王学伟，董晓璇 ，王 琳，袁瑞铭 ，田海亭 ，姜振宇 ，王国兴

（1.北京化工大学 信息科学与技术学院，北京 100029；2.国网冀北电力有限公司电力科学研究院，北京 100045）

0 引言

随着智能电网的加速建设，风能、太阳能、潮汐能等新能源的大量接入，电网中动态负荷以及具有非稳态特征的新型电源的输出普遍存在［1-4］。因此，建立能够反映随机动态特征的测试信号模型，以及研究一种随机型动态测试信号电能量的测量方法，建立检测系统模型，已经成为电能计量领域亟待解决的重要科学问题。

在测试信号的建模方面，近年来学者们均采用确定周期信号建模的方法建立了确定型动态测试信号模型：文献［5］建立了正弦和梯形包络调幅的动态测试信号时域模型；文献［6］建立了调相与调频的动态测试信号时域模型；文献［7-8］建立了通断键控（OOK）调幅动态测试信号的时域和频域模型。电力系统动态负荷的重要特征是其具有随机性，确定型动态测试信号模型不能测试动态负荷的随机特性对电能表动态误差的影响。因此建立伪随机动态测试信号模型，进而研究得到相应的动态误差测试方法十分重要。然而，通过对国内外的文献检索表明，目前尚未见随机型动态测试信号建模的文献报道。

在动态测试信号电能量检测方法方面，国内外学者针对稳态测试信号提出了时域电能量值测量算法［9］、频域基于快速傅里叶变换（FFT）的电能测量算法［10］以及在时频域中基于小波变换的电能量值测量算法［11-12］。但如何建立伪随机动态测试信号的电能量检测模型，是有待解决的科学问题。

在随机信号检测方法方面，压缩感知（CS）理论［13］与压缩检测（CM）方法［14-15］的提出，为检测随机信号提供了新的解决思路。目前CM信号检测方法的研究均是从理论层面解决二元通信信号“有”和“无”的检测问题［16］，提出了针对通信信号的 CM 算法［17-18］。但CM算法的性能与测量矩阵的优越性相关，不能解决随机信号的电能量值的准确测量问题。

本文研究建立了m序列伪随机动态测试信号模型，采用CS这一现代信号处理工具，建立伪随机动态测试信号的电能量CM系统模型，并针对该电力动态测试信号，提出CS电能测量新方法。

1 m序列调制的伪随机动态测试信号模型

1.1 m序列调制的伪随机动态测试信号参数模型

本文采用将稳态信号转换为动态信号的方法，建立m序列调制的伪随机动态测试信号参数模型（以下简称为m序列动态测试信号模型），如图1所示。该方法利用m序列二元波形函数m（t）对稳态工频电流信号is（t）进行调制，建立具有伪随机动态特性的测试电流信号id（t）模型，测试电压信号模型由稳态正弦电压信号us（t）给出，动态测试功率信号模型由 us（t）与 id（t）相乘得到。建模过程如下。

图1 m序列动态测试信号建模方法Fig.1 Modeling of m-sequence dynamic test signal

设稳态电压信号和稳态电流信号分别为：

其中，U、I分别为电压、电流幅值；φ为电压初相位；Ω1=2πf1为角频率，f1为工频频率。

二元波形函数m（t）采用数值m序列m（k）与矩形窗函数的乘积表示：

其中，N=2n-1，n 为 m 序列的级数；g（t-kT）为窗函数，T=1 /f1为二元波形函数m（t）的码元宽度，也为稳态工频电流信号is（t）的周期。

由 m（t）对 is（t）进行幅度调制得到 id（t）为：

其中，为动态电流的幅度变化；。

对于式（3）所示m序列动态测试电流信号，本文采用如图2所示的方案来实现。

图2 m序列动态测试信号实现方案Fig.2 Implementation scheme of m-sequence dynamic test signal

根据m序列的生成原理，m（k）可以由其递推方程式表示如下：

其中，Ci=0 或 1（i=1，2，…，n）为 m 序列系数。将式（4）代入式（3）可得m序列动态测试电流信号的参数模型，见式（5），其模型参数由 Ci、I、Ω1共同决定。

m序列动态测试功率信号参数模型可由稳态电压信号 us（t）与式（5）相乘并化简得出：

综上所述，m序列动态测试信号的参数模型可由稳态电压信号 us（t）、式（5）和式（6）给出，其模型参数由 Ci（i=1，2，…，n）、I、U、Ω1、φ 决定。

图3展示了m序列动态测试信号参数模型给出的m序列动态测试信号的波形图。

图3 m序列动态测试信号波形Fig.3 m-sequence dynamic test signal waveforms

1.2 m序列动态测试信号模型的统计特性

本文建立的m序列伪随机信号模型，给出了一种长周期信号（比如：17级m序列，其长度为N=131071位），若观察测试时间大于一个周期，则是确定性周期信号，并显示出它的非随机特性；若观察测试时间小于一个周期，则是真实的随机二进制信号［20］。

以下将针对本文m序列动态测试电流信号模型，在测试信号的一个周期Tm内分析其统计特性。

m序列m（k）和与其对应的二元波形m（t）是同一事物的 2 种不同描述方法［20］，故 m（k）与 m（t）具有相同的统计特性。以下由 id（t）=m（t）is（t）的函数关系，推导m序列动态测试电流信号id（t）的数学期望 E［id（t）］、方差 Var［id（t）］、自相关函数 Rd（T）：

由式（7）—（9）可知：推导得出 m 序列 m（k）的期望 E［m（k）］、方差 Var［m（k）］、自相关函数 Rm（T），就能确定m序列动态测试电流信号id（t）的统计特性。

根据 m 序列的 0-1分布特性，“0”比“1”少一个：。则由二值分布的数学期望和方差定义与性质，可推导得出m序列的数学期望及方差为：

在m序列的一个周期Tm内，m（k）为平稳的随机过程［20］，因此可计算 m 序列 m（k）的自相关函数为：

当m序列为17级时，取n=17，N=2n-1，则有：

其中，10-6，即误差项 δ1、δ2、δ3可以忽略不计。

将式（13）代入式（7）得到 E［id（t）］为：

将式（14）代入式（8）得到 Var［id（t）］为：

将式（15）代入式（9）得到Rd（T）为：

在动态条件下，由于m序列动态测试电流信号幅度的波动周期大于稳态电流信号的工频周期，因此，本文取稳态电流工频周期的整数倍为时间变量，研究m序列动态测试电流信号的统计特性。即取t=k1T+t0，T=k2T（k1，k2=0，1，…，N-1），t0＜T 为常数，代入式（16）—（18），得：

对于动态测试电流信号id（t），计算其在t=k1T+t0时刻的时间均值〈id（k1T+t0）〉，并考虑 N=2n-1，得：

同理可计算 id（t）在 t=k1T+t0、T=k2T 的时间自相关函数，由伪随机序列的移位相加性［19］（m（k1T）m（k1T+k2T）=-m（k1T+lT）（l=0，1，…，N-1）），简化时间自相关函数，可得：

式（19）—（23）表明：在 t=k1T+t0（k1=0，1，…，N-1；t0＜ T）为常数情况下，id（t）在测试信号周期 Tm内是平稳的随机信号，且具有各态历经性。

由帕斯瓦尔定理可知，m序列动态测试电流信号的自相关函数式（21）与其功率谱是一对傅里叶变换，则m序列动态测试电流信号的功率谱密度为：

其中，δ（Ω）为 Rd（k2T）经傅里叶变换后产生的直流分量，Ω为模拟频率。

由式（24）可知m序列动态测试电流信号只在Ω=0点有离散频率分量，表明m序列动态测试电流信号在频域上具有稀疏性，为CS测量方法提供基础。

2 m序列动态测试信号电能量值的CS测量方法

2.1 m序列动态测试信号电能量的CS检测系统模型

由于式（24）所示m序列动态测试电流信号在频域具有稀疏性，CS理论表明，在任何域具有稀疏性的信号均可以通过CS的方法进行处理。本文采用 CS非重构检测信号处理方法，建立m序列动态测试功率信号的检测系统模型，解决伪随机动态测试功率信号电能量的准确测量问题。

离散化式（6）所示m序列动态测试功率信号pd（t），采样频率为 fs=Ns/T，得到离散 m 序列动态测试功率信号pd（n′），其中Ns为工频信号采样点数。对于长度为 Nm=N×Ns的离散测试信号 pd（n′），用向量形式表示为： pd= ［ pd（1），pd（2），…，pd（Nm）］T。

构建信号pd的CS检测系统模型见图4。m序列动态测试功率信号pd作为CS的原始信号，经过CS测量矩阵Φ投影降维后，实现对pd信号电能量的测量，测量值为E。根据图4建立m序列动态测试功率信号的电能量CS检测系统数学模型为：

其中，E为信号电能量的CS测量值；Φ为1×Nm阶CS测量矩阵。

图4 m序列动态测试信号CS检测系统模型Fig.4 CS measurement system model for m-sequence dynamic test signal

式（25）还给出CS检测系统的输入、输出之间的关系，pd作为CS检测系统的输入，是系统的检测变量，E作为系统的输出，Φ又为系统状态矩阵。下文将构建最优测量矩阵Φ，使m序列动态测试信号的电能量E与理论电能量E0相对误差δ最小，即：

2.2 CS测量矩阵的构建

本文针对式（25）所示CS检测系统，采用稳态优化方法构建CS测量矩阵Φ。

根据上述对信号 pd（t）的采样方法，对式（6）进行离散化，可得动态测试功率信号的离散表达式如下：

其中，ω1= Ω1/fs=2π/Ns为数字频率。为了保证通过优化的方法构造测量矩阵Φ，将信号 pd（n′）中m（k）置 1，此时 pd（n′）可作为系统优化的稳态输入信号，在输入信号稳态的情况下对系统进行优化，获得系统稳定状态量h1×Ns。设系统状态量为h1×Ns=［h（n′）］，pd（Ns×1）= ［pd（n′）］T，根据式（25）可建立系统的输入、输出与CS的对应关系：

式（25）—（27）表明，若能够寻找得到最优系统状态量 h1×Ns，使得系统输出 E=E0=Nsp0cosφ，就可由式（27）优化得出确定型 CS 测量矩阵 Φ1×Ns=［φ（n′）］=［h（Ns-n′+1）］。

根据稳态最优理论，本文采用傅里叶变换在频域实现系统状态变量 h1×Ns=［h（n′）］的线性化：

其中，ω=Ω /fs。

由式（27）—（29）建立检测系统频域输入与输出的关系：

并给出频域性能指标及约束条件：

其中，C1、C2为常数。根据稳态优化方法求得：

其中，C=C1IU /（4C2）为常数。对式（32）中 H（ω）的结果进行傅里叶反变换得：

根据上述 h（n）与φ（n）的关系得：

将式（34）代入 Φ1×Ns=［φ（n′）］，构造得到 CS 检测系统中CS测量矩阵。

3 实验验证与结果分析

针对m序列动态测试信号，为了验证CS检测系统模型的正确性，本文采用255位、511位和1023位m序列调制50 Hz的工频稳态信号，得到m序列动态测试电流信号及功率信号波形如图5所示。对该测试信号进行离散采样，采样频率fs=2500 Hz，获得离散动态测试电流信号。

实验分别采用不同的本原多项式系数产生255位、511位和1023位单周期m序列动态测试信号，按照上述CS测量方法，计算得到m序列动态测试信号电能量E的相对误差δ，结果如表1所示。

图5 m序列动态测试信号仿真波形Fig.5 Simulative m-sequence dynamic test signal waveforms

表1 单周期m序列动态测试信号的相对误差Table 1 Relative error for different single-period m-sequence dynamic test signals

实验采用表1中序号为1的本原多项式系数产生多周期m序列动态测试信号，按照相同的CS测量方法，计算该多周期m序列动态测试信号电能量E的相对误差δ，结果如表2所示。

表2 多周期m序列动态测试信号的相对误差Table 2 Relative error for different multi-period m-sequence dynamic test signals

由表1、表2可以看出，对于长度为255位、511位、1023位的单周期m序列动态测试信号以及多周期m序列动态测试信号，CS电能测量方法的理论相对误差可忽略不计。因此，CS测量方法能够准确测量出m序列动态测试信号的电能量。

4 结论

首先提出了m序列动态测试信号参数模型，该动态测试信号在一个m序列周期内具有随机动态变化特性，在多个m序列周期内具有周期性与循环遍历性，能反映实际动态负荷信号的多种状态；然后根据CM理论建立了CS检测系统模型，采用稳态优化方法，构建了CS测量矩阵，提出了电力伪随机动态测试信号的CS电能测量新方法，解决了电力伪随机动态测试信号的电能量值准确测量的理论问题；针对不同长度的m序列仿真分析得出了新方法的理论相对误差，结果表明本文CS测量新方法的理论相对误差，在动态电能测量时可忽略，优于已有的确定型动态测试信号电能量的测量误差。未来将进一步研究实际采样通道、模数转换、频谱泄漏对误差的影响等关键技术问题，并在实际测量中应用。

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