王 芮，王 杰，弥 潇

（上海交通大学 电子信息与电气工程学院，上海 200240）

0 引言

电力系统本身是一个非线性的动态网络，存在着诸多的随机扰动现象，如负荷的随机波动、原动机扭矩的随机振动、互联电网联络线上功率的随机变化等。此外，随着当代电网技术的不断发展，电动汽车［1］不断推广，大量风力、太阳能等可再生能源发电并入电网，这些都给原有的电力系统带来更多的随机干扰［2-7］。随着随机扰动的不断增多，传统的确定型稳定性分析方法急需得到改善，因此如何在随机扰动下进行非线性电力系统的稳定性分析显得尤为重要。相较于传统的确定型方法，本文在多机系统原有微分方程中加入了随机外部激励，采用合理的近似假设并将理论与实际相结合，全面地分析了多机系统在受到随机小扰动后的稳定情况，拓宽了随机微分方程在多机系统功角及角速度稳定分析中的应用。

电力系统中的随机扰动一般分为三大类：初值的随机性、系统参数的随机性和外部激励的随机性，前两者在动态分析的过程中都是确定的常数，而第三类则是时变的。在现有的研究中，前2类随机扰动大都可通过概率的方法得到解决；而关于外部激励的随机性分析，目前的研究资料还较少。文献［8］基于单机无穷大系统的简单线性化模型进行了高斯（Gauss）随机小激励下系统的稳定性研究；文献［9］通过引入随机微分方程，建立了系统的非线性模型，对单机无穷大系统进行了Gauss白噪声小扰动下的随机稳定性分析。本文在文献［9］的基础上进一步分析研究多机系统在随机小扰动下的功角、角速度稳定性。

本文采用的模型是在确定型非线性模型的基础上加入随机扰动项后确立的模型，随机激励可以理解为可再生能源发电或电动汽车等负荷产生的随机功率波动，因为在较短的时间内随机激励一般围绕某一均值波动，故这些波动在一般情况下可近似假设为Gauss 过程［8，10-11］。本文利用伊藤（Ito^）随机微分方程的相关性质证明了Gauss随机小扰动下多机系统功角和角速度的均值稳定性和均方稳定性，分别对4机11节点系统和16机68节点系统在Gauss随机小扰动下进行了仿真分析，并将理论证明与仿真结果进行了对比分析，验证了本文理论分析方法的合理性。

1 随机微分方程

1.1 随机过程

随机过程［12］主要有独立增量过程、Gauss过程和维纳（Wiener）过程等。

对随机过程｛X（t），t∈T｝（T=［0，∞）为时间段），若对任意 n 个 ti（i=1，2，…，n；ti∈T）且 t1＜t2＜…＜tn，随机过程的增量 X（t2） -X（t1）、X（t3）-X（t2）、…、X（tn）-X（tn-1）相互独立，则称 X（t）为独立增量过程，若增量的概率分布只依赖于时间差，则称该随机过程X（t）为齐次独立增量过程。

若随机过程｛X（t），t∈T｝满足：①对于∀t＞0，有X（t）～N（0，σ2）；②若随机过程中∀t1、t2＞0 且 t1≠t2，X（t1）与 X（t2）相互独立，则称随机过程 X（t）为 Gauss过程。若σ2=1，则称该随机过程X（t）为标准Gauss过程。

若随机过程｛X（t），t∈T ｝满足：①X（0）=0；②X（t）是一个齐次独立增量过程，且 ΔXn=X（tn+1）-X（tn），ΔXn～N（0，Δtn）；③对∀t＞0，X（t）～N（0，σ2t），则称随机过程X（t）为Wiener过程。若σ2=1，则称该随机过程X（t）为标准Wiener过程。Wiener过程的形式导数具有Gauss过程的性质，因此该形式导数可写为：

其中，W（t）为 Gauss过程；B（t）为 Wiener过程。

1.2 It微分方程

It微分方程［13-14］是一类在控制论、滤波和通信理论中有着重要作用的随机微分方程，其表述为：

其中，X（t）= ［X1（t），X2（t），…，Xn（t）］T为 n 维向量随机状态变量，t∈［t0，T］；X（t0）=X0；W（t）为 m 维向量随机过程，其分量为Gauss过程；X0与W（t）独立。式（1）所示随机微分方程的积分形式为：

可求精确解析解的It随机微分方程主要有2类：一类是线性It随机微分方程；另一类是可用Ito^微分公式化为线性It随机微分方程的非线性Ito^随机微分方程，并且主要是标量It随机微分方程。文献［15］中给出了一些随机微分方程的精确解析解。而实际应用中比较复杂的随机微分方程通常采用数值解法，EM（Euler-Maruyama）数值解法是求解随机微分方程的主要方法之一，它通过对随机过程进行最简单的时间离散化近似来求解，当收敛要求较高时，可采用Taylor近似或Runge-Kutta近似，具体解法参见文献［9］。

2 多机系统随机微分方程模型的建立

对于多机系统而言，在确定性的情况下，若发电机采用经典二阶模型，负荷采用恒阻抗模型，则第i台发电机的转子运动方程［16-17］为：

或写成：

其中，Mi为第i台发电机的惯性常数；δi为功角；ωi为角速度；ω0为初始角速度；t为时间；Di为阻尼系数；Pei为电磁功率；Pmi为机械功率；E′i为第i台发电机的暂态电动势；n为系统中发电机的总台数；δij0为第i台发电机与第j台发电机的功角初值之差；Gii为第i台发电机的自电导；Yij为第i台与第j台发电机间的互导纳；αij为第i台与第j台发电机间阻抗角的余角。

式（4）加上随机激励（随机激励视为Gauss过程）σiW（t）后，第i台发电机的转子运动方程变为：

其中，W（t）为标准 Gauss过程；σi为随机激励的强度，且存在标量ε＞0，满足。

对式（5）进行变形，可得：

因此可得：

对各发电机的功角、角速度进行变换，即令：

其中，δi0为第i台发电机的功角初值。则式（8）变为：

3 多机系统随机小扰动稳定性分析

本文多机系统随机稳定性分析基于以下近似假设：发电机采用经典二阶模型；负荷采用恒阻抗模型；随机激励视为Gauss过程。下面以4机系统为例，具体证明多机系统在Gauss小干扰下的随机稳定性，本文选用的随机稳定性分析方法为均值稳定和均方稳定，其定义如下。

均值稳定：如果随机微分方程的解X（t）满足表示均值），C＞0，则系统是均值稳定的。均方稳定：如果随机微分方程的解X（t）满足，C＞0，则系统是均方稳定的。

选取各发电机的功角和角速度作为状态变量，建立4机系统的代数-微分方程，即将式（13）写成向量形式，得：

其中，矩阵A为系统在平衡点一阶线性化后所得的系统状态矩阵；A1—4为 A 的第1—4 列；A5—8为 A的第5—8 列；i=1，2，3，4。

对于 h（X（t）），有：

因而可得4），一般系统在受到小扰动时，系统在平衡点附近波动，即可近似认为相对变化量很小，而且根据系统参数可知一般都小于1，因而在分析时忽略h（X（t））的影响，这会使得理论分析与实际结果存在一定的偏差，具体的偏差将在算例分析中结合实际系统数据进行具体说明。忽略h（X（t））的影响后，即将式（14）近似为：

根据It随机积分可得，式（15）的解为：

首先证明上述4机系统的均值稳定性。由期望与方差的关系，可知：

因而有：

根据以下 It随机积分的性质［13］，即：

根据向量2范数的定义以及常数的期望是其自身的性质，可得：

因此，E［XT（t）X（t）］可简化为：

由矩阵的性质［9］可以知道，‖eA‖≤Ceλ。其中，A为 n×n 阶矩阵；C 为大于 0 的常数；λ=max｛Re（λ1），Re（λ2），…，Re（λn）｝，λi为矩阵 A 的特征值，Re（λi）为λi的实部。

对于‖eAtX0‖2，有：

其中，N和C1均为大于0的常数。

其中，N2=‖Q‖2。

综上所述，可得：

电力系统若要稳定运行，首要条件是其线性化后所得的系统状态矩阵A的所有特征值的实部均小于 0。若 λ＜0，则可得。

所以，有：

因此，该系统在随机小扰动下是均值稳定的。

下面仍以上述4机系统为例证明其均方稳定性。

由矩阵2范数的定义可知，矩阵A的2范数就是A的转置矩阵与矩阵A相乘所得矩阵的最大特征值模的平方根，即：

其中，ρ［X（t）XT（t）］为矩阵 X（t）XT（t）最大特征值的模。

X（t）为列向量，即 rank［X（t）XT（t）］=1，所以矩阵 X（t）XT（t）的特征值为 n-1 个 0 和 tr［X（t）XT（t）］，由于 tr［X（t）XT（t）］=XT（t）X（t），因而 ρ［（X（t）XT（t）］=tr［X（t）XT（t）］=XT（t）X（t），则：

所以，有：

由上述证明可知C为大于的一个常数，因此该系统在Gauss随机小扰动下也是均方稳定的。在实际应用中，理论所得C应与实际系统稳定界限进行对比，即系统稳定运行要求功角不能超过90°且频率变化不超过±0.2 Hz，若C小于实际稳定要求确定的实数，则系统在Gauss随机小扰动下是严格均值稳定和均方稳定的。

上述的多机系统随机稳定性分析均是以4机系统为例，给出了相应的证明过程，若改成其他n机系统，分析方法与其类似。不过随着发电机台数的增多、系统的扩大，获取全系统代数-微分方程也将变得更困难，这时则需要对系统网络进行进一步简化，再进行稳定性分析。

4 算例分析

4.1 4机11节点系统

仿真分析4机11节点系统在随机小扰动下的响应过程，选取4号发电机的端电压作为参考电压，仿真时间为 10 s，任意选取一组随机激励强度［σ1，σ2，σ3，σ4］=［0.01，0.015，0.02，0.025］（强度 σi为标幺值，基值为第i台发电机的额定容量，由于发电机额定容量不一样，因此即使随机激励强度标幺值相同，其有名值也存在差异），各发电机功角及角速度响应曲线分别如图1、2所示。通过仿真图可以看出，此时功角围绕平衡点波动的幅度不超过3°，角速度围绕平衡点波动的幅度不超过0.4 rad/s，此时的系统在Gauss随机小扰动下是均值稳定和均方稳定的。

图1 各台发电机的功角变化曲线Fig.1 Power-angle curves of different generators

图2 各台发电机的角速度变化曲线Fig.2 Angular-speed curves of different generators

根据上述理论分析，将4机11节点系统的参数代入求解，系统参数为：M1=13 s，M2=13 s，M3=12.5 s，M4=12.5 s，D1=0.2，D2=0.25，D3=0.3，D4=0.35，其余数据参见文献［16］，通过计算（所有计算都采用标幺值）可得该系统状态矩阵A特征值的最大实部为λ=-0.00879，C1=1.6150，取≤0.025，N2=8.6434×10-6，C=1.2824×10-3，从仿真结果中可得 E［XT（t）X（t）］＜1.3713×10-3，由理论结果与仿真结果的对比可看出两者所得界限极为接近，虽然理论证明过程中未计及h（X（t））的影响，但由于证明过程中应用了不等式放大关系，使得最终理论所得界限与仿真结果相差不大，因此若理论所得界限在实际系统的稳定界限内，则该系统在随机小扰动下是均值稳定和均方稳定的。

4.2 16机68节点系统

仿真分析16机68节点系统在随机小扰动下的响应过程，本文选取14号发电机的端电压作为参考电压，仿真时间为5 s，观察各发电机的功角及角速度的响应轨迹，该系统结构图及系统参数参照文献［18］。

任取一组随机激励强度σ1=0.02、σ2=σ3=…=σ10=0.01、σ11=σ12=…=σ15=0.005、σ16=0.003，对此系统进行仿真，各发电机角速度曲线和功角曲线分别如图3、图4所示。通过仿真图可以看出，虽然系统受到随机小扰动，但是由于发电机转子具有惯性，所以各台发电机的功角和角速度曲线呈现围绕平衡点上下波动的特性，功角围绕平衡点波动的幅度不超过0.5°，角速度围绕平衡点波动的幅度不超过0.04 rad/s，此时的系统是均值稳定和均方稳定的。改变随机激励强度，经过多次仿真观察，该系统在随机小扰动下都是均值稳定和均方稳定的，验证了第3节的理论证明。

以1号发电机的功角及角速度曲线为例说明不同随机激励强度对电力系统的影响。设第1组随机激励强度［σi］1为 σ1=0.02、σ2=σ3=…=σ10=0.01、σ11=σ12=…=σ15=0.005、σ16=0.003；第2组随机激励强度［σi］2为 σ1=0.03，其余与第1组相同。1号发电机在2组随机激励强度下的响应曲线分别如图3（a）、4（a）和图5 所示。由仿真结果可知，当仅增加某一随机激励的强度而其他随机激励强度保持不变时，发电机功角曲线和角速度曲线的波动幅度随之增大，但整个系统仍保持均值稳定和均方稳定。

减少随机激励的数目，即设第3组随机激励强度［σi］3为 σ1=0.02，其余随机激励强度均为 0，仿真曲线如图6所示。由仿真结果可知，虽然外部随机扰动的数量减少了，但功角围绕平衡点波动的幅度却稍有增大，这是由于扰动的随机性，这种随机性导致小扰动间会存在抵消作用，因此随着扰动数量的增加，其对系统总的影响却不一定会增强。

图3 各台发电机的角速度变化曲线Fig.3 Angular-speed curves of different generators

图4 各台发电机的功角变化曲线Fig.4 Power-angle curves of different generators

图5 1号发电机在第2组随机激励强度下的角速度、功角变化曲线Fig.5 Angular-speed and power-angle curves of Generator 1 for second random excitation

图6 1号发电机在第3组随机激励强度下的角速度、功角变化曲线Fig.6 Angular-speed and power-angle curves of Generator 1 for third random excitation

5 结论

本文采用加入随机干扰项后的非线性微分方程作为系统模型，在Gauss小扰动下进行了近似假设，利用Ito^随机微分方程的相关理论分析证明了在随机激励强度满足一定的条件下（‖σ‖≤ε），若多机系统状态矩阵的特征值实部均小于0，则多机系统是均值稳定和均方稳定的，即各发电机功角和角速度围绕原平衡点上下波动，波动幅度有限，不会出现发散现象，即不会产生新的稳定问题。利用Simulink分别对4机11节点系统和16机68节点系统进行了仿真分析，仿真结果与理论证明相一致。

本文作为起步性研究，在理论证明中进行了合理近似和不等式放大关系，这些造成了理论与仿真结果之间存在一定的差异，但不影响系统随机小干扰稳定判断。进一步研究的重点是如何采用其他稳定分析方法对系统在随机激励下进行更准确的稳定界限推导以及如何分析系统在随机大扰动下的稳定情况。

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