■河南师范大学附属中学 郭家慧(指导老师:孟召臣)

浅谈复数模的应用

■河南师范大学附属中学 郭家慧(指导老师:孟召臣)

复数在中学数学中涉及面比较广,知识跨度比较大,能与代数、三角、解析几何等知识融为一体。特别是复数的模,因其兼具绝对值、向量的模以及非负实数等多重身份,是代数求值、研究图形变换、探求轨迹方程的有力武器。下面结合一些具体的实例浅谈一下复数模的简单应用。

一、利用复数模的性质速算

点评:如果本例先化简,再求模,那么运算量很大,而充分利用复数模的运算性质则可使运算过程大大简化。

二、利用复数模的几何意义求轨迹

复数模的几何意义:若z=a+bi,则z 的几何意义为复平面上的点(a,b)到原点的距离。

z-z0表示复平面内z和z0所对应的两点之间的距离。已知z0=1+i,z-z0=1,z'

=1-iz,若复数z'在复平面内对应的点为1+iz

P,求动点P的轨迹。

所以z'+1+2i=z'+1,点P的轨迹为连接定点Z1(-1,-2),Z2(-1,0)的线段的中垂线。

点评:本题先通过复数的基本运算,充分利用z-z0=1这一条件快速简化点P所对应的复数所满足的条件,再结合复数模的几何意义得到动点P的轨迹。

三、利用复数模的几何意义求最值

已知z =1,求|z-(1+i)|的最大值和最小值。

图1

解析：|z|=1表示以原点为圆心1为半径的圆,|z-(1+i)|表示圆上的点到定点A (1,1)的距离(如图1)。由于点A到原点的距离是2,因此圆上的点到点A的最大距离是2+1,最小距离是2-1,因此|z-(1+i)|min= 2-1,|z-(1+i)|max= 1+2。

点评:如果用代数法,设z=x+yi,再用二次函数去求解就会非常麻烦,而利用复数模的几何意义可使得本题的结论变得显然。……