万树园,王智勇

(南京信息工程大学 数学与统计学院,江苏 南京 210044)

一类二阶Hamilton系统次调和解的存在性

万树园,王智勇*

(南京信息工程大学 数学与统计学院,江苏 南京 210044)

研究了一类次二次的二阶Hamilton系统次调和解的存在性.利用鞍点定理,得到了一个新的存在性结果,推广和改进了以往文献中的相关结论.

次调和解; 次二次; 临界点; 鞍点定理

1 主要结果

考虑二阶系统

(1)

其中T>0,F:[0,T]×RN→R关于第一变量是T-周期的且满足以下假设:

(A) F(t,x)对每个x∈RN关于t是可测的,对a.e.t∈[0,T]关于x是连续可微的,且存在a∈C(R+,R+),b∈L1(0,T;R+)使得对所有x∈RN与a.e.t∈[0,T]有:

通常把kT-周期解称为次调和解.许多学者利用变分方法研究了问题(1)次调和解的存在性,并得到了一系列存在性和多解性结论,如文献[1-6].特别地,P.H.Rabinowitz[1]考虑了F(t,x)是次二次的情况并得到如下定理:

定理 A[1]若F∈C1(R×RN,R)且满足以下条件:

(F1) 存在常数1<μ<2,L1>0,使得对所有|x|≥L1,t∈[0,T]有

(F2) 存在常数a1,a2>0,1

定义 1.1 假设φ是这样的连续函数集合,对∀θ∈φ,存在常数M>0使得:

(i) 对所有t∈R+,θ(t)>0;

最近,文献[7]通过引入控制函数θ∈φ,得到了一个新的次二次条件,并在此条件下研究了问题(1)周期解的存在性.受文献[1,3,7-9]的启发,本文利用文献[7]中新的次二次条件,考虑问题(1)的次调和解的存在性,给出本文的主要结论:

定理 1.2 若F满足假设(A)及以下条件:

(H2) 当|x|→+∞时,F(t,x)≥0对a.e.t∈[0,T]一致成立;

(H3) 存在子区间E⊆[0,T]满足meas(E)>0,使得对a.e.t∈E有

则问题(1)对每一个正整数k有kT-周期解uk,且满足当k→+∞时,‖uk‖∞→+∞.

注 1.3 显然定理1.2中的一系列假设都弱于定理A,因此结果显著推广了定理A.存在函数满足定理1.2但不满足文献[1,3-5,10-14]中的相关结果.例如:令

其中

设θ(|x|)=ln(2+|x|2)时,计算可知F(t,x)满足条件(H1)～(H3)但不满足(F1)与(F2).

注 1.4 因为F(t,x)关于t是T-周期的,不失一般性,可假设条件(A)中的b(t)是T-周期的.

2 预备知识

则有

(2)

考虑能量泛函

由文献[1]易知,φk的临界点对应于问题(1)的kT-周期解.

为了证明定理1.2,需要如下结论.

引理 2.1[10]若F满足假设(A),E是[0,T]的一个可测子集,假设对a.e.t∈E有

则对∀δ>0,存在E的子集Eδ满足meas(EEδ)<δ使得

对所有的t∈Eδ一致成立.

引理 2.2[7]若F(t,x)满足假设(A)和(H1),则对所有x∈RN与a.e.t∈[0,T]有

其中

注 2.3 由θ的性质(ii),可知当|x|→+∞时,有G(|x|)→0;又依据1/θ的范围,有

因此t2G(t)关于t是递增的.

3 定理证明

定义 3.1[15]设X是Banach空间,φk∈C1(X,RN),如果存在c∈R,{un}⊆X满足

称{un}为(C)c序列.如果对任意的c∈R,(C)c序列都有收敛的子列,我们称泛函φk满足Cerami条件(简称(C)条件).

引理 3.2 若假设条件(A)、(H1)、(H2)与(H3)成立,则能量泛函φk满足(C)条件.

(3)

由假设(A)和(H1),对∀x∈RN与a.e.t∈[0,T]有

(4)

其中h2(t)=(2+M)h1(t)≥0.结合(3)和(4)式,对∀n∈N有

因此,存在常数M1>0使得

(5)

由(2)、(3)式和引理2.2、注2.3,对∀n∈N有

(6)

因此,当n→+∞时,有|un(t)|→∞对t∈[0,T]一致成立.由(H2)和(H3),有当n→∞时,

(I2) ∀u∈RN,当|x|→+∞时,有φk(x+ek)→-∞.

结合注2.3可得(I1)成立.

(7)

由ek(t)=k(cosωt/k)x0,则

由(H2)可知存在常数M1>0使得当|x|≥M1时有F(t,x)≥0.所以对∀x∈RN和a.e.t∈[0,T],有

(8)

因此利用(H2)和(7)、(8)式及注1.4,并注意到1/θ的范围,可知对所有|x|≥G+k,有

(9)

由β的任意性有当|x|→+∞时,φk(x+ek)→-∞.因此(I2)成立.

综上可知,存在临界点uk∈E使得

对x∈RN,令

由文献[4]可知,对所有充分大的k有

(10)

(11)

对∀x∈RN和充分大的k,用与(9)式类似的方法,再结合(11)式并注意到θ的范围有

(12)

所以有

由β的任意性有

因此

(13)

最后,证明当k→+∞时,‖uk‖∞→+∞.假设结论不成立,则存在一个子列使得对所有k∈N有

其中C为一个正实数.因此,由条件(A)及注1.4有

[1] RABINOWITZ P H.On subharmonic solutions of Hamiltonian systems[J].Commun Pure Appl Math,1980,33(5):609-633.

[2] LI C,Ou Z Q,Tang C L.Periodic and subharmonic solutions for a class of non-autonomous Hamiltonian systems[J].Nonlinear Analysis:TMA,2012,5(4):2262-2272.

[3] TANG C L,WU X P.Subharmonic solutions for nonautonomous sublinear second order Hamiltonian systems[J].J Math Anal Appl,2005,304(1):383-393.

[4] JIANG Q,TANG C L.Periodic and subharmonic solutions of a class of subquadratic second-order Hamiltonian systems[J].J Math Anal Appl,2007,328(1):380-389.

[5] MAWHIN J,WILLEM M.Critical Point Theory and Hamiltonian Systems[M].New York:Springer-Verlag,1989.

[6] RABINOWITZ P H.Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations[C]//CBMS Regional Conference Series in Math,65.Providence RI:Am Math Soc,1986.

[7] WANG Z,XIAO J.On periodic solutions of subquadratic second order non-autonomous Hamiltonian systems[J].Appl Math Lett,2015,40:72-77.

[8] MENG F,ZHANG F.Periodic solutions for some second order systems[J].Nonlinear Analysis:TMA,2008,68(11):3388-3396.

[9] TANG C L,WU X P.Notes on periodic solutions of subquadratic second order systems[J].J Math Anal Appl,2003,285(1):8-16.

[10] TANG C L,WU X P.Periodic solutions for second order systems with not uniformly coercive potential[J].J Math Anal Appl,2001,259(2):386-397.

[11] 居加敏,王智勇.一类带阻尼项的次二次二阶Hamilton系统的周期解[J].四川师范大学学报(自然科学版),2015,38(3):329-332.

[12] 张鹏.一类次线性二阶Hamiltonian系统的无穷多周期解[J].四川师范大学学报(自然科学版),2010,33(5):588-591.

[13] WANG Z,ZHANG J.Periodic solutions of a class of second order non-autonomous Hamiltonian systems[J].Nonlinear Analysis:TMA,2010,72(12):4480-4487

[14] HE X,WU X.Periodic solutions for a class of nonautonomous second order Hamiltonian systems[J].J Math Anal Appl,2008,341(2):1354-1364.

[15] BARTOLO P,BENCI V,FORTUNATO D.Abstract critical point theorems and applications to some nonlinear problems with “strong” resonance at infinity[J].Nonlinear Analysis:TMA,1983,7(9):981-1012.

2010 MSC：34C25

(编辑 陶志宁)

Subharmonic Solutions for a Class of Second-order Hamiltonian Systems

WAN Shuyuan,WANG Zhiyong

(SchoolofMathematicsandStatistics,NanjingUniversityofInformationScienceTechnology,Nanjing210044,Jiangsu)

In this paper,we investigate the existence of subharmonic solutions for subquadratic second-order Hamiltonian systems.By using saddle point theorem,a new existence theorem is obtained.Our theorem extends and improves known results.

subharmonic solution; subquadratic; critical point; saddle point theorem

2016-02-06

国家自然科学基金(11571176)

O175.12

A

1001-8395(2017)02-0172-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.005

*通信作者简介：王智勇(1979—),男,副教授,主要从事非线性泛函分析的研究,E-mail:mathswzhy@126.com