湖北省黄石二中(435000)

张熙灵●



不等式问题证明与思路

湖北省黄石二中(435000)

张熙灵●

不等式问题、数列问题以及函数问题是历年高中数学的压轴大题，其中不等式问题更是进入大学后高等数学难题中的领头羊.一般而言，不等式问题，解题方法主要有比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法、换元法、判别式法等十多种方法.本文另辟蹊径，通过三个例题，从易到难分别介绍构造法、函数法、泰勒级数法在不等式问题中的应用，并对不等式问题的证明方法进行总结，提出针对不等式问题的想法.

不等式；构造法；函数法；泰勒公式

一、构造法证明不等式

构造法证明不等式其实质是将不等式进行等价转化.借助其他形式，如函数，二次方程的Δ，数列，向量等，通过一系列的数学运算与化简，把不等式的证明转换为其他类型函数或方程的求解.如下题，把不等式的证明转换为二次方程根的存在性，巧妙地避开了直接运算不等式而带来的复杂计算，为不等式的证明方法提供了一个新的思路.

证明 构造方程(tanγ-2tanα)x2-2(tanαtanβ)x+(2tanβ-tanγ)=0.

1)若tanγ-2tanα=0，因为(tanαtanβ)2≥0，所以原不等式成立.

2)若tanγ-2tanα≠0，当x=-1时，

(tanγ-2tanα)+2(tanαtanβ)+(2tanβ-tanγ)=0，

所以x=-1是方程的根.所以Δ=4(tanαtanβ)2-4(tanγ-2tanα)(2tanβ-tanγ)≥0,所以(tanαtanβ)2≥(tanγ-2tanα)(2tanβ-tanγ).得证.

注：形如B2-AC≥0(或≤0)型不等式可尝试用构造二次方程来解.

二、函数法证明不等式

所谓函数法，就是从要证明不等式中的某些解析式出发，通过构造一个恰当的函数，并利用函数的性质，完成不等式的证明.其主要的解题思路为，先把不等式化简，用某一函数代替不等式中复杂……