刘心华

【摘 要】 设计问题比解答问题更为重要.课堂教学的深入总是伴随着一个个精彩问题的呈现，问题就像黑暗里的一盏明灯，让学生找到光明；问题就像是迷途中出现的指路标，指引着学生前进的方向；问题还像是一根长绳，串起学生的点滴思维火花.

【关键词】 问题；题组；设计；原则；课型；问题解决

1 问题的提出

“数学是思维的体操”.一节优美律动的韵律操，要求每一个动作的设计健身、健美、健心，给人自然流畅、一气呵成的大气感和美感.数学课也应该像优美律动的韵律操一样：课堂活动流畅、舒心，思维进程活跃、高效.而这一切的决定因素在于课堂中一个个数学问题的设计（即题组的设计）.“问题是数学的心脏”.课堂中一个个问题就好比韵律操中一个个动作，要想课堂给人更多的回味与精彩，问题设计就需更深的思考与研究.课堂教学的深入总是伴随着一个个精彩问题的呈现，构建高效课堂，题组设计尤为重要.

2 设计和运用题组的目的和依据

设计和运用题组是一种教学策略，意图是要搭建一个平台，把学生推到解决问题的前台.通过题组中一个个问题的设置，引导学生步步深入地分析问题、解决问题、构建知识、发展能力.如果说题组是课堂教学的一条具有逻辑意义的明线的话，那么隐藏在这条明线后的知识链就是课堂教学的一条暗线.教师通过题组这个脚手架便于组织教学，并和学生形成互动，促进学生在学习知识的同时形成网状知识联结，题组的使用让教学组织有章可循，内容推进自然而不造作，体系构建完整而不破碎，课堂生成高效而不低能.

《高中数学课程标准》要求教师应在深刻理解教学内容、充分了解学生已有知识和生活经验的基础上设计问题：在数学知识产生形成的关键点；在数学知识之间联系的联结点；在运用数学思想方法解决问题的关节点；在数学问题变式的发散点.在学生思维的最近发展区，挖掘知识中的潜在因素，合理、巧妙、灵活地设计富有启发性、挑战性和开放性的问题，通过激趣、质疑、导引、点拨，引起学生的参与兴趣，调动学生求知能动性，训练学生的思维.

3 设计和运用题组的原则

①题组设计不能太难，要符合学生的一般认知规律与身心发展规律，要在学生思维的最近发展区设计问题；②题组设计要引领学生思考与活动，问题与问题之间应是层层递进的关系；③题组设计要围绕课题指向明确，通过问题解决学生能够构建数学概念与原理、展现数学方法与思想；④题组设计要自然，问题与问题间不能过于生硬，应呈现出一定的内在联系与逻辑关系；⑤题组设计要具有一定的开放性，同类问题学生可以从多个不同的角度来思考.

4 设计和运用题组的方法和策略

自上世纪八十年代问题解决教学的理论产生以来，设计和运用题组进行教学已被越来越多的教师采用，成为中学数学教学中常用的教学方法.通过题组设置来使不同认知水平的学生都能在课堂中达到对一些数学概念与数学思想方法的理解与掌握，成为数学有效教学的基本形态.国内著名的数学教育专家顾泠沅认为，题组（变式）教学是我国数学基础教育成功经验的精髓之一，中学教师在教育实践中正是充分利用題组设置方式来提高数学教学的效率与效果的.下面就高中数学的几种常见课型，谈谈优化课堂中设计和运用题组的方法和策略.

4.1 概念课型中的题组设计和运用

概念课是数学中最常见最基本的课型.数学概念是数学知识系统的基本元素，是构成数学理论的基础，概念的学习是数学学习的核心，正确理解概念是学好数学的首要环节，概念教学也是基础知识和基本技能教学的关键.在概念教学中要根据学生的认知特点，合理地选取适合学生的教学方法，设计富有过程探索性的问题，揭示数学概念形成的过程，为认识和理解数学概念的本质形成一个思维链，让学生在探索、辨析、感悟、运用、强化、归纳、升华、落实中真正掌握数学概念，理解数学的本质.概念课中的探索性题组的设计对于避免数学概念教学“掐两头烧中段”有重要的作用.

例如函数周期性概念的教学，一位老师设计了如下一组问题：

（1）在单位圆中，对给出的角α，如何作出角α的正弦线？

（2）当角α的终边绕原点逆时针旋转时，角α的正弦线如何变化，有何规律？

（3）观察正弦函数图象是如何呈现这种“周而复始”的变化规律的，你能用自然语言描述这一规律吗？

（4）哪条公式能反映问题（3）中的正弦值的变化规律？

（5）若函数f（x）的函数值具有“周而复始”的变化规律，如何用代数形式描述这一规律？

（6）因为当x=7π6时，sin（x+2π3）=sinx，所以2π3是函数y=sinx的周期.这话对吗？

（7）如果T是函数f（x）的周期，那么除T之外还有其他周期吗？

（8）函数y=a（a是常数）是周期函数吗？是不是任何周期函数都有最小正周期？

（9）求函数y=cos2x、y=Asin（ωx+），x∈R（A、ω、为常数，A≠0，ω>0）的周期.

题组设计从学生已有的正弦线、正弦函数图象及诱导公式出发，通过图象的特点、函数解析式特点的描述，让学生建立比较牢固的理解周期性的认识基础，最后再引导学生了解“周而复始”的变化规律的代数刻画，让学生经历了从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维过程.问题（7）到问题（10）的设计让学生进一步落实对周期函数的概念的理解，使学生真正掌握周期函数的本质及周期函数的周期的求法.

概念课教学的根本目的是：使学生认识概念、理解概念、巩固并运用概念.因此概念课的题组设计要求是：此题组的设计使学生明了①概念是如何产生形成的？②概念中有哪些规定和限制条件？③概念的名称、表述的语言有何特点？与自然语言比较、与其他概念比较，有没有容易混淆的地方？应当如何加以区别？④此概念有没有等价的叙述？为什么等价？应当如何处理和应用？⑤由此概念中的条件和规定，能够归纳出哪些基本性质？各个性质是由概念中的哪些条件所决定的？这些性质在具体应用中有何意义？能派生出某些数学思想和方法吗？等等.

4.2 命题课型中的题组设计和运用

命题课是指有关中学数学公理、定理、法则、公式的教学，是中学数学教学的重要课型.数学命题具有高度的概括性与抽象性，在本质上描述了相关数学概念之间的关系，是中学数学的核心内容之一，是数学思维、推理、运算的基石.命题课的关键在公式、定理推导证明的全过程上，让学生记住某一个公式、某一定理并非命题课的最终目的.

本组问题的设计，从数、形两个方面，结合几何意义，通过代数证明，变式拓展，揭示基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件， 题组设计充分考虑了基本不等式中包含的数学思想、思维方法和典型的数学技能技巧等，题组中问题的解决充分调动学生的思维，学生可以多层次、广角度、全方位地认识基本不等式.

命题课要达到的教学目的是：揭示公理、定理、法则、公式的来龙去脉，揭示其推导、论证中所用的有代表性的数学思想、思维方法和典型的数学技能技巧，交待清楚公式、定理适应的范围及成立的特定条件，理解由某一条件所得出的必然结论.因此命题课的题组设计要求是：此题组的设计使学生明了①概念与概念之间的内在联系是什么？②概念与概念之间的演绎规律是什么？③几个概念之间存在哪些定律或联系法则？应当如何加以区别？④命题的条件和结论有什么关系？论证中用了哪些有代表性的数学思想、思维方法和典型的数学技能技巧？⑤公式、定理可解决哪些问题？公式变形有哪些形式？公式、定理适应的范围及成立的特定条件是什么？

4.3 复习课型中的题组设计和运用

复习课也是数学中最常见最基本的课型.复习课的教学内容是学生过去学过的知识，其主要目的是使知识系统化，也就是把各种不同的概念、法则、规律引向合乎逻辑的完整的体系.在这个体系中，所有成分相互之间是紧密联系的，没有这种类型的课，教学过程将是不完整的，而学生的知识也将是片面的和杂乱的.

此题组的设计综合了向量与三角的知识，通过一题多问、一题多变，较好地把相关的基础知识进行了整合梳理，将三角函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性、最值、零点、三角函数的图像的变换结合起来，完善了知识体系，提升了学生的认知结构，同时学生的解题能力得到了一定的提高.

每一个知识单元结束后，对它进行回顾与概括是必需的，复习课要达到的教学目的是：巩固本单元的知识、技能，加深对知识、方法及应用的认识， 提高综合解决问题的能力.因此复习课中的题组设计要求是：①题组的设计要突出对知识和方法的梳理，对已经学过的知识，以问题串的形式进行梳理综合，结构重组，通過题组的解答去构建知识框架，形成自我知识体系；②题组设计应明确学生的学习活动是以“内化学习”为主要特征，突出学生的主体性及主动性，问题似曾相识但绝非是原题；③题组设计要根据学生知识、技能的掌握状况及遗忘缺漏情况，确定需要解决的重点和难点，要创造机会让每一个学生充分发表自己的见解；④题组设计要引导学生把握问题的实质，完善和深化已有的知识结构，加深对复习内容的知识和方法的再认识，提高综合解决问题的能力.

4.4 习题课型中的题组设计和运用

所谓习题课，就是以讲解习题为主要内容的课堂.一般说来，教师讲授一段时期的课程或一个知识单元之后，即会开设一节习题课.习题课的授课过程一般包括：整理前阶段课程的知识要点；分析作业题中的错误；讲解习题；学生练习提高.习题课中要弥补学生的知识能力方法上的缺失，教师必须从学生的认知基础开始，从探究最核心的问题开始，设计系列问题.

例如学生在解答问题：已知抛物线y=-x2+mx-1，两点M（0，3），N（3，0），若抛物线与线段MN有两个不同的交点，求实数m的取值范围.尽管是经典的问题，学生做这道题总是错得很多，学生除了对这类问题在方法上掌握不到位，思维习惯上有缺失外，在学习方式、方法和认知上也有问题，缺乏运用数学思想的意识.在习题课上为此错题设计了如下系列问题：

（1）若方程x2-（m+1）x+4=0有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程x2-（m+1）x+4=0在[0，3]上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；

（3）若函数y=x+4x（x∈（0，3]）的图像与直线y=m+1有两个交点，求实数m的取值范围；

（4）若方程m+1=x+4x在x∈（0，3]上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；

（5）抛物线y=-x2+mx-1，两点M（0，3），N（3，0），若抛物线与线段MN有两个不同的交点，求实数m的取值范围；

（6）若不等式x2-（m+1）x+4>0在x∈[0，3]上恒成立，求实数m的取值范围；

（7）若不等式x2-（m+1）x+4>0在m∈[0，3]上恒成立，求实数x的取值范围.

以上问题有基本、有变式、有拓展、有延伸，形成了一个问题串，构成了思维的整体性，体现了思维的层次性和探究性，在问题串的引领下，学生进行系列的连续的思维活动，不断攀升思维的新高度，这样设计不仅有利于学生思维的飞跃，加深对数学本质的认识，同时经历问题的形成和解决过程，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.

习题课要求学生的学习活动是在进行“解决问题学习”，也就是把已经掌握的基本概念，基本的公式、法则、定理，迁移到不同情境下加以应用，找出解决当前问题的方法，并加以比较择优.因此习题课中的题组设计要求是：①题组要注意对解题策略、解题技巧等进行问题设计，要在知识缺陷和逻辑推理缺陷处设计问题；②题组设计要着眼于培养学生的观察、归纳、类比、直觉、抽象以及寻找论证的方法，展现解题思维的过程；③要注意问题间的层次关系，运用类比、联想、特殊化和一般化，探索问题的变化及本质；④还要考虑设计恰当的“发散性思维”问题，克服思维定势，变中求进，进中求通，培养学生思维的广阔性、深刻性、灵活性以及创造性.

4.5 讲评课型中的题组设计和运用

讲评课帮助学生分析前一阶段的学习或测试情况，查漏补缺、纠正错误、巩固双基，并且在此基础上寻找产生错误的原因，从中吸取失败的教训（包括听课、审题和做题的方法与习惯等等），总结成功的经验，从而完善学生的知识系统和思维系统，进一步提高学生解决问题的能力.同时，通过习题讲评还可以帮助教师发现自己教学方面的问题和不足，进行自我总结、自我反思、改进教学方法，最终达到提高教学质量的目的.

以上题组的设计，变更问题中的条件，转换问题的形式和内容，以暴露此类问题的本质特征或内在联系.突出了任意、存在量词的意义，围绕常量与变量，从函数的角度出发，解决了三类问题——恒成立、不等式有解、方程有解问题；领悟了四种主要的思想方法——转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论.心理学理论认为，“变化”是认识的一种手段，其根本目的在于通过“变化”与“对照”帮助学生更好地认识其中的不变因素，也即概念或问题的本质，这是讲评课能否成功的关键.

讲评课要求既要“评”，也要“讲”.“评”——既要评“不足”、评“偏差”与“误解”；又要评“好”的，要评出方向，评出信心，充分调动积极因素，以利于学生继续学习.“讲”——要讲清楚错在哪里，产生错误的原因，克服错误的方法以及预防的措施，还应注意总结规律和方法，提升学生解决问题的能力.因此讲评课中的题组设计要求是：①搭建平台，以错纠错以防重蹈覆辙；②举一反三，规范有序注重反馈提高；③借题发挥，以点带面突出拓展延伸.

数学的魅力不仅在于她具有优美的外在形式，更在于内在的思维的思辨性，教学中要注重思维过程的揭示，重视思维能力的培养.要做到这一点，不管从大的策略还是小的方法，落实到课堂上关键还是贯串于课堂中的数学问题的设计.高效课堂中的题组设计集趣味性、探索性、应用性、开放性、创新性于一体，题组设计着眼于学生潜能的唤醒、挖掘与提升，学生自主能力的促进与发展；题组设计促使学生在探索中形成概念，在讨论中启发思维，在归纳中得出结论，在思考中培养能力，在应用中获得方法，学生在体验成功的同时，追求创新的价值，使学生自主、和谐、全面的发展.