胡楠

摘 要：本文通过介绍定积分的发展历程阐述了定积分的基础——极限思想的发展，使我们了解到一个伟大定理的诞生需要多少细微理论的推动。最后，概述了定积分的定义，并从面积和微元的角度介绍了定积分的几个应用。

關键词：定积分；极限；几何；物理

1 历史背景

赫尔曼·汉克尔曾说，在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，一个人所创立的要被另一个人取代，只有数学，每一个人都能在旧体系上增加一点色彩。微积分学作为数学的一个重要的分支，其发展史正印证了这句话。

现代数学分析理论体系中，定积分的规范定义要基于极限论，这和历史并不一致。在人类对微积分的认识初期，积分问题和极限问题是平行发展的。

1.1 定积分问题的提出

积分思想起源于古希腊，古希腊科学家安提风呈现“穷竭”的方法，然后在公元前三世纪，阿基米德发展了该方法，他在著作中提到了面积和体积的测量：圆拱，球和球帽、螺线盘旋3类面积问题和共轴的旋转双曲面与圆柱交集体积的问题。这是积分思想最初的样子。

1.2 建立极限与积分的联系

（1）1615年开普勒在《酒桶的立体几何》中提出了利用求无数个小圆柱体积之和求旋转体体积的方法，他是是第一个在求积问题中用通俗的语言提出无穷大，无穷小概念的科学家，可以认为是历史首次让“积分论”与“极限论”开始出现交集。

（2）首个用极限思想真正解决导数与积分问题的科学家波尔查诺，但他仍然没有清楚地将极限的本质呈现出来，仍然没有将极限的基本概念解释清楚。……