朱志键，王 杰

（上海交通大学 电气工程系，上海 200240）

0 引言

传统的静态经济调度ED（Economic Dispatch）不计各时间断面的相互影响，可用等耗量微增率求解，其求解过程快速有效、简单易行。ED曾在电力工业的调度中具有举足轻重的地位。随着社会经济的不断发展以及电力系统的急剧增大，只考虑发电机组出力约束的ED已不能满足电力系统安全稳定的要求。在ED基础上计及各时间断面相互影响的动态经济调度 DED（Dynamic Economic Dispatch）由此产生。DED考虑了机组出力爬坡速率［1-2］，其调度策略更符合实际但难度也更大。近年来随着环境污染和大气污染的进一步加重，世界各国都制定了与节能减排相关的法律法规。传统上，以煤和石油为主的一次能源在转化为电能的过程中会释放出大量的污染气体和温室气体。长远来看，寻求清洁能源是解决环境问题和全球能源危机的唯一途径，但现阶段化石能源在全球能源结构中仍有较大比重，短期内很难实现，因此兼顾常规火电厂污染气体排放的环境经济调度EED（Economic Emission Dispatch）应运而生。

电力系统动态环境经济调度［3］（DEED）包括 DED和EED。DED计及常规火电机组的爬坡速率，而既考虑经济又考虑环境的EED以总调度时段内污染气体排放总量最少和总调度时段内常规火电机组发电成本最少为目标，因此DEED是一具有非线性、强约束及多峰值的多目标优化问题。一般地，DEED的2个目标函数相互竞争。所谓竞争是指一个目标函数的减小必然导致另一个目标函数的增大。目前，国内外的学者对DEED的研究主要集中在多目标函数的求解算法上。文献［4-6］基于简化求解的思路，分别采用权重法、模糊满意度法和价格惩罚因子将DEED的多目标求解转化为单目标函数的求解。虽然每次求解都可求得结果，但每次运算只可求得一个解，每次求解结果均不同，且无法得到全局最优解。此外，所求结果非常依赖于人为设定参数，且人为设定参数的细小变化会对求解结果产生很大的影响。鉴于简化思路的缺陷，很多学者不再避实就虚，而直接用人工智能算法求解多目标优化问题。现有文献大致可分为2类，分别是基于粒子群优化PSO（Particle Swarm Optimization）的求解算法和基于进化算法EA（Evolutionary Algorithms）的求解算法。文献［7-10］分别将动态网格归档技术、动态邻居策略、快速非支配排序操作及粒子群分割策略应用于PSO算法中，改进PSO算法均可获得优于常规PSO算法的动态优化结果。文献［11］提出一种模糊集群PSO算法，采用外部集合存储非占优粒子，并用小生境技术来保证粒子群的多样性和自适应变异操作来避免粒子群陷于局部最优。基于EA的求解算法有很多。文献［3，13］和［14］分别采用改进的差分进化算法（MDEA）和强度帕累托进化算法（SPEA）求解多目标DEED模型。Deb等提出NSGA-Ⅱ（Nondominated Sorting Genetic Algorithm-Ⅱ）［15-16］后，NSGA-Ⅱ获得了大量应用［17-20］。文献［18-19］首次把 NSGA-Ⅱ引入到电力系统DEED中。较之普通优化算法，NSGA-Ⅱ既能够提高计算速度、得到更优结果，又可以获得Pareto最优解集，利于决策者做出决策。文献［12］把NSGA-Ⅱ的Pareto占优策略和拥挤距离CD（Crowding Distance）排序操作首次引入到PSO算法中，提高了算法的全局搜索能力，获得较NSGA-Ⅱ更优的Pareto解集。文献［20-21］在文献［18］的基础上分别采用引入自适应拥挤距离的MNSGA-Ⅱ（Modified Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-Ⅱ）及引入动态拥挤距离和可控精英主义的MNSGA-Ⅱ来求解DEED问题。

虽然上述算法取得了一定的研究成果，但总体存在以下问题：目标函数和约束条件不完备，目标函数中不计阀点效应引起的成本，约束条件中等式约束不计网损，有些文献甚至仅计算单时段EED，与实际情况相差甚远；NSGA-Ⅱ可以完全保证种群的精英主义，但不可避免地会牺牲种群多样性，即易陷于局部最优；Pareto最优解集中个体密集，分布不均匀。本文以经济成本和环境成本最小为目标，建立了电力系统多目标DEED的一般模型。其中，优化目标中计及了常规火电机组阀点效应引起的能耗成本，等式约束条件中计及了网损。为了在保证精英主义的前提下保证种群的多样性，针对所建模型非线性、不可微和多峰值的特点，本文采用一种具有可控精英主义的选择操作的MNSGA-Ⅱ进行求解。针对模型复杂约束的启发式操作中所遇到的进化受阻问题作了深入分析，并采用基于前向搜索的改进启发式操作成功解决此难题。利用新型成员函数来表征Pareto最优解集中个体的优劣性，选择出最佳折中解。仿真结果表明，该算法具有良好的全局搜索能力，Pareto最优解集分布也更加均匀，可为决策者提供更多更优选择。

1 电力系统DEED建模

发电成本最小和环境成本最小作为DEED的2个目标函数是相互竞争的。所谓竞争是指一个目标函数的减小必然导致另一个目标函数的增大。具有等式和不等式约束的双目标函数的数学模型如下。

其中，g（x）和 h（x）分别为等式约束和不等式约束。

1.1 目标函数

a.机组发电成本函数。

机组发电成本最小是指在满足负载和运行约束的前提下，合理地分配各发电机组的出力以使整个调度期间内发电总成本最小。汽轮机的进气阀突然开启时出现的拔丝现象会在机组耗量曲线上叠加一个脉动效应，即阀点效应。因此，计及阀点效应的DED目标函数表达式为：

其中，Fi（Pit）为发电机组 i在 t时段的发电成本；Ei（Pit）为发电机组i在t时段由阀点效应引起的能耗成本；H为总的常规火电机组台数；T为调度周期内总的时段数；ai、bi和 ci为燃料费用系数；Pit为发电机组 i在t时段的有功出力；di、ei为机组i的阀点效应系数；Pmini为机组i的最小出力。

b.污染气体排放量函数。

燃烧化石燃料的机组排放的污染气体主要有SOx、NOx和COx。本文不单独对某一种气体设置排污特性，而选择所有污染气体的综合排污特性作为所有污染气体的等效。总调度时段内污染气体排放总量最少是在满足负载和运行约束的前提下，合理地分配各发电机组的出力以使整个调度期间内污染气体排放总量最小。因此，综合排污特性［3，5，12］可表示为：

其中，αi、βi、γi、ηi和 δi为机组 i的排放系数。

1.2 约束条件

a.系统功率平衡约束。

其中，PDt和PLt分别为t时段的负载预测值和网损。系统网损的精确值一般通过求解系统潮流方程后求得，但一般采用式（7）所示的简化B系数法来计算。

其中，Bij为网损系数矩阵B的第i行第j列分量。

b.发电机组出力约束。

c.发电机组爬坡速率约束。

其中，Pi（t-1）为 t-1 时段发电机组 i的有功出力；DRi、URi分别为发电机组i的出力降速、出力增速。

2 模型求解

NSGA-Ⅱ是目前最优秀的多目标优化算法之一。该算法基于非支配快速排序算法FNSA（Fast Nondominated Sorting Approach）和拥挤距离进行选择操作，克服了NSGA的高计算复杂度、缺少精英主义及需要人为定义共享函数参数的缺点［16］，在一定程度上保证了种群的多样性和精英主义，提高了计算效率。

文献［8，17-18］中的 NSGA-Ⅱ先用 FNSA 对联合种群Ra（大小为 2N，其中父代种群 Pa，大小为 N；子代种群 Qa，大小为 N）进行排序，获得排序｛F1，F2，F3，…｝，然后以式（10）计算 Ra中个体的拥挤距离，最后在Ra中根据FNSA和拥挤距离选择大小为N的下一代种群Pa+1。由FNSA可知排序靠前的集合占优后面的集合，因此F1是联合种群Ra中的最优解集，优先选择F1中的个体便可把Ra中最好的个体直接复制到下一代。借此，精英主义和收敛性得到了保证。具体选择操作过程是：如果非占优集F1中个体数目大于N，选择F1中拥挤距离值较大的前N个个体作为下一代种群Pa+1；如果F1中个体数目小于N，把F1中的所有个体直接复制到下一代种群Pa+1中，继续向下一个排序搜索，直到Pa+1中个体数目为N。

其中，k为目标函数个数；dCDi为个体i的拥挤距离；和分别为经过排序后的个体i+1和i-1所对应的第n个目标函数的值。

2.1 MNSGA-Ⅱ

以上操作是NSGA-Ⅱ的核心过程。尽管基于FNSA的选择操作保证了种群的精英主义，增强了种群收敛到Pareto最优解集的可能性，却无法避免会存在以下情况：基于FNSA的选择操作会导致Pa+1中的个体过于集中，特别是当F1中的个体数目小于N时F1中的精英个体将全部复制到下一代，即在完全保证精英主义的情况下无法保证子代种群的多样性。种群的多样性对于种群避免早熟非常重要，它能够避免种群陷于局部最优解。在种群的进化中最重要的是保持种群的多样性能够收敛到一个最优的Pareto集合。为了在保证精英主义的前提下保证种群的多样性，本文采用一种可控精英主义的选择操作把非占优最优集F1和后续非占优集｛F2，F3，…｝分开处理。针对非占优最优集F1的最优性，用Nm来表示允许F1复制到Pa+1中的个数，其中m为F1中允许复制到Pa+1中的个数与Pa+1种群大小N的比值。因此非占优最优集F1最终遗传到Pa+1的个体数RT1为：

其中，num（F1）为非占优最优集F1中的个体数目。后续非占优集对Pa+1中剩余的N-RT1个空位以等比数列进行填补，操作过程如式（12）所示。

其中，Ni为允许非占优集Fi复制到Pa+1中的个数；NOR为Ra中排序的个数；nr=NOR-1；gr为等比数列的公比；RTi为Fi最终复制到Pa+1的个体个数；OFi为Fi的溢出，表示Fi中个体数目的不足由Fi+1来弥补，直至最后排序为NOR的非占优集。理论上随着序数i的增大，在Fi中所取个体数会越来越少，而借此可以提高种群的多样性。通常既可通过最后排序的溢出OFNOR又可直接计算（下文中均用 sum（RTi）表示）来判断Pa+1中个体的数量是否为N。

当OFNOR＞0时，表示Pa+1中个体数量为N-OFNOR，意味着从除F1之外的后续非占优集合中所取个体数目太少。文献［19］直接从已经获得的Pa+1中随机选择OFNOR个个体复制加入Pa+1以保证Pa+1中个体数目为N，特别地，当OFNOR较大时，种群相同个体较多，易陷入局部最优。因此为防止子代种群Pa+1中出现个体数目不足N的情况，在初期选择参数时，应使m和gr都较大以在保证精英主义的前提下保证种群的多样性。为此，本文设计了一种逆序地增加Pa+1中个体数目的方法如式（13）所示，即先从最大排序非占优集增加允许复制的个数，然后判断更新后的 sum（RTi）与 N 的大小关系，若 sum（RTi）＜N，那么继续增加前一排序集合FNOR-1的允许复制个数，直至排序为2的集合（不对F1进行此操作）。若从NOR排序到第2排序调整一轮后Pa+1中个体数仍不足N，则再次实施以上操作直至种群数目大于等于N。以上操作的关键步骤是要不断判断sum（RTi）与N的大小关系。

其中，i=NOR，NOR-1，…，2；lgain为允许增大的程度。当OFNOR=0时，鉴于RTi的取值为不小于括号内数值的整数，即意味着Pa+1中个体数量大于等于N。此时需要在Pa+1中删除sum（RTi）-N个个体，具体是从Pa+1中所包含的最大排序非占优集FNOR中具有最小拥挤距离值的个体开始删除。若Pa+1不再含有FNOR的任何个体且sum（RTi）仍大于N，则继续以相同规则删除Pa+1中所包含的FNOR-1集合中的个体，直到Pa+1中个体数为N。

2.2 算法流程

MNSGA-Ⅱ的算法流程框图如图1所示。

详细算法流程如下。

a.初始化。生成一个种群大小为N且满足约束条件的随机种群Pa，a=0，其中a是代数。

b.Pa的FNSA和拥挤距离操作。用FNSA对初始种群进行非支配排序。排序的结果是形成一系列非占优集合，其中非占优最优集用F1表示，1为其排序号，紧接着为F2，依此类推；分别计算每个非占优集中所包含个体的拥挤距离，然后对每个集合中的个体以拥挤距离降序分别排序。

c.竞选 TS（Tournament-Selection）。在种群 Pa中随机选择2个个体，通过比较排序号和拥挤距离选择较优个体放入交配池［16］。

d.交叉（Crossover）和变异（Mutation）。交叉操作采用分散交叉SC（Scattered-Crossover），是指随机产生一与父代相同大小的二进制向量，向量中元素为1时从第一个父代选择对应的元素，元素为0时从第二个父代中选择相对应的元素；交叉概率为pc。变异操作采用标准变异UM（Uniform-Mutation），变异概率为pm。通过交叉和变异操作产生一个大小为N的子代种群Qa。

e.联合父代种群和子代种群。产生联合种群Ra=Pa∪Qa，其种群大小为 2N。

f.可控精英主义的选择操作。获得非占优最优集F1和后续非占优集｛F2，F3，…｝。以可控精英主义对排序后的非占优集合进行选择操作，分别从Fi中选择RTi个个体，然后判断子代个体总数是否为N。不足的部分采用一种逆序地增加个体数目的方法；多余的个体从Pa+1中所包含的非占优集FNOR中具有最小拥挤距离值的个体开始删除。若Pa+1不再含有FNOR的任何个体，则继续从Pa+1中所包含的FNOR-1集合按相同规则删除，直到Pa+1中个体数为N。

g.终止条件。一般地，可以采用固定大小的种群代数或者解集质量不再明显提高作为算法的终止条件。本文采用固定大小的种群代数Np作为终止条件。终止条件满足时，进入下一步，否则算法把步骤f所得个体作为父代返回步骤c循环操作。

h.终止。获得Pareto最优解集及相关参数与图形。

图1 MNSGA-Ⅱ的计算流程图Fig.1 Flowchart of MNSGA-Ⅱ

2.3 最佳折中解

基于MNSGA-Ⅱ所获得的Pareto最优解集为决策制定者提供了一系列的选择。从所有选择中选出一个作为最佳折中解对决策制定者大有裨益。一般地，决策制定者具有个人偏好，为了避免决策者个人判断的不严密性，文献［11，14］采用中立的成员函数来表示最优解集中个体的优劣性。本文采用如式（14）所示的新型无偏见的成员函数来表征Pareto最优解集中每个个体的优劣。

其中，和分别为Pareto最优解集所对应的第n个目标函数的最小和最大值；为Pareto最优解集中第i个解所对应的第n个目标函数的值；k为目标函数的个数；len为Pareto最优解集中解的个数；μi为Pareto中的第i个解的优劣，其值越小表明所代表的解越优，即为最佳折中解。

3 复杂约束条件的启发式操作

DEED是一个非线性、强约束及多峰值的多目标动态优化问题，其强约束性和非线性特性使得DEED的求解变得相当困难。一般的通用算法效率低下且结果并不优良，因此高效快速求解非线性动态优化问题最核心的关键点是寻求相关方法处理约束条件。在本文的约束条件中，不等式约束式（8）、（9）处理起来比较简便，只需要令相关违反约束的变量变为边界值即可。计及网损的等式约束处理起来相对比较困难。本文采用启发式的迭代方法逐时段地对不可行解进行修正。具体过程如下。

（1）对时段 t（t=1，2，…，T），计算等式约束违反值。

设置违反值的阈值 ε，如果 abs（δt）＞ε，转到步骤（2），否则转到步骤（4）。

（2）按照每台机组的上升/下降空间均匀分配约束违反值。

其中，为 Pv，t调整后的输出，Pv，t和 Pt都为向量，分别表示t时段机组调整后的出力和机组t时段出力后所能增大/减小的最大/最小出力。

（3）判断是否满足不等式约束条件，若不满足，则按照不等式约束条件处理；否则返回步骤（1）。

（4）终止复杂约束的启发式操作。

若直接以步骤（3）来处理不等式约束式（9），则在实际运行中会存在种群进化到某一代时停滞不前不再进化，即进化受阻。原因在于Pv，t和上一个时段的Pv，t-1之间存在爬坡速率限制，即需要考虑时间断面的相互影响，而在迭代的过程中，会存在当Pv，t中所有个体全部增大/减小到Pv，t-1的最大/最小极限出力 Pt-1时，δt依旧大于 /小于 0 的情况，即 Pv，t-1中的某些机组出力已经接近极限值Pt-1，以致t-1时段的正负旋转备用不能满足t时段的调度。出现这种情况的根本原因在于：NSGA-Ⅱ的很多过程均是随机操作的；复杂约束的启发式处理先确定靠前时段的机组出力。为此，本文提出一种前向搜索操作（forward-search operator），通过此操作可以增加t-1时段的正负旋转备用，以顺利渡越t时段的调度。具体过程如下，该过程在步骤（2）与步骤（3）之间执行。

a.记录时段号t，通过式（18）可判断是否出现进化受阻，若式（18）成立转到步骤b；否则转到步骤（3）。

b.计算变量 rri，变量 rri用以描述 Pv，t-1中每台机组出力的总上升/下降空间相对于机组爬坡速率的比值。

搜索 Pv，t-1中 rri＜k1（k1一般取为 0.4～0.6）的机组，分别进行如下操作。

搜索 Pv，t-1中 rri＞k2（k2一般取为 0.7～0.9）的机组，对这些机组按照上升/下降空间均匀分配所有rri＜k1的机组在进行式（20）操作时所减小/增大的总量。借此以保证在 sum（Pv，t-1）不变的情况下，增大 t-1时段的正负旋转备用。此时判断式（18）是否成立，若成立，则继续返回步骤b，直至不成立；否则转到步骤c。

c.使 t=t-1，对按步骤（3）操作。

4 算例分析

4.1 系统描述及参数设置

本文采用10机电力系统［18］算例验证本文算法的有效性，并与NSGA-Ⅱ的结果进行比较。模型综合考虑了常规火电机组的阀点效应和系统的网络损耗。机组参数和负荷数据见文献［18］，调度时长为24 h，即24个时段。MNSGA-Ⅱ的参数设置如下：种群大小为100，交叉概率pc为0.8，变异概率pm为0.01，m取值为0.7，gr取值为0.75，最大迭代次数为20000，ε 为 10-5，k1为 0.6，k2为 0.8，lgain为 0.1。为了验证所提MNSGA-Ⅱ的更优全局搜索能力，将本文所得结果与文献［18］和［21］进行比较。仿真试验均在AMD速龙2双核245处理器（2.90 GHz）、3.25 G内存32位Win7操作系统上采用MATLAB编程实现。

4.2 结果分析

表1中的数据是对f1和f2分别优化的结果。为了与本文所提出的MNSGA-Ⅱ对比，计算权重ω=0.5时 ωf1+（1-ω）f2的优化结果［18］。其中，RGA 表示文献［18］所采用的处理算法，MRGA表示采用基于前向搜索的改进启发式操作的RGA。从表中数据可知，采用本文所提的MRGA扩展了算法的搜索空间，并且能搜索到更优结果。

图2是 NSGA-Ⅱ和 MNSGA-Ⅱ所求得的 Pareto最优解集的对比图。从图中可以看出，与NSGA-Ⅱ所获得的Pareto最优解集相比，本文所提的MNSGA-Ⅱ所求得的Pareto最优解集在目标空间中的范围更广且分布更均匀，可为决策者提供更多更优选择。文献［18］NSGA-Ⅱ所获结果分布密集且仅为局部最优的原因正在于其仅仅完全保证了种群的精英主义，而没有考虑种群的多样性对于避免种群陷于局部最优的重大意义。通过可控精英主义改进后，能够在保证种群精英主义的前提下保证种群的多样性，进而避免种群陷于局部最优。由图2知，文献［21］采用基于可控精英主义的MNSGA-Ⅱ所获得的Pareto最优解集占优文献［18］所获得的Pareto最优解集。采用本文所提的基于改进可控精英主义的MNSGA-Ⅱ所获得的Pareto最优解集占优文献［18］和［21］所获得的Pareto最优解集。基于前向搜索的复杂约束的启发式处理，也能不断调整个体参数，跳出不可行解以更好地满足复杂约束，在一定程度上也扩大了种群的搜索范围，增加了种群的多样性。可见，理论分析和实际结果相符。

图2 Pareto最优解集比较Fig.2 Comparison of Pareto optimal set

表2中的个体代表通过新型成员函数所获得的最佳折中解。由表2数据可知，所有非支配个体在所有时段均满足不等式约束和计及网损的功率平衡约束，并没有牺牲解集的精确性来换取算法的效率。除此以外，在计及网损情况下，机组总出力大于电力负荷需求，其差额为网络损耗；而网损在某些时段甚至会大于机组中的最小出力。由此可见，不计网损的调度将会带来很大误差，而随着电力系统的不断扩大，网损对调度的影响势必会越来越大。尽管网损的计及会使功率平衡表达式从线性等式约束变为非线性等式约束，会给DEED的求解带来很多困难，但不计网损的大电网的调度虽然简便，却会引起功率的不平衡，进而引起频率的变化，甚至会引起电力事故。因此计及网损的DED对于整个电力系统的安全稳定非常重要，而本文所提出的基于前向搜索的复杂约束的启发式处理能够很好地解决这一难题。根据表2中的总运行费用和总排污量可知，最佳折中解并不占优NSGA-Ⅱ的解。造成此种情况的原因在于MNSGA-Ⅱ的Pareto最优解集比通常的NSGA-Ⅱ占有更广阔的范围。即最佳折中解可能会取到图2所示的非支配区域。因此，除开图2中的非支配区域总可以取得支配 NSGA-Ⅱ和 MNSGA-Ⅱ［21］的解。表3中的个体是本文所用改进算法所获得Pareto最优解的第62个解。由表1和表3可知，采用权重法每次只能获得一个可行解，而采用本文所述的MNSGA-Ⅱ能够获得Pareto最优解，且总存在优于权重法优化结果的个体。因此，本文所采用的MNSGA-Ⅱ不仅可以拓展搜索区域，还可以获得更优解。

为了研究各机组耗能特性与排放量的关系，图3和图4分别表示表3中机组1—5和机组6—10的能耗特性与排放量的关系。由图3和图4中各曲线可知，能耗较低时排放量都较小，而随着能耗的增大，排放量都会随着机组能耗的增大而增大，不同的是排放量随着能耗的增大而增大的速率不同。

表2 最佳折中解Table 2 Optimal compromise solutions

5 结论

本文以经济成本最小和环境成本最小为目标，建立了电力系统多目标DEED的一般模型。其中，优化目标中计及了常规火电机组阀点效应引起的能耗成本，等式约束条件中计及了网损，2个目标函数相互竞争。尽管所建模型比较完备，但其求解极其困难。针对所建模型非线性、不可微和多峰值的特点，本文采用一种具有可控精英主义的选择操作的MNSGA-Ⅱ进行求解。针对模型复杂约束的启发式操作中所遇到的进化受阻问题做了深入分析，并首次采用基于前向搜索的改进启发式操作成功解决此难题。利用新的成员函数来表征Pareto最优解集中个体的优劣性，选择出最佳折中解。通过比较，算例结果验证了MNSGA-Ⅱ具有更优的全局搜索能力，同时也说明了计及网损的大电网的调度对于电力系统安全稳定的重要意义。随着新能源在电力系统中的比重越来越大以及能源互联网越来越深入的研究，计及可再生能源入网的DEED必然成为新时期新阶段需要重点研究的工作。

表3 Pareto最优解集的第62个解Table 3 62nd solution of Pareto optimal set

图3 各机组能耗与排放量的关系Fig.3 Relationship between energy consumption and emission for Unit 1-5

图4 各机组能耗与排放量的关系Fig.4 Relationship between energy consumption and emission for Unit 6-10

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