王桂华

人教版教材每册都设置了“数学广角”内容，试图系统而有步骤地把重要的数学思想方法通过生动有趣的事例呈现出来，让学生体验知识的形成过程，感悟数学思想方法。

五年级上册教材中的“数学广角”，就是把解决植树问题作为一个学习支点，渗透数学思想方法，让学生从中发现规律，抽象出数学模型（点段关系），培养学生从实际问题中探索解决问题有效方法的能力。在教学时，教师应该在充分理解教材意图的基础上，准确定位教学目标，精心设计学习活动，充分挖掘其思想方法。

一、经历问题解决，感悟化归思想

化归是攻克各种复杂问题的法宝之一。解决问题的过程，从某种意义上来说就是不断地转化求解的过程。

在解决两端都栽的植树问题时，教材通过图文结合的形式，呈现了“同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽），一共要栽多少棵树？”让小精灵和小学生分别提示“100m太长了，可以先用简单的数试试。”“我先看看20m可以栽几棵。”引出解决问题常用的方法——从简单的情境入手解决复杂的问题，渗透化归思想——化繁为简。

在教学时，很多教师出示例题，让学生猜测后，就直接告诉学生“我们先看看20m可以栽几棵。”这样的教学活动表面看起来也让学生经历了“猜测——探索”，也渗透了化繁为简的思想方法。但是这种思路是教师给出的，学生并没有经历“想办法”解决问题的过程，体会不到将大数转换成小数探索规律的作用和必要性。

教师应该尽量把问题抛给学生，让学生在探索的过程中自主寻求合适的方法。笔者曾经听过朱德江老师教学的植树问题，颇有启发。他将原例题中的100m改成了500m，直接把问题抛给学生，让学生自主解决“一共要栽多少棵树”。针对学生不同的解答方法和结果，组织学生讨论“你比较认同哪种方法”，当学生一致认为“500÷5+1=101（棵）”后，朱老师提问：“为什么要加1，你能说说理由吗？”一石激起千层浪，学生们想出了很多办法：有的边说边画，先画出了3棵树，发现两棵树中间有一个间隔，栽3棵树，有2个间隔，如果更多，原理也是一样的；有的说，第一次形成一个间隔需要2棵树，第二次再加1棵树就又形成一个间隔，这样棵数就比间隔数始终要多1；有的说，植树就像切木头，切一刀就是两段，切两刀就是三段，段数总是比刀数要多1……

在解释的过程中，学生不由自主的将“500m”转换成了较小数，感悟到用较小数发现规律，再运用规律解决问题的方法。由此给大家一个启示：教材提供的将100m转换成20m、25m……只是为学生解决此类问题提供一种思路——可以用化繁为简的方法来解决，具体转换成多少并不重要，重要的是要让学生经历探索的过程，自主地选用合适的方法来解决问题、发现规律。

二、规范探究行为，体验归纳思想

在归纳植树问题（两端都要栽）的规律时，教材先通过20m和25m两个数据，借助画线段图，让学生直观感受棵数与间隔数的关系，发现规律。然后，由直观到抽象，让学生应用发现的规律猜想30m和35m的植树棵数。在此基础上，再引导学生概括出一般规律。这样的设计，完整呈现了归纳的一般方法，即经历由特殊到一般的归纳过程。

在常规教学中，教师们有两种常见的教学设计：第一种，让学生自主选择不同的数据进行分析研究（一般每名学生选择一个数据），然后组织学生汇报交流，教师将不同学生的不同数据整理成表格（如下），再引导学生集中观察，发现规律。第二种，按照教材的设计顺序，引导学生画线段图得出20m、25m小路的栽树棵数，再计算出30m、35m小路的栽树棵数，最后引导学生观察棵数、间隔数，发现规律。这两种教学都注重收集多种不同的数据，进行归纳，也体现了推理归纳的一般方法。虽然两种方法都能得出一条路的两端都栽时“棵数=间隔数+1”的规律，但是对于学生个体来说，第一种方法学生只是通过一个数据就得出了结论，学生没有经历推理归纳的全过程；第二种方法虽然有多个数据支撑，但都是应教师的要求，学生自主体验不够。

教学时，最好让学生经历一个完整的归纳过程。当学生研究了一个或两个数据后，教师可以提问：“就这么一、两个数据得出这样的结论，你们觉得可靠吗？有没有更多的数据来说明。”启发学生选择多个不同的数据进行探究，让学生经历归纳的一般过程，明白一个特例不足以说明问题，多个不同的例子才能揭示规律，从而让学生在发现规律的同时掌握归纳的基本思想方法。

三、关注思维差異，明晰模型思想

针对植树问题的三种情况，即“两端都栽”“只栽一端”与“两端都不栽”，教材都是通过画线段图，让学生把“点”（树）与“线”（间隔）一一对应起来，发现栽树的棵数和间隔数之间的关系，从而经历模型建构的过程，建立植树模型。

在实际学习中，学生思维的差异性决定了他们解决问题的个性化，有的学生在头脑中已经形成植树表象，直接用数进行推理，如栽2棵树，形成一个间隔，栽3棵树，形成2个间隔……有的学生需要借助实物（小棒、圆片等）模拟植树；有的学生通过画线段图发现规律……教学时，教师要用好教材，但不能要求学生千篇一律地按教材的方式画线段图建模，还应充分尊重学生的思维差异，让他们自主选择写一写、摆一摆、画一画等方式来理解、表达点段关系。同时，教师要给学生展示交流的机会，一方面给学生分享不同方法的机会，通过观察比较，感受到无论采用哪种方式，发现的规律都是一样的；另一方面突出线段图的优势，让学生体会到线段图能直观、清晰、简洁地表现出棵数与间隔数的关系。这样，能较好地处理个性与共性的关系，学生通过观察、分析、概括、选择、判断、抽象等数学活动，选择简单有效的方法建立植树模型。

在现实生活中类似植树的问题有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、锯木头、架设电线杆、桥墩选址等等，这些问题情境中都隐藏着点数和间隔数之间的关系，都适合“植树模型”。教学时还可以设计丰富的现实情境，让学生在实践中进一步体会模型解决问题的优越性，积累用数学解决实际问题的经验。

（作者单位：黄冈市黄州区教学研究室）