卢鑫　程伟宁　范哲源

摘要：在红外光学系统中，为增大光学系统焦深，通常需要减小系统光圈，该方法会降低系统角分辨率和信噪比等参数，使光学系统最终难以获取高频信息图像。波前编码技术结合了光学成像和图像处理算法，实现了大焦深的设计，使系统在一定范围内的离焦均具有较高的MTF，最终实现了光学系统焦深的拓展，提高了光学系统的应用范围和可靠性。

关键词：离焦变量；传递函数；三次相位板；波前编码

根据光学成像系统理论，物方视场在像方视场除了共轭面以外，其他点在共轭像面上只能是一定大小的弥散斑，对于一定分辨率的接收器，只要该弥散斑小于最小分辨率，仍然可以认为是一个点。对于确定光瞳的光学系统，物方一定范围内的物体能够在对准平面成清晰实像，该范围是系统的景深，与之对应的像方空间是焦深。

对于大焦深的光学成像系统，其优势在与减少了物距变化对像方空间变化所引起的成像模糊，使近远景均能清晰成像，获取更多的物方信息。若想提高光学系统焦深，有以下常见方法：第一种是减小系统光圈，增大F数；第二种是通过多幅离焦图像合成；另外一种是在孔径光栏处增加不同的振幅位相板进行调制，对振幅进行衰减。这几种方法均具有一定缺点，或降低系统分辨率，或景深拓展程度不足。

1 波前编码技术理论及应用

波前编码技术最早由美国科罗拉多大学的两位研究人员Dowski和Cathey共同提出，其主要的目的是使光学系统在不同焦深下获取更完整的光学信息量，该技术的方法是通过在光学系统孔径光栏或入瞳处增加一块相位调制板，使光学系统的点扩散函数PSF或者调制传递函数MTF对离焦不敏感，同时能够抑制系统的初级像差。

波前编码技术的特点是结合了光学成像技术和数字图像处理技术。首先，波前编码系统通过在光瞳处加入相位调制板进行调制，使目标在焦平面成一个模糊的中间像。其次，通过对中间模糊像的滤波处理，得到清晰的图像，实现焦深的拓展。

波前编码技术应用在红外系统中，增大了光学系统焦深，进而提高了红外光学系统的清晰成像范围，另外，對于红外光学成像系统，由于设计输入条件中温度差较大，会引起系统离焦的发生，而对这种离焦的补偿通常采用光学、结构无热化设计的方案进行设计，从而引入了调焦组件，增加了系统的复杂程度。引入波前编码技术，可以有效降低红外光学系统设计的复杂程度，使之加工、装配难度下降。

2 基于三次位相板的波前编码系统原理

目前，国内外众多学者对编码技术的研究已经产生了很多成果，在成像特性分析也提出了很多新颖的方法，由于三次相位掩模板在奇对称相位掩模板中比较有代表性，大部分的研究都是围绕三次相位板所进行，因而本文主要对该方法进行介绍。

根据傅立叶光学原理，普通光学系统中，景物目标经光学系统成像在像面处，在不考虑噪声的影响下，成像的物理过程在空间域内是目标景物和光学系统点扩散函数PSF的卷积，在空间频域内被描述为目标景物频率和传递函数OTF的乘积，

G（u，v）=H（u，v）F（u，v）（21）

其中，G（u，v）表示观测图像的频域；

H（u，v）是SPF的频域表达；

F（u，v）表示目标景物的频域；

u，v是像素点处强度对应的空间频率。

由于非相干系统所成的像为强度像，因此MTF（OTF的模）决定系统的成像质量。在传统光学系统中，调制传递函数MTF或PSF随离焦的变化明显。在波前编码系统中，一定范围中MTF随着离焦的产生几乎没有变化，编码图像对离焦的变化不敏感，产生通频带无频率截止的MTF。

通过三次位相板的添加，减少理想波前波动带来的影响，虽然三次位相板的添加会使对理想波前产生一定程度的破坏，但是这种破坏属于已有信息，可以破坏使波前的小范围波动不敏感，这样MTF可以不随离焦产生的小范围理想波前的波动变化，形成较为稳定的MTF信息。将已掌握的MTF信息数据进行编码，由于波前编码系统的MTF在各个离焦位置均比较稳定，因此通常通过同一滤波算法实现不同离焦位置图像的解码。

波前编码系统的设计通常要先将像差通过广义光瞳函数表达出来，然后对其进行相应的变换，求取系统OTF。

首先，计算出含有离焦量的广义光瞳函数P（x），

P（x）=p（x）exp[jkW（x）]，（22）

其中p（x）为光瞳函数，在孔径内其值为1，孔径外为0；

带有离焦参数ψ的广义光瞳函数为

P（x）=p（x）exp（jψx2）（23）

其中离焦参数ψ=πL2/4λ（1/f1/d01/ dc）

其他像差也可以通过广义光瞳函数表达，只考虑一种或者几种像差时候，可以通过改变各个像差项的系数（设置为0）来对广义光瞳函数进行分析。

第二步，求得光学传递函数MTF。对于非相关光学系统，通过出瞳函数做傅立叶变换，并取其模的平方，可以求出点扩散函数的表达式。一方面，可以通过对点扩散函数再进行傅立叶变换，求得光学传递函数；另一方面，可以通过对广义光瞳函数的归一化自行关，求得光学传递函数。非相干光学系统归一化的传递函数定义为：

H（fx，fy）=∫∫|h（u，v）|2exp[j2π（fu+fv）]dudv/ ∫∫|h（u，v）|2 dudv（24）

H（fx，fy）为光学传递函数OTF，它的模即|H（fx，fy）|为调制传递函数MTF。

第三步， 利用数学工具对OTF进行处理，通过采用模糊函数表示OTF以后，可以用稳定相位法求得OTF的近似表达式。

模糊函数使频率和时间结合的自相关函数，对于一个实信号f（t），其模糊函数的表达为：

G（υ，τ）=∫f（t） f（tτ）exp（j2πυt）dt（25）

通过对广义光瞳函数的归一化自相关求得OTF，通过公式（23）和公式（25）可以求得OTF为：

H（u，ψ）=p（x+u/2）exp[j（x+u/2）2ψ]p*（xu/2）exp[j（xu/2）2ψ]dx（26）

其中u为归一化频率；Ψ为离焦系数。

模糊函数定义为

A（u，v）=∫p（x+u/2） p*（xu/2）exp（j2πvx）dx（27）

由（26）和（27）可以得出

H（u，ψ）= A（u，uψ/π）（28）

由（28）可以看出模糊函数可以表达所有离焦位置的OTF。

第四步，利用模糊函数和稳相法推导三次位相板，得出三次位相板的波前编码系统MTF和离焦量无关的关系式。

为简化计算，选用矩形掩膜板，并只考虑一维x方向，同时只考虑系统的离焦像差，可以得到广义光瞳函数的模糊函数表达式为

A（u，v）=1/2∫（1|u|/2）（1|u|/2） exp[jθ（x+u/2）]×exp[jθ（xu/2）] exp（j2πvx）dx，|u|2（29）

对于位相板的形式是非线性的高次单项式

θ（x）=axy， y≠{0，1}，a≠0（210）

由公式（29） 和（210）可以得到

A（u，v）=1/2∫（1|u|/2）（1|u|/2） exp[ja（x+u/2）y] exp[ja（xu/2）y] exp（j2πvx）dx

=1/2∫（1|u|/2）（1|u|/2） exp[j（x）] exp（j2πvx）dx ，|u|2（211）

其中

（x）=a[（x+u/2）y （xu/2）y]（212）

根据稳相法，如果公式（211）积分中的相位项（x）变换迅速，对积分的贡献来自于函数（x）+ 2πvx的稳定相点，即鞍点位置，此时可以用稳定相位法近似。通过对公式（212）求导，可以求得稳相点xi。

2πv+γa[（xi+u/2）γ1 （xiu/2）γ1]=0（213）

由公式（213）可以看出当γ=3的时候，xi和v成线性关系，此时位相板的次数为3次，此时它的稳定相点为

xi =πv/3au，u≠0（214）

通过以上各公式推导得到模糊函数的近似值：

A（u，v）≈√π/12|au|·exp（jau3/4）exp（jψ2v2/3au），u≠0（215）

根据模糊函数和OTF关系，根据公式（28）可以得到对应的OTF为：

H（u，ψ） ≈√π/12|au|·exp（jau3/4）exp（jψ2u/3au），u≠0（216）

由上式可以看到，利用模糊函数和稳相法近似得到MTF和离焦量系数ψ无关。在实际应用过程中，通过调节a的大小控制对OTF的影响。当a增大的时候，点扩散函数和MTF随着离焦变化减小。

最后，除了利用模糊函数和稳定相位法以外，还可以利用的数学工具还有维格纳分布函数、科钮螺线、菲涅尔积分等，可以从空间域或者频率域导出其他形式的位相板。位相板不同，作用也不相同。其中有三次位相掩膜板，指数位相掩膜板，对数位相掩膜板，余弦位相掩膜板等，主要用于景深拓展，或者用于降低光学系统设计的复杂程度。

3 三次位相板的开发特点

相位板设计方法主要基于以下两点，一是通过对波前调制，使SPF或者MTF在一定范围内基本不变，实现焦深拓展的目的；而使编码所称的中间像的MTF满足一定阈值要求，方便后期图像处理。

在三次位相板开发过程中，需要和光学系统一起进行设计，同时要对系统像差进行标定并分析，随着位相板参数增大，相同离焦量下点扩散函数的峰值偏离中心位置的距离增大，需要采用同一滤波函数进行图像复原，并通过调整位相板参数值调整点扩散函数（PSF）对中心坐标位置的偏移量，以改善不利影响。

主流软件设计优化算法通常为最小二乘法，其结果是使各像差减小，保持较高的MTF，但是随着离焦量变大，导致成像质量迅速下降，不同焦距的成像没有相似性，因此，无法通过传统光学设计优化方法对相位板参数进行优化，需要通过二次开发设计以及和其他软件共同完成。

4 波前编码系统解码

波前编码系统编码后，PSF和MTF对离焦不敏感，随着位相板参数变大，MTF值变低，PSF的发散程度也变大，图像变模糊，因此需要对其进行解码，对图像进行恢复，获得最终清晰像。通过设计可以得到设计的传递函数MTF1，同时如果系统设计目标最终是衍射受限的，也可以知道最终的传递函数MTFlast，

MTFlast=MTF1 *MTF2（31）

图像处理部分点扩散函数的求解一般通过公式（31）求出图像处理部分的MTF2，对中间图像进行傅立叶变换得到中间图像的频谱图，该频谱图和MTF2相乘后得到最终图像的频谱，然后进行傅立叶反变换计算得到清晰图像。

5 结语

红外光学系统设计中，受使用条件的限制，由于环境温度变化对系统成像效果影响较大，无热化是较为重要的设计环节，通过光学波前编码技术的使用，可以提高系统焦深，增大光学系统的应用范围，减少了系统的复杂程度。通过对波前编码技术的浅析，可以看到，该技术主要依托于传统的光学成像理论，以及图像处理技术，对三次相位板的参数设计以及优化是其主要的应用难点，通过将光学设计软件以及图像处理软件的结合，应用算法对系统求解，可以得到较为理想的相位板，在不同离焦情况下具有较为平滑的MTF曲线。本文初步探讨了波前编码技术在传统成像光学领域的应用，为红外系统的设计提供了新的思路。

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基金项目：国家部委基金资助项目

作者简介：卢鑫（1984），男，吉林人，毕业于长春理工大学，硕士，中级工程师，现主要从事光学设计及光学鏡头研制工作，研究方向：光学设计及镜头研制。