李光磊1郭亦平林莉

基于Laguerre函数的船舶航向DMPC研究∗

李光磊1郭亦平2林莉2

（1.海军驻九江地区军事代表室九江332007）（2.中国船舶重工集团公司第七○七所九江分部九江332007）

针对船舶在风浪等环境干扰下频繁打舵、控制偏差大的问题，从船舶运动模型和模型预测控制入手，研究Laguerre函数的应用，提出了一种基于Laguerre函数的船舶航向DMPC控制方法，设计了一种高海情下航向控制算法，并通过数字仿真验证了控制算法的有效性。

船舶；航向控制；模型预测控制；Laguerre函数

Class NumberTP212

1 引言

在大风浪中航行的船舶受到风、浪、流的干扰会产生航向偏差，通过操舵可以减小航向偏差，但风浪的高频干扰会激励自动操舵仪或操舵人员频繁地操舵以保持航向。理论研究和实操经验表明，静水中具有航向稳定性的船舶在大风浪中作定向直航时，会沿着某一航向作不规则的横荡和回转运动。此时往往不需要进行操舵。不必要的操舵会消耗船舶的控制能量，加剧舵机的磨损；有些船舶由于控制参数选择不合适等原因甚至会出现周期性的偏航，从而增加航程，加剧燃油消耗［1］。因而，研制在风浪天气打舵次数少，且航向控制精度高的自动操舵仪显得尤为必要。

本文采用了基于Laguerre函数离散时间模型预测控制和基于海浪频率跟踪器的离散时间状态观测器相结合的方法，设计了一种高海情下航向控制算法，并通过构建仿真环境验证了该算法具有风浪天气下航向精度高、打舵次数少的特点。

2 船舶运动数学模型

船舶操纵运动采用三自由度运动方程［2～3］，其运动方程式为

式中，X、Y、Mz可分别表示如下：

下标H、T、R、D分别表示船体流体水动力和力矩、螺旋桨推力和推力矩、舵力和舵力矩，风、浪、流等干扰的合力和合力矩。

波浪产生的干扰力和力矩在船体坐标系上的投影可由下列公式确定：

式中ω为波浪平均频率，在仿真计算时用ω=ωm/0.71来近似，ωm为频谱的最高频率，χy，χmz为与船舶结构特性以及浪向角φw有关的换算系数，αw为波倾角。

3 基于Laguerre函数的航向DMPC控制器设计

3.1经典模型预测控制概述

MPC是一种基于模型的控制算法［4］，其核心为：可预测过程未来行为的动态模型，在线反复优化计算并滚动实施的控制作用和模型误差的反馈校正［5］。其基本原理见图1。

图1 预测控制基本原理图

预测模型的功能就是根据对象的历史信息和未来输入，预测其未来输出，预测模型具有展示系统未来动态行为的功能。利用预测模型为MPC的优化提供先验知识，决定采用何种控制输入，使未来时刻被控对象的输出变化符合预期的目标。模型预测控制的特点是滚动优化、滚动实施及反馈校正。

3.2Laguerre函数在DMPC设计中的应用

离散时间Laguerre网络［6］是由连续时间Laguerre网络离散化产生，离散时间Laguerre网络的z变换如下：

这里，a是离散时间Laguerre网络的极点，且为保证网络稳定性，有0≤a＜1，称作Laguerre网络标量因子。Laguerre网络最知名的性能是它们的正交性。其频域表示为

对于Γm(z),m=1,2,…,N，有

在模型预测控制中，为了寻找离散时间Laguerre函数，可利用Laguerre网络的状态控制实现来得到。

设上述Laguerre网络中，l1(k)是Γ1(z,α)的反z变换，l2(k)是Γ2(z,a)的反z变换，…，lN(k)是ΓN(z,α)的反z变换，则该离散时间Laguerre函数集可用向量形式表示：

该函数集满足下述差分方程

矩阵Al是(N×N)的，且是具有α和β=(1-α2)两个参数的函数，其初始条件为

例如，当N=5时

Laguerre网络的正交性能时域表示为

假设一个稳定系统的脉冲响应为H(k)，则该响应可用N阶Laguerre函数表述为

这里，c1c2…cN是由系统数据决定的系数，该Laguerre网络的系数由下式定义：

实际上，由于Laguerre函数的正交性能，这些系数也可最小化下述误差平方和函数：

上述离散时间脉冲响应的描述导致了使用Laguerre函数进行预测控制的设计。

在使用脉冲算子的经典DMPC设计中，ΔU对应Laguerre函数多项式中α=0的情况。在快速采样、复杂过程动态和高闭环性能指标等情况下，若想获得令人满意的控制信号Δu，可能需要非常多的参数，这会导致较差的数值计算结果，产生沉重的计算负担。因而，一种更适当的方法是在模型预测控制中使用Laguerre网络。

在ki时刻，控制轨迹Δu(ki),Δu(ki+1), Δu(ki+2),…,Δu(ki+k)…被称作稳定动态系统的脉冲响应，因而，可用Laguerre函数集来描述该动态响应，在任一未来采样间隔k，有

式中，ki为滑动时间窗的初始时刻，k为未来采用时刻，N为多项式阶数，cj，j=1,2,…,N是Laguerre函数的系数，这些系数是滑动时间窗初始时刻ki的函数。当α=0时，N=Nc，Nc为控制时域。

4 船舶航向DMPC控制器设计

4.1基于Laguerre函数的船舶航向DMPC算法设计

将式（1）和式（2）所示的船舶运动数学模型抽取出横向运动和偏航运动方程后线性化，并引入辅助方程Φ=r，可得船舶偏航运动方程如下：

简记为

式中

将式（12）离散化两端差分运算后，可得

引入如下符号：

则可由式（14）得如下增量式状态方程和状态输出方程：

上式简记为

假设在k时刻的m个采样间隔后解算的预测指令舵角增量为

式中，L(m)T为拟合航向MPC控制器的离散化Laguerre函数向量，η为Laguerre参数。

假设在k时刻，式（16）的状态为x(k)，则在此时刻的m个采样间隔后的预测状态为

为解算航向预测控制律，设代价函数［7］为

则该代价函数的最优解为

将式（20）代入式（17），可得

由此可得，在k时刻，航向MPC控制器的控制律为

式中，x(k)应由观测值替换。观测器的设计可利用离散时间kalman估计理论设计。

4.2恶劣海况下航向滤波算法设计

4.2.1 海浪中心频率的在线辨识

操舵导致的航向运动为低频运动，海浪诱导的航向运动为高频运动，因此，为了抑制由于海浪引起的航向变化对航向操纵控制的影响，应对航向进行滤波。航向滤波算法采用Fossen［8］提出的基于海浪频率跟踪器的kalman滤波算法［9］。

假设在海浪干扰作用下，由罗经测得的航向角由两部分组成：

由海浪诱导产生的航向角有如下关系式存在：

式中

由式（24）和式（25）可得

由此可知，将航向角低通滤波后得到ξ(s)，然后构建AR模型对式（26）中相关参数进行辨识。参数a1、a2和a3可利用具有遗忘因子的递归最小二乘法辨识得到。

波浪频率的估计可由解上述A(z-1)的根后转化成连续时间根来获得

波浪频率估计值为

4.2.2 带有海浪扩张状态的航向滤波器设计

由式（29）获得波浪主频率的估计值后，可假设波浪诱导航向运动状态方程为

将式（16）、式（30）和式（23）联立后，可得具有海浪扩展状态的航向运动状态方程和输出方程。则可利用kalman滤波原理设计航向运动的离散时间滤波器。

将式（22）中的x(k)替换为对应的观测值后，航向运动控制器设计完成。

4.3指令航向的柔化

在船舶航向MPC算法中，考虑到船舶操纵的动态特性，为了避免控制过程中出现指令航向信号的剧烈变化，可要求实际航向ϕ(k)沿着一条期望的、平缓的曲线到达设定航向值ϕz，这条曲线被称为参考轨迹ϕz(k)，它是指令航向值经过在线柔化的产物［10］，本文采用一阶指数变化形式

其中ai=，T为采样周期，T为参考轨迹的时

s间常数，可取航向修正过程中最大航向变化率的倒数。

5 仿真验证与分析

5.1仿真试验

将设计好的DMPC控制器与船舶非线性数学模型及舵机数学模型构成闭环控制系统，依次进行平静海况和5级海况下航速15kn和25kn的航向修正仿真试验。

1）平静海况，初始航速15kn，航向修正30°仿真试验。

图2 航向变化曲线

图3 舵角变化曲线

2）平静海况，初始航速25kn，航向修正30°仿真试验。

图4 航向变化曲线

图5 舵角变化曲线

3）5级海况，初始航速15kn，艏斜浪，浪向135°，航向修正30°仿真试验

图6 航向变化曲线

图7 舵角变化曲线

4）5级海况，初始航速25kn，艏斜浪，浪向135°，航向修正30°仿真试验

图8 航向变化曲线

图9 舵角变化曲线

5.2仿真分析

平静海况下航向修正仿真试验结果的控制性能指标统计结果见表1。由图2、图4和表1可以看出，本文提出的航向MPC算法在航向修正过程中回转平稳，超调量小，航向调整时间均不大于60s，航向稳定误差不大于0.3°。由图3、图5和表1可知，在整个航向修正过程中，出舵平稳，出舵次数仅为2次。表明本文提出的基于Laguerre函数设计的MPC算法控制性能好，控制品质高。

表1 平静海况航向修正仿真试验控制性能统计表

表2 5级海况航向修正仿真试验控制性能统计表

5级海况下航向修正仿真试验结果的性能指标统计结果见表2。由图6、图8和表2可知，本文设计的带有海浪扩张状态的航向滤波器能够较好地抑制波浪诱导的航向运动而诱导的操舵，由表2可以看出，在滤波器接通状况下，船舶在艏斜浪直航时，15kn航速下，最大偏航角较未滤波情况减小了1.3°，航向稳定精度提高了0.239°，航向稳定性能改善了16.2%，而最大出舵角由17.7°大幅减小到5.1°，平均出舵次数减少了42.4%，若以直航时平均出舵角作为操舵能量损耗指标来衡量，则操纵能量损耗可降低75.5%；在25kn航速下，与未滤波情况相比，最大偏航角减小了0.9°，航向稳定精度提高了0.444°，航向稳定性能改善了36.3%，而最大出舵角减小了10.4°，平均出舵次数减少了32.3%，以直航时平均出舵角计，操舵能量损耗可降低73.84%。

6 结语

本文针对船舶在风浪干扰条件下航行存在航向偏差大、操舵频繁的问题，基于Laguerre函数设计了一种离散时间MPC控制算法和一种带有海浪扩张状态的航向滤波算法，并在平静海况和5级海况下开展了两种不同航速下的仿真试验，综合平静海况和5级海况下仿真结果及分析可知，文中提出的航向MPC和滤波算法，具有良好的航向修正和航向保持性能，具有控制精度高、控制品质好、打舵平稳、能源损耗少的特点，完全能够满足船舶航海性能指标要求。

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Marine Course DMPC Control Based on Laguerre Function

LI Guanglei1GUO Yiping2LIN Li2
（1.Navy Military Representative Office in Jiujiang Area，Jiujiang332007）（2.Jiujiang Branch，The 707 Research Institute of CSIC，Jiujiang332007）

For the problem of frequently playing rudder and great control deviation when ships in the storm and other environ⁃mental disturbances，the application of the Laguerre function is studied by the ship motion model and model predictive control，and a ship heading DMPC control method based on Laguerre function is proposed，a course control algorithm under the high sea condi⁃tion is designed，the effectiveness of the control algorithm is verified through digital simulation.

ship，course control，model predictive control，Laguerre function

TP212

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.05.042

2016年11月9日，

2016年12月31日

李光磊，男，硕士，工程师，研究方向：装备管理，导航、制导与控制。郭亦平，男，硕士，高级工程师，研究方向：自动控制。林莉，女，博士，研究员，研究方向：自动控制。