李 辉，吕明冬，任慧龙，陈小波，田 博

（1.哈尔滨工程大学 船舶工程学院，哈尔滨 150001；2.中国船舶及海洋工程研究院，上海 200011；3.法国船级社深水技术研究中心，新加坡）

基于Laguerre函数对圆柱面绕射势的数值逼近

李 辉1，吕明冬2，任慧龙1，陈小波3，田 博1

（1.哈尔滨工程大学 船舶工程学院，哈尔滨 150001；2.中国船舶及海洋工程研究院，上海 200011；3.法国船级社深水技术研究中心，新加坡）

无限深圆柱表面绕射势沿水深方向的变化是连续的、不断衰减的。基于无穷区间Laguerre多项式并引入的伸缩系数s定义了Laguerre函数，既保证了函数在无穷区间的正交性，又使函数具有灵活性。绕射势的变化，可以用一系列Laguerre函数表示成级数形式。文中对该方法的收敛性进行了证明，并以一条FPSO为例对其在圆柱面的绕射势进行了逼近。求解级数展开式的系数时会遇到无穷积分问题，采用多次使用Gauss-Legendre积分和Gauss-Laguerre积分相结合的方法代替传统的Gauss-Laguerre积分方法，获得更高的积分精度。利用Laguerre函数可以对Rankine源法或者Rankine-Kelvin法的控制面上速度势进行逼近。

Laguerre函数；绕射势；Gauss-Laguerre积分；Gauss-Legendre积分

0 引 言

在三维势流理论中，速度势用于计算船舶运动和载荷[1-2]，速度势求解通常使用格林函数法，常用的格林函数方法有Rankine源法[3]、Kelvin源法[1]等。每种格林函数有自身优点，但同时又存在一些不足。例如：Rankine源法优点在于避免了复杂格林函数计算，没有不规则频率问题，但必须在整个无限自由面积分，需要在全部自由面划分大量网格，除此之外，还需要建立一个阻尼区消除反射波的影响[1]。Kelvin源法优点是在自由面积分为零，无需对自由面划分网格，对于简单的物体，例如半球，圆柱有较好的结果，然而对于实际的船体它的波浪成分会引起计算结果震荡以及收敛速度慢的问题[5]。

BV的陈小波博士[6]提出Rankine-Kelvin方法，即利用一个圆柱面作为控制面，将流体域分为两部分，内域和外域。外域采用无航速格林函数，内域采用简单格林函数。在外域，简单的圆柱表面的速度势和速度势法向导数可以假设是已知的；在内域，船体表面的速度势法向导数已知，控制面上的速度势可以和外域方程联合求解，因此只需要对物体表面以及控制面内有限自由表面划分网格，就可以满足求解条件。

速度势中，绕射势以及辐射势是未知的，绕射势与辐射势的在圆柱控制面沿竖直方向上变化是相似的，利用Rankine-Kelvin方法求解时，圆柱控制面的任意点的绕射势以及辐射势是利用Laguerre函数表示，既可以不必在圆柱面上划分网格，又在积分和微分上会获得很大便利。本文为了探究该方法的可行性，以绕射势为例，首先利用格林函数法可以求出实际物体在圆柱面上任意点的绕射势，再利用Laguerre函数对绕射势函数进行逼近，获得绕射势的级数展开形式，求出逼近误差，检验是否满足工程应用的精度。

本文结构如下。第1章定义Laguerre函数，并引进伸缩系数s，证明含有伸缩系数s的Laguerre函数具有正交性。第2章给出Laguerre函数逼近的具体步骤，对该方法收敛性进行证明。引入Gauss-Laguerre与Gauss-Legendre混合积分的方法，可以更准确地求出无穷积分的积分值。第3章给出计算的数值结果。

1 Laguerre函数

当ω=1时，定义为

n阶Laguerre多项式定义如下[7]

该多项式满足如下递推关系[7]

Laguerre多项式是一个完全正交系，满足如下正交关系[7]

其中：δl，m是Kronecker符号。

现定义Laguerre函数如下：

Laguerre函数也是一个完全正交系，满足如下正交关系

其中：ℓn（sz）也是完全正交系，满足如下公式

证明如下：

2 含伸缩系数Laguerre函数对速度势函数展开

在离物体一定距离时，速度势函数φ（z）沿深度的变化是连续的，当水深趋于无穷时，速度势趋于零，所以速度势函数表达式可以用下式表达：

由上述证明可知，当函数φ（z）满足平方可积且连续的条件，则该函数基于Laguerre级数展开是绝对收敛的。由于函数f（z）=1/1+z平方可积，速度势函数φ（z）收敛速度快于函数f（z）=1/1+z，则该速度势函数φ（z）可以被级数展开。

采用高斯积分计算级数前系数csn，在［0，∞］做高斯积分，通常采用Gauss-Laguerre插值积分：

其中：zk′为Laguerre多项式的互异零点，理论上说，Gauss-Laguerre法的积分误差随着N增加而减少。不过，随着N和k增加，特别是零点离积分原点非常远的情况下，Laguerre多项式相邻零点zk′与z′k+1距离会快速变大，对于特别大的N，相邻零点之间距离可以达到4N[8]，这个特征既是Gauss-Laguerre积分法的优点也是缺点。它意味着可以用适当的N可以计算无穷区域的积分，但事实上如果被积函数在相邻零点间震荡比较剧烈，可能就无法准确得到两个零点间的积分值。为了改进这一缺点，本文采用Gauss-Laguerre与Gauss-Legendre相结合的方法，Gauss-Legendre方法优点在于可以将震荡衰减函数的震荡部分分成n个有限积分区间，每个有限积分区间采用Gauss-Legendre积分法积分，可以保证震荡区间有足够的计算数值点，对于收敛部分，可以采用Gauss-Laguerre积分法积分。具体步骤如下：

其中：zk为N阶Legendre多项式零点，zk′为N阶Laguerre多项式零点。

现在，选取函数在F（z）=（e-cz，J0（dz）），被积函数f（z）=e-czJ0（dz）为震荡衰减函数，积分可得解析解，相对误差Er定义为

其中：F（z）为真实值，Fc（z）为数值计算值，利用混合积分法数值计算得到的积分值，见表1。

表1 混合积分法得到数值解与相对误差Tab.1 Numerical results and relative error with composite integration

表1中，n=1时为Gauss-Laguerre积分方法。由表1可见，随着Gauss-Legendre积分区间个数n增加，积分精度有较快提高，在实际应用中，可以预先设置一个误差值，n个区域的积分值和n+1个区域积分值差值绝对值小于设定误差值，可以认为得到高精度数值解。

3 算 例

本文以一条长225 m，宽36 m，平均吃水16 m的FPSO为计算模型，选取船中为中心半径为450 m无限深圆柱为控制面，计算航速为0 kn，计算频率分别为ω=0.17 rad/s，0.6 rad/s，1.7rad/s浪向为迎浪。本文采用 CCS认证的COMPASSWALCS-BASIC水动力载荷软件为计算软件，得到船艏方向控制面上的绕射势，具体位置见图1。

图1 绕射势在控制面上的逼近路径Fig.1 Approximation path of diffraction potential on the control surface

由COMPASS-WALCS-BASIC计算出的绕射势定义为φ7W，Laguerre函数逼近得到的绕射势定义为φ7L。绝对误差定义为E*，如下式

不同频率下，l1绕射势实部与虚部逼近值以及绝对误差见图2-7。n为级数展开项数，s为伸缩系数。

图2 l1处绕射势逼近值（实部）与绝对误差（ω=0.17 rad/s）Fig.2 Diffracted approximation(real part)and absolute error along l1(ω=0.17 rad/s)

图3 l1处绕射势逼近值（虚部）与绝对误差（ω=0.17 rad/s）Fig.3 Diffracted approximation(imaginary part)and absolute error along l1(ω=0.17 rad/s)

图4 l1处绕射势逼近值（实部）与绝对误差（ω=0.6 rad/s）Fig.4 Diffracted approximation(real part)and absolute error along l1(ω=0.6 rad/s)

图5 l1处绕射势逼近值（虚部）与绝对误差（ω=0.6 rad/s）Fig.5 Diffracted approximation(imaginary part)and absolute error along l1(ω=0.6 rad/s)

图6 l1处绕射势逼近值（实部）与绝对误差（ω=1.7 rad/s）Fig.6 Diffracted approximation(real part)and absolute error along l1(ω=1.7 rad/s)

图7 l1处绕射势逼近值（虚部）与绝对误差（ω=1.7 rad/s）Fig.7 Diffracted approximation(imaginary part)and absolute error along l1(ω=1.7 rad/s)

4 结 论

文中定义了含有伸缩系数s的Laguerre函数，利用该函数，并且对一条FPSO在圆柱控制面的绕射势进行数值逼近，得到以下结论：

（1）伸缩系数s增加了Laguerre函数的灵活性，并对Laguerre函数逼近连续衰减函数的收敛性进行了证明。

（2）Gauss-Legendre与Gauss-Laguerre结合的积分方法可以提高函数积分精度，对震荡衰减的函数也可以得到较好积分结果。

（3）当波浪频率较低时，绕射势沿水深衰减较慢，此时伸缩系数s=0.3可以得到较好逼近效果；波浪频率较高时绕射势沿水深衰减较快，任意不同伸缩系数都可以得到较好结果。文中为了得到较高精度级数展开项较多，工程应用中，在满足工程应用精度情况下，可以减少展开项数，提高运算效率。

[1]戴遗山,段文洋.船舶在波浪中的势流理论[M].北京:国防工业出版社,2008:107-219. Dai Yishan,Duan Wenyang.Potential flow theory of ship motions in waves[M].Beijing:National Defense Industry Press, 2008:107-219.

[2]戴仰山,沈进威,宋竞正.船舶波浪载荷[M].北京:国防工业出版社,2007:23-37. Dai Yangshan,Shen Jinwei,Song Jingzheng.Ship wave loads[M].Beijing:National Defense Industry Press,2007: 23-37.

[3]贺五洲,戴遗山.简单Green函数法求解三维水动力系数[J].中国造船,1986(2):3-17. He Wuzhou,Dai Yishan.Three-dimension hydrodynamic coefficients based on rankine source method[J].Shipbuilding of China,1986(2):3-17.

[4]刘应中,缪国平.船舶在波浪上的运动理论[M].上海:上海交通大学出版社,1987:81-110. Liu Yingzhong,Miao Guoping.The theory of ship motions in waves[M].Shanghai:Shanghai Jiao Tong University Press, 1987:81-110.

[5]Chen X B,Wu G X.On singular and highly oscillatory properties of the Green function for ship motions[J].J Fluid Mech, 2001,445:77-91.

[6]Ten I,Chen X B.A coupled Rankine-Green function method applied to the forward-speed seakeeping problem mathematical formulation[C]//IWWWFB 2010,International Workshop Water Waves Floating Bodies,25th.Harbin,China,issue 1,2010:4.

[7]张善杰,金建铭.特殊函数计算手册[M].南京:南京大学出版社,2011:12-14. Zhang Shanjie,Jin Jianming.Computation of special functions[M].NanJing:Nanjing University Press,2011:12-14.

[8]Guo Benyu,Wang Zhongqing.Numerical integration based on Laguerre-Gauss interpolation[J].Comput.Methods.Appl. Mech.Engrg,2007:3726-3741.

Numerical approximation of diffraction waves on cylinder surface based on Laguerre function

LI Hui1,LV Ming-dong2,REN Hui-long1,CHEN Xiao-bo3,TIAN Bo1
(1.College of Shipbuilding Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China;2.Marine Design&Research Institute of China,Shanghai 200011,China;3.Deepwater Technology Research Center,Bureau Veritas,Singapore)

The vertical variation of water diffraction waves on vertical infinite circular cylinder is considered to be continuous and descending.The variation can be represented by a series of Laguerre functions using Laguerre polynomials.A scale parameter s is introduced to the function which ensures orthogonality and flexibility.The convergence of Laguerre series is proved and diffraction wave of a FPSO on a circular cylinder surface is approximated for instance.The Gauss-Legendre integration is combined with Gauss-Laguerre integration to alternate traditional Gauss-Laguerre integration.This integration method can obtain higher numerical precision.The Laguerre series can be applied to approximate the velocity potential on the control surface in Rankine source method or Rankine-Kelvin source method.

Laguerre function;diffraction;Gauss-Laguerre integration;Gauss-Legendre integration

U661.3

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2017.05.006

1007-7294（2017）05-0555-08

2016-12-29

国家基础研究发展规划项目（2011CB013703）

李 辉（1978-），男，讲师，副博士生导师；吕明冬（1990-），男，助理工程师，E-mail：lvmingdong1990@qq.com。