>0(i=1,2,…,r).

由文献[16]知,对任何p阶对称复方阵Z都存在p阶酉方阵Up×p使得

对于任意给定的a1,…,ar,b(ai>0,b>0,i=1,2,…,r),作函数

其中

(5)

下的最大值,其中0≤hi≤1,0≤λl≤1,i=1,2,…,r;l=1,2,…,p.

引理 1.3[15]当pi>p(i=1,2,…,r)时,F(h1,…,hr;λ1,…,λp)在(5)式条件下存在唯一驻点并在驻点处取得最大值,其中0≤hi≤1,i=1,2,…,r.

最后,寻求函数

(6)

2 主要结论

其中

证明 在条件(5)下,求函数(4)的最大值,进而求函数(6)的最小值.下面考虑函数

由

得:

(7)

(8)

(8)式关于l相乘得

(9)

(8)式×(1-λl)相加得

(10)

由(8)～(10)式可得:

(12)

由上述各式可解得:

(13)

(13)式只能当作解出的函数,并无显示表达.

由引理1.4,令

下面求

的最小值,实际求其最小值点.由文献[15]知最小值点为其唯一的驻点.

令

(15)

由(5)式(看做ai,i=1,2,…,r,b的函数)对aj(j=1,2,…,r)、b求偏导,并利用(7)和(8)式知:

故(14)和(15)式分别变为:

(16)

由(16)式得

由(17)式得

(19)

(18)与(19)式两端对应相比得

解之得

(20)

由(16)式及

得

(21)

由(18)式得

(22)

由(20)～(22)式可解出

(23)

再由(12)式进而解出

(24)

(16)和(17)式移项相比并代入(20)和(23)式得

将(24)、(25)式代入(7)式×hj得

由此得

将(24)和(26)式代入(7)式得

(27)

于是根据极值定义、引理1.1及定理2.1可得下面的定理.

1≤u≤v≤p,

其中,wj=(wj1,…,wjNj),j=1,2,…,r,

f:HEII(N1,…,Nr;p;p1,…,pr)→

i=1,2,…,r;j=1,2,…,Ni,

从而可得如下定理.

定理 2.3 当pi>p时,HEII(N1,…,Nr;p;p1,…,pr)到单位超球B的极值映照为:

f:HEII(N1,…,Nr;p;p1,…,pr)→B,

i=1,2,…,r;j=1,2,…,Ni,

其中,wi=(wi1,…,wiNi),i=1,2,…,r,

于是根据极值定义及定理2.3可得:

定理 2.4 当pi>p时,HEII(N1,…,Nr;p;p1,…,pr)到单位超球B的极值为

其中

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2010 MSC:32A07

(编辑 余 毅)

Extremal Problem on the Hua Domain of the Second Type

LI Haitao1,SU Jianbing2,WANG Yanyong3

(1.KewenCollege,JiangsuNormalUniversity,Xuzhou221116,Jiangsu;2.SchoolofMathematicsandStatistics,JiangsuNormalUniversity,Xuzhou221116,Jiangsu;3.DepartmentofMathematics,LvliangCollege,Lvliang033000,Shanxi)

In this paper,the extremal problem on the Hua domain of the second type is discussed.The extremal problem can be considered to be similar to the classical Schwarz lemma and also be an extension of the classical Schwarz lemma in high dimension.In some cases,we obtain the extremal mapping and the extremal value between the Hua domain of the second type and the unit ball by determining the minimal circumscribed ellipsoid of the Hua domain of the second type.

extremal problem; Hua domain; the minimal circumscribed ellipsoid

2016-05-25

国家自然科学基金(11171285)

李海涛(1981—),男,讲师,主要从事多复变函数论的研究,E-mail:lihaitaolht@163.com

O174.56

A

1001-8395(2017)02-0193-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.009