丁 明 ，钱宇骋 ，张晶晶 ，何 剑 ，易 俊

（1.合肥工业大学 电气与自动化工程学院，安徽 合肥 230009；2.中国电力科学研究院，北京 100192）

0 引言

近年来，国内外电力系统发生多起连锁故障导致的大停电事故，造成了巨大的经济损失和灾难性后果［1-2］。大停电事故的调查报告指出，安全分析技术的缺乏和实时状态觉知能力的不足是导致调度部门不能阻止单一元件故障引起连锁反应的2个主要原因［3］。

迄今为止，研究人员在连锁故障防御控制领域做了很多工作。文献［4］从预防线路连锁跳闸角度提出了一种大电网在线分布式计算的多智能体控制方法，通过优化切机切负荷控制策略来预防连锁故障的发生。文献［5］提出一种基于线路相关集的后备保护控制策略，可以实现后备保护与安全自动装置的协调配合，防止大停电事故的发生。文献［6］借鉴多智能体系统理论，提出了基于离线断面功率传输极限分析的广域协同预控制系统，防止区域内故障因调度控制失误引发连锁故障。

博弈论是以参与人之间有针对性的行为产生的互动过程为研究对象的理论。连锁故障的发展过程中扰动与控制交替进行，相互影响，共同作用于电网，具有互动性和对抗性，这使得博弈论适用于连锁故障防御的研究。文献［7］基于完全信息静态博弈防御模型，研究预防针对性攻击的最优防御方案。文献［8］基于不完全信息静态博弈防御模型，研究预防针对性攻击的最优防御方案。

上述博弈防御模型都是建立在假设故障方具有完全理性的基础上，即认为故障方总是能够有效识别并采取对电网影响最大的扰动，而实际上连锁故障的发展过程包含了大量的不确定性因素，忽略这些因素会导致故障方生成的策略集合遗漏后果相对较小但风险较大的故障，不能涵盖当前运行工况下防御方最需要关注的潜在危险扰动；此外，博弈过程的收益函数只考虑了系统的停电损失，未考虑控制措施产生的代价，因此不能准确评估控制措施的有效性。

在上述背景下，本文提出故障方的有限理性假设和故障方行动的关联性假设，建立一种考虑参与人有限理性的连锁故障多阶段动态博弈防御模型。通过风险分析方法，生成故障方的策略集合，并从风险理论的角度出发，将运行风险作为收益函数。最后，通过算例分析计算验证了模型对连锁故障防御的有效性。

1 多阶段动态博弈与连锁故障博弈描述

多阶段动态博弈是指博弈过程分为多个阶段，且参与人的行动有先后顺序的博弈，其博弈过程常用博弈树的形式来表示。具体而言，博弈树由节点和枝组成，其中节点可分为决策节点和末端节点。决策节点i表示参与人i的行动起点，末端节点是博弈结束的地方，末端节点k唯一对应着一个策略组合sk和一个收益组合uk。决策节点i下的枝j表示参与人i的可选策略sij，所有的枝即构成参与人i的策略集合Si；每一条枝都是从一个决策节点出发，并唯一地指向另一个决策节点或末端节点。由初始决策节点到任一末端节点中一连串的节点和枝构成了一条路径，表示博弈实际进行的一种方式；所有路径即表示博弈实际进行的所有可能情况。具有二阶段的连锁故障博弈防御过程的博弈树见图1。

图1 具有二阶段的博弈树Fig.1 Game tree with two stages

当电网发生连锁故障时，扰动与控制交替进行，如果将电网发生的扰动假设为一个“虚拟人”的行动，系统调度人员会针对其行动采取相应的控制措施，并且双方都力图选择对自己最为有利或最为合理的方案，那么连锁故障的防御过程可表示为故障方和防御方的多阶段动态博弈。多阶段动态博弈包括参与人、策略集合和收益函数，在连锁故障中的多阶段动态博弈防御具体如下。

a.参与人：包括故障方和防御方，将电网扰动定义为故障方，将调度部门定义为防御方。

b.策略集合：故障方的策略集合包括不同类型的扰动，防御方的策略集合包括调度部门采取的控制措施。

c.收益函数：故障方的收益为造成的控制代价风险和停电风险，防御方的收益为付出的控制代价风险和停电风险，其中故障方的收益非负，防御方的收益非正，两者收益之和为零。

为了便于分析连锁故障在多个阶段中的博弈过程，本文用D表示一条路径中故障方或防御方的决策节点的个数，即博弈过程的阶段总数，用d表示故障方和防御方处于第d个阶段。则连锁故障多阶段动态博弈防御的数学模型可表示为：

其中，I=｛1，2｝表示故障方和防御方集合；为参与人i在第d个阶段的策略集合；Ui为参与人i的收益函数。

定义为纳什均衡，如果对所有的，则有：

结合电网中的实际情况，本文做如下假设。

a.故障方的有限理性假设。参与人的理性体现在2个方面：一是参与人决策行为的目标；二是参与人追求目标的能力。完全理性的参与人不仅以个人利益最大化为目标，而且具有准确的判断选择能力，也不会“犯错误”［9］。在连锁故障发展过程中，由于大量不确定因素的影响，电网扰动虽然总会给系统造成负面影响，但每次发生的扰动却不一定是当前运行状况下后果最严重的。即故障方虽然以自身利益最大化为目标，但它并没有完美的选择能力，其选择的策略可能不能满足其追求最大利益的目标，因此故障方只具有有限理性。

b.防御方的完全理性假设：本文假设防御方具有完全理性，即其总能针对故障方的行动制定出最好的策略。

c.博弈过程的信息不对称假设：在连锁故障博弈过程中，故障方不知道防御方的任何博弈信息，因此只能根据对系统造成的影响来选择行动；防御方能够获得故障发生后描述系统运行状态的电气量，从而可根据这些信息制定相应的策略。

d.故障方行动的关联性假设：故障方的后一次行动会受到其前一次行动的影响，2次行动之间具有关联性，并且随着故障方行动次数的增多，这种关联性会不断增加。

2 考虑参与人有限理性的连锁故障多阶段动态博弈防御模型

2.1 有限理性故障方的行动预测

2.1.1 故障方行动的概率预测

（1）故障方初始行动的概率。

当故障方在初始阶段采取行动时，即d=1时，故障方初始行动的概率主要受线路自身故障因素和外界环境因素的影响，取pw表示线路自身故障因素和外界环境因素引起线路停运的概率。

线路自身故障因素主要考虑线路老化失效。根据当前运行工况下线路的运行年限，可在通过历史统计数据得到的线路老化失效故障率曲线中找到对应的线路单位长度老化失效故障率λo。

外界环境因素主要考虑天气变化引起的线路偶然失效，线路的单位长度偶然失效故障率记为λw。为简化起见，将天气变化处理为正常和恶劣这2种天气情况的随机过程，并假设同一条输电线路在同一时刻只会处于一种天气状况下，则在两状态天气模型下，线路的单位长度偶然失效故障率λw可表示为：

其中，ε为线路在恶劣天气下的故障比率；N1为正常天气持续时间；N2为恶劣天气持续时间；为线路单位长度的故障率平均值；z表示线路所处的天气状况，z=0表示正常天气，z=1表示恶劣天气。

综合考虑线路自身故障因素和外界环境因素，线路的单位长度故障率λ可表示为：

在相同的时间内，线路的停运概率与线路的长度和单位长度故障率成正比［10］，将所有线路的长度与单位长度故障率乘积的归一化数值作为线路停运概率，则故障方在初始阶段采取第m个行动的概率为：

其中，λm为线路m的单位长度故障率；Lenm为线路m的长度；L为系统所有线路的集合。

（2）故障方后续行动的概率。

当故障方在后续阶段采取行动时，即d∈［2，D］时，故障方在第d个阶段行动的概率会受到故障方在第d-1个阶段行动的影响，包括潮流转移、保护/断路器误动和其他不明原因的因素的影响。

①当线路m严重过载时，即线路m的潮流超过其极限值，故障方在后续阶段采取第m个行动的概率为过负荷保护不拒动且断路器不拒动的概率，即有：

其中，pinact_b为保护拒动概率；pinact_d为断路器拒动概率。

②当无线路严重过载时，故障方在后续阶段行动的概率主要考虑潮流转移、隐性故障和其他不明因素的影响。

a.定义线路停运概率pzy，当线路潮流F在正常水平时，线路停运概率主要受线路自身随机故障因素的影响，此时pzy=pw；当线路潮流超过极限值Fmax时，线路会因过负荷保护动作而开断，此时pzy=1；当线路潮流在正常水平上限值与极限值之间时，假设pzy随F的增大而线性增大［11］。则潮流转移引起的故障方在后续阶段采取第m个行动的概率为：

其中，Fm为线路m当前的潮流值；为线路m的潮流正常值上限；Fmax，m为线路m的潮流极限值。

b.隐性故障作为保护装置中存在的一种固有缺陷，只有当系统发生故障时这种缺陷才会表现出来，从而导致被保护元件的不恰当断开［12］。在线路开断后全网潮流重新分配的过程中，可能会发生因保护或断路器误动引起的线路停运。则隐性故障引起的故障方在后续阶段采取第m个行动的概率为：

其中，pmis_b为保护误动概率；pmis_d为断路器误动概率，其与断路器物理特性有关，可视为常数。

针对保护误动的情况，本文以距离保护为例，并假设距离保护为全阻抗保护，设Zset为整定阻抗，Zk为测量阻抗。

根据全阻抗保护的动作特性，圆轨迹将阻抗复平面分为圆内和圆外两部分，分别对应动作区和不动作区，而圆轨迹上处于动作的临界状态。假设保护在圆内的误动概率为0，在圆周处的误动概率最大，在圆外的误动概率随着测量阻抗的增大而线性减小，且当测量阻抗增加到3Zset时误动概率减小为0，因此保护误动的概率可表示为：

其中，pZ为保护的最大误动概率。

c.由其他不明原因的因素引起的故障方在后续阶段采取第m个行动的概率记为，可根据经验设定一个适当的值。

综合以上因素，故障方在后续阶段采取第m个行动的概率为：

2.1.2 故障方行动的后果预测

根据信息不对称假设，防御方能够获得故障发生后的事故状态信息，然而大量信息的涌入往往导致调度人员无所适从或判断错误［13］，因此如何筛选出有效信息，并从这些信息中了解故障发生对电网造成的影响程度，是防御方采取行动的重要前提。为此本文分别定义潮流转移严重度指标和系统失负荷严重度指标。

故障方在第d个阶段采取第m个行动的潮流转移严重度为：

其中，Fm，0为线路m故障前承担的有功功率；Fn为线路n在线路m故障后承担的有功功率；Fn，0为线路n在线路m故障前承担的有功功率；Fmax，m为线路m潮流极限值；Fmax，n为线路n的潮流极限值。

故障方在第d个阶段采取第m个行动的系统失负荷严重度为：

其中，PS为系统总负荷量；PLj为线路m故障后母线j的失负荷量；N为系统所有母线的集合。

综合以上因素，故障方在第d个阶段采取第m个行动的后果可表示为：

其中，womg1、womg2为权重因子，表示各指标在后果指标中的重要程度，可采用层次分析法求取。

2.1.3 故障方的策略集合

为了充分体现故障方在不确定性条件下追求最大收益的意识和不完美的选择能力，本文定义了风险系数，其表达式为：

为了减少博弈树的规模，故障方可通过设定阈值选择出风险系数较大的故障方行动形成故障方的策略集合。

2.2 完全理性防御方的防御策略

在缓慢相继开断阶段，连锁故障的发展过程主要以线路过载的形式呈现［14］。据此本文提出针对潮流过载的过负荷控制。

根据直流潮流方程，节点k对线路m的灵敏度ηmk可表示为：

其中，ΔPk为节点k的注入功率变化量；i和j分别为线路m的首节点和末节点；ΔFij为线路m的潮流变化量；Δθi-Δθj为线路m两端节点的相角差变化量；xij为线路m的电抗；eik和ejk为节点电纳矩阵的逆矩阵中的元素。

从式（15）可以看出，灵敏度矩阵η（由系统中所有节点对所有线路的灵敏度构成的矩阵）是只与电网结构参数有关的常数矩阵。采用灵敏度矩阵算法不需要经过潮流计算就能快速地给出控制策略，保证了算法消除过载的快速性；同时根据各功率注入节点灵敏度的大小来选择最佳控制节点对［15］，可以保证功率调整量最小且最有效。

2.3 博弈过程的风险收益函数

相比电气越限量，系统失负荷量与连锁故障的损失具有必然联系，且能直接反映出损失的程度，因此本文使用失负荷量来衡量停电损失和控制代价。其中，控制代价为防御方的过负荷控制导致的失负荷量。停电损失主要包括3种类型：线路的连续开断导致所有向某个或某几个负荷供电的线路全部断开，这种情况下损失的负荷就是断开负荷的有功功率；系统解列后，为保持2个电气岛有功分别平衡而加入控制措施后导致的失负荷量；系统失稳后，为了使系统恢复稳定而加入稳定控制措施后导致的失负荷量，稳定控制方法参考文献［16］。

由于停电损失和控制代价只有在故障方行动后才会产生，其造成的影响受到行动概率的影响，因此本文从风险的角度出发，分别定义停电风险、控制代价的风险和运行风险，将运行风险作为博弈过程的收益函数。针对策略组合sk对应的路径，其停电风险、控制代价的风险和运行风险可分别表示为：

其中，D为该路径中故障方或防御方决策节点的个数；为故障方在第d个阶段采取第m个行动的概率；为故障方在第d个阶段采取第m个行动后造成的停电损失；为故障方在第d个阶段采取第m个行动后防御方付出的控制代价。

进一步，可得到故障方和防御方在该路径下的收益函数为：

2.4 博弈过程的结束条件

博弈过程中故障方和防御方交替行动，只要故障方采取行动，防御方就要做出相应的调整，因此只有故障方才能结束博弈。本文考虑2种结束条件：当故障方的行动次数到达预先设定的深度时，故障方不再选择下一步行动，博弈过程在防御方采取行动后结束；当故障方的行动造成系统暂态失稳时，故障方不再选择下一步行动，博弈过程在防御方采取行动后结束。

2.5 考虑参与人有限理性的连锁故障多阶段动态博弈防御流程

综上所述，考虑参与人有限理性的连锁故障多阶段动态博弈防御流程如下。

a.设定博弈过程的阶段总数D，将故障方和防御方所处阶段数d初始化为1。

b.预测故障方的行动，计算故障方采取各行动的概率和故障方行动的后果，并进一步计算故障方采取各行动的风险系数，生成故障方的策略集合。

c.故障方在策略集合中选择风险系数最大的策略并采取行动，判断系统是否功角失稳，若失稳，则进入步骤f；若稳定，则进入步骤d。

d.判断是否有线路过载，若有线路过载，则防御方采取行动，消除线路过载，然后进入步骤e；若没有线路过载，则直接进入步骤e。

e.判断故障方所处的阶段是否达到阶段总数D，若未达到，则d=d+1，并返回步骤b；若达到，则满足博弈过程的结束条件，进入步骤f。

f.计算出故障方和防御方的收益函数u1k和u2k。

g.多阶段动态博弈防御过程结束。

通过故障方和防御方的多阶段动态博弈模型，一方面，在源发性故障阶段，通过安全分析识别出潜在的危险线路，并采取相应的控制策略，避免连锁故障的发生；另一方面，在缓慢相继开断阶段，采取阻断控制以防止事故进一步扩大。连锁故障多阶段动态博弈防御流程图如图2所示。

3 算例

仿真计算以IEEE 39节点系统为例。其中各线路的潮流正常值的下限都取0，线路m的潮流正常值的上限取线路m的潮流额定值，线路m的潮流极限值Fmax取线路m潮流额定值的1.4倍，断路器误动概率pmis_d取0.0001，其他不明原因的因素引起的故障方在后续阶段行动的概率取0.0002。

图2 考虑参与人有限理性的连锁故障多阶段动态博弈防御流程Fig.1 Flowchart of defence model based on multistage dynamic game with bounded rationality against cascading failure

3.1 故障方在初始阶段的策略集合

计算故障方在初始阶段行动的风险系数，按设定的阈值进行筛选，得到故障方在初始阶段的策略集合如表1所示。

表1 故障方初始策略集合Table 1 Initial fault-side strategy set

3.2 连锁故障的多阶段动态博弈防御

选取风险系数最大的线路27发生故障并退出运行作为故障方在初始阶段的行动，分析连锁故障的多阶段动态博弈防御过程。

线路27开断后连锁故障的演化过程见表2。

表2 线路27开断后的连锁故障演化过程Table 2 Evolution process of cascading failure due to breakup of Line 27

从表2可以看出，当线路27开断后，线路24、28和29成为发电机6和7向外输送功率的唯一路径，线路27承担的功率转移至该输电通道，导致线路24、28过载，同时导致线路29严重过载并开断，发电机6和7从主网脱离，主网出现大量功率缺额；发电机2和3通过线路18向负荷16、21、24供电，使得线路18的潮流大幅增加，同时线路18作为发电机2和3向外输送功率的重要通道，其开断会造成较大的潮流转移，因此其具有较高的风险系数；线路18开断后，线路7严重过载并开断，潮流过分汇集于线路1、2、14、15组成的输电通道，导致系统发生暂态功角失稳。

针对表2的连锁故障演化过程，本文根据图2所示多阶段动态博弈防御流程，生成每个阶段针对故障方行动的防御策略，具体如表3所示。

表3 线路27开断后的连锁故障多阶段动态博弈防御过程Table 3 Defence procedures based on multistage dynamic game against cascading failure due to breakup of Line 27

3.3 连锁故障博弈过程的收益函数

根据表2和表3所示的连锁故障过程，分别计算防御方未采取行动和采取行动时博弈过程的收益函数，计算结果如表4所示。

表4 博弈过程的收益函数对比Table 4 Comparison of revenue function for different game procedures

文献［17］指出，如果控制措施可使事件的风险降低，并且其控制代价小于风险降低的数值，则该控制措施可作为应对该事件的选项，并具有经济上的可行性。从表4可以看出，防御方采取行动后，故障方的停电风险收益降低了15.708，防御方的控制代价风险收益只增加了6.142，故障方的运行风险收益降低了9.566，因此本文的防御策略具有可行性。

4 结论

本文提出了连锁故障多阶段动态博弈防御的要素和假设，构造了连锁故障的多阶段动态博弈防御模型。

综合考虑元件自身停运因素、潮流转移因素和保护及断路器误动因素对元件停运概率的影响，提出元件实时停运概率表征有限理性的故障方不完美的选择能力；根据可掌握的事故状态信息，提出潮流转移严重度和系统失负荷严重度表征故障方追求自身利益的意识；基于风险分析方法，生成有限理性故障方的策略集合，帮助调度人员了解当前运行工况下最需关注的故障发展方向。

从风险理论的角度出发，将运行风险作为收益函数，不仅可以帮助调度人员了解故障带来的影响，还可以定量评估出控制措施的有效性。

［1］BALDICK R，CHOWDHURY B，DOBSON I，et al.Initial review ofmethodsforcascading failure analysisin electric power transmission systems［C］∥IEEE Power Engineering Society General Meeting.Pittsburgh，PA，USA：［s.n.］，2008：1-8.

［2］HINES P，BALASUBRAMANIAM K，SANCHEZ E C.Cascading failures in power grids［J］.IEEE Potentials，2009，28（5）：24-30.

［3］印永华，郭剑波，赵建军，等.美加“8.14”大停电事故初步分析以及应吸取的教训［J］.电网技术，2003，27（10）：8-16.YIN Yonghua，GUO Jianbo，ZHAO Jianjun，etal.Preliminary analysis of large scale blackout in interconnected North America power grid on August 14 and lessons to be drawn［J］.Power System Technology，2003，27（10）：8-16.

［4］丁理杰，江全元，包哲静，等.基于多智能体技术的大电网连锁调整预防控制［J］.电力系统自动化，2008，32（18）：6-11.DING Lijie，JIANG Quanyuan，BAO Zhejing，et al.A multi-agent technology based control strategy to prevent cascading trips in large power grids［J］.Automation of Electric Power Systems，2008，32（18）：6-11.

［5］张玮，潘贞存，赵建国.新的防止大停电事故的后备保护减载控制策略［J］.电力系统自动化，2007，31（8）：27-31.ZHANG Wei，PAN Zhencun，ZHAO Jianguo.New load shedding control strategy for backup protecting against cascading outages［J］.Automation of Electric Power Systems，2007，31（8）：27-31.

［6］许婧，白晓民，黄镔.应对连锁故障的广域协同预控制系统研究［J］.电网技术，2013，37（1）：131-136.XU Jing，BAI Xiaomin，HUANG Bin.Research on wide area cooperative precontrolsystem forcascadingfailure ［J］.Power System Technology，2013，37（1）：131-136.

［7］HOLMGREN A J，JENELIUS E，WESTIN J.Evaluating strategies for defending electric power networks against antagonistic attacks［J］.IEEE Transactions on Power Systems，2007，22（1）：76-83.

［8］GUO Chen，ZHAO Yangdong，HILL D J，et al.Exploring reliable strategies for defending power systems against targeted attacks［J］.IEEE Transactions on Power Systems，2011，26（3）：1000-1009.

［9］吴广谋，吕周洋.博弈论基础与应用［M］.南京：东南大学出版社，2009：9-10.

［10］史慧杰，葛斐，丁明，等.输电网络运行风险的在线评估［J］.电网技术，2005，29（6）：43-48.SHI Huijie，GE Fei，DING Ming，et al.Research on on-line assessmentoftransmission network operation risk ［J］.Power System Technology，2005，29（6）：43-48.

［11］吴旭，张建华.输电系统连锁故障的运行风险评估算法［J］.中国电机工程学报，2012，32（34）：74-82.WU Xu，ZHANG Jianhua.Method of operational risk assessment on transmission system cascading failure［J］.Proceedings of the CSEE，2012，32（34）：74-82.

［12］PHADKE A G，THORP J S.Expose hidden failures to prevent cascading outages ［J］.IEEE Computer Application in Power，1996，9（3）：20-23.

［13］薛禹胜.时空协调的大停电防御框架（二）广域信息、在线量化分析和自适应优化控制［J］.电力系统自动化，2006，30（2）：1-10.XUE Yusheng.Space-time cooperative framework for defending blackouts：part Ⅱ reliable information，quantitative analyses and adaptive controls［J］.Automation of Electric Power Systems，2006，30（2）：1-10.

［14］王安斯.基于事故链的电网脆弱性评估与稳定控制［D］.武汉：华中科技大学，2010.WANG Ansi.Vulnerability assessmentand stability control power grid based on the fault chains［D］.Wuhan：Huazhong University of Science and Technology，2010.

［15］姚峰，张保会，周德才，等.输电断面有功安全性保护及其快速算法［J］.中国电机工程学报，2006，26（13）：31-36.YAO Feng，ZHANG Baohui，ZHOU Decai，et al.Active power security protection of transmission section and its fast algorithm［J］.Proceedings of the CSEE，2006，26（13）：31-36.

［16］滕琳，刘万顺.电力系统暂态稳定实时紧急控制的研究［J］.中国电机工程学报，2003，23（1）：64-69.TENG Lin，LIU Wanshun.Studyofreal-timepowersystem transient stability emergency control［J］.Proceedings of the CSEE，2003，23（1）：64-69.

［17］薛禹胜，肖世杰.综合防御高风险的小概率事件：对日本相继天灾引发大停电及核泄漏事件的思考［J］.电力系统自动化，2011，35（8）：1-11.XUE Yusheng，XIAO Shijie.Comprehensively defending high risk events with low probability ［J］.Automation of Electric Power Systems，2011，35（8）：1-11.