一、问题

计算是小学数学教学的主要内容之一，是学生后续学习和生活的必备技能。计算教学包括计算概念的建立、计算法则的探究与运用以及计算技能的训练等。两位数乘两位数是人教版小学数学教材三年级下册的内容，是在学生学习了笔算多位数乘一位數的基础上进行教学的。这一内容是第一学段学生学习的最为复杂的计算知识，也是让一线老师感到头疼难教的内容之一。老师们认为，学生在计算两位数乘两位数时，由于基础不够扎实、计算习惯不好、感知不完善、对算理理解不到位等，导致错误率比较高。那么，教师该采取什么样的手段或者方法，帮助学生突破学习中的难点，切实提高计算技能呢？我们数学组针对这一内容进行了教学研究。

（一）教学实践中的问题

为了更好地了解学生的学情，我们选取了三（1）班49名学生进行了两位数乘两位数（不进位）的学习前测。

从前测看，对于检验两位数乘两位数的知识储备的计算题，大部分学生已经基本掌握。对于两位数乘两位数的计算题，有42.9%的学生能利用乘法意义找到答案，只有8.2%的学生能正确运用竖式计算。学生列竖式计算时出现的错误五花八门，表现出的最主要困难，首先是“谁”和“谁”乘的问题，其次是第二层积的对位问题。

同时，我们对相关教师进行了问卷调查与访谈。从调查的结果中我们发现，部分老师认为计算教学关键是要形成技能，评价标准是要会做，但对算理理解关注不够；有部分老师尽管注意到探究算法过程的必要性，但是考虑到课堂时间有限，在教学实践中，对探索算法的过程，包括提出多样化的算法并进行优化关注不够；由于讲解算理和简化竖式都在同一课时进行，而要完成竖式的教学，部分老师讲解完算理后就带着学生匆匆转入技能的训练中，刚刚经历的理解算理很快就湮没在记忆、模仿法则的操练中。

从教材层面进行分析，我们发现从计算方法的角度看，多位数乘一位数与两位数乘两位数区别是明显的。学生很难结合口算的方法（14×12=14×10+14×2）自主探索出乘数是两位数的乘法的竖式计算法则，也很难实现从乘数是一位数的乘法竖式（一层积）到乘数是两位数的乘法竖式（两层积）的突破。

实际上，与多位数乘一位数的笔算乘法相比，两位数乘两位数的竖式运算的复杂性增加了，对思维的要求也更高了。学生要知道每一步做什么，表示什么意思，得到的是几个一还是几个十，该如何写。

（二）解决问题的策略

课标（2011版）中关于算理教学有明确要求：“在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。例如，对于整数乘法计算，学生不仅要掌握如何进行计算，而且要知道相应的算理。”在这一要求的指导下，基于对学生相关情况的调研、分析和把握，在教学中，我们将算理放在学习的中心位置，突出一个教学理念：借助直观自主探究，循理悟法、以理驭法。学生由于是第一次学习两位数乘两位数的竖式写法，最难想到的是第二个积的书写位置（即为什么用第二个乘数十位上的数乘第一个乘数，所得的积的末位要与乘数的十位对齐），这也是理解笔算算理的突破口。于是，我们将笔算方法的学习置于具体的情境中，借助几何直观（点子图），让学生通过自主探索、合作交流、优化比较等过程，发现口算拆分方法与笔算竖式算理上的一致性，从而突破难点，达到对算理的深层理解和算法的切实掌握。

二、实践

基于充分理解算理、掌握算法观点下的教学实践，我们选取两位数乘两位数（不进位），让学生经历探究算法、理解算理、初步概括法则的过程。重点教学乘的顺序及各部分积的书写位置，帮助学生理解算理，突出各部分积的实际含义。

师：那谁能告诉我，怎样计算多位数乘一位数呢？

生1：要用一位数分别去乘多位数的每一位上的数。

生2：乘的顺序是先用一位数乘多位数的个位上的数，得数要写在个位上；再去乘多位数的十位上的数，得数要写在十位上。就这样乘下去，如果有进位，要把进位记上。（师揭示课题：笔算乘法（不进位））

（二）探究算法，理解算理

1.尝试计算

师：（出示情境图：每套书有14本，王老师买了12套）根据信息，你能提出什么数学问题？怎样列式？

生：一共买了多少本？14×12=？

师：如果用一个点子表示一本书，这一行有14个点子，可以表示一套书。12套书有多少本，用点子图可以怎么表示？（课件出示每行14个点子，共12行）求一共有多少本书就是求什么？

生3：求一共有多少本书就是求12个14本是多少，用乘法计算。

师：王老师大约买了多少本？结果大约会是多少？你是怎么想的？

生4：我把12看成10，用14×12≈140估计大概的范围，实际结果会比140大一点。（板书：估算：14×10=140（本））

师：那要求一共买了多少本，你能利用学过的知识计算14×12等于多少吗？如果有困难，可以借助老师发给你的点子图来研究。在上面画一画，然后想一想，找到计算14×12的办法，并把自己的想法和思考过程写在纸上。如果你找到了一种方法，看看还有没有其他的办法。

学生独立思考，尝试解决问题。

2.探究方法

师：现在请同桌之间交流计算方法。为了让同学理解你的方法，可以借助点子图进行讲解，然后全班汇报。

学生到实物投影仪上展示讲解，汇报交流。

生5：我可以先算2套多少本：14×2=28（本）；再算10套多少本：14×10=140（本）；最后算12套多少本：140+28=168（本）。（在点子图上是这样表示的，见图4）

师根据学生的回答从上到下依次板书：14×2=28（本）；14×10=140（本）；140+28=168（本）。

生6：我也可以先算4套多少本，14×4=56（本）；12套里面有3个4，所以总数就有3个56那么多，56×3=168（本）。（在点子图上是这樣表示的，见图5）

生7：我的算式是这样的：14×6×2=168（本），我先算一半也就是6套有多少本，再乘2就是12套有多少本了。（在点子图上是这样表示的，见图6）

生8：我发现点子图可以有不同的分割方法，其实也可以竖着分割，再求和，算出总数……

师：大家想出了这么多方法，尽管表示方法不同，但这些方法有什么共同特点？

生9：这些方法都是先把一个数分小一点，再合起来。分开后的数变小了，我们就会算了。

生10：把数拆分后就可以将新知识变成学过的知识进行解答了。

师：对，这就是转化的方法，数学中，转化是一种重要的思想方法。还有没有其他方法？

生11展示了4个竖式的方法（如图7）。生12展示了3个横式与一个竖式的方法（如图8）。

生13（图9）、生14（图10）、生15（图11）分别展示一个竖式表达的方法。

师：（指生11的4个竖式）你们读懂了他竖式的意思吗？前3个分别表示什么意思？第四个呢？生12的呢？

生16：我明白了，生11前面3个竖式的意思和生5的方法有点像，最后一个竖式，他把得数写上去了，做了一个总结；生12把后面3个横式的思路及结果用一个竖式表示了。

师：确实有点意思，也是一种创造哦。不过如果不看前3个竖式或最后3个横式，竖式中的得数真不清楚是怎么来的，我们待会想想办法。你们发现生12乘的顺序有什么不一样吗？（教师指出，一般情况下，用第二个乘数的每一位去乘第一个乘数的每一位，这是一种习惯）另外3个同学的竖式都对吗？你是怎么知道的？

生17：生13的竖式错了，因为我们刚才估计了结果比140大，这里的得数还不到100，肯定错了。其他两个得数应该是对的，和我们估计的结果不太远。

师：生11、生12、生14、生15的竖式都能正确地计算出结果，可哪种方法更能简洁地记录计算的过程呢？

生（齐）：生15的。

师：那我们请生15介绍一下他是怎么想的。

在师生问答的过程中重点理解：（1）这里的28、14分别是怎么得到的？（2）计算过程中的14为什么要这样写？它表示什么意思？（重点强调计算过程中的14表示的是14个十及它的书写位置）（3）指出，第二部分积表示的是14×10=140，个位上的0可以不写，所以十位上的4要与乘数的十位对齐。师说明生14的方法对了，这里的0可以不写，“+”号也可以省略，这样更简洁；再问生13是否清楚错在哪里。

3.沟通比较，明确竖式计算算理

师：生15的竖式你们能理解吗？竖式与我们前面的口算拆分方法14×12=14×10+14×2，以及对应的点子图有联系吗？有什么相同的地方？有什么不同？

师生共同完成三者的关联，完成板书（如图12）。

师：生11用3个竖式表达了自己的思考过程，能不能用一个竖式简洁表示？

学生动笔尝试。

师：如果把这里的14看作第一个乘数，12看作第二个乘数，用竖式计算时要按怎样的顺序算？

生18：先用第二个乘数个位上的数与第一个数相乘，再用十位上的数和第一个数相乘，然后把两次乘得的积加起来。

4.回顾反思

师：再回头看一看，刚才我们这个计算方法是怎么得到的？

生19：我们是利用点子图通过先分后合，转化成学过的知识得到计算方法的。

生20：我们还找到了这些方法之间的联系，并概括出来了。

师：点子图是非常重要的学习工具，转化、比较、概括都是非常重要的学习方法。

5.灵活运用，说理训练

师：李师傅平均每小时做18个零件，那么工作14小时做了多少个零件？怎么列式？

小明用竖式计算了，请你说一说每一部分的意思。（课件出示图13）

学生理解了算理后，再次让学生书空，边说边口述18×14的笔算过程及竖式写法。

（三）练习（略）

让学生经历“探究算法—明晰算理—总结算法”的过程是新版教材在计算教学编排方面体现的主要特征。为了落实教材意图，本节课的教学注重帮助学生理解两位数乘两位数的算理，掌握笔算方法，感悟几何直观，体验转化的数学思想方法，积累抽象、归纳、概括等数学学习经验。

1.探究算法策略多样化

本课中呈现出解决问题策略的多样化。学生在多种口算方法的分割中体会先分后合的道理；在多种口算方法中突出与笔算竖式相关联的分法，在比较中突出笔算乘法竖式的简洁性和方法的抽象性。

2.借助点子图突出算理教学

本节课的重难点是借助直观的算理得到抽象的算法，而点子图就是沟通算理和算法的桥梁。这一内容的算理包含两个方面，一是在学生还没有学习乘法分配律的情况下如何理解“拆分”算法的合理性，二是理解竖式计算中每一步算出的是什么。教学中，教师注重引导学生利用点子图，自主探究两位数乘两位数的得数及笔算方法，理解“拆分”算法的合理性，进而明晰竖式计算中每一步的含义，帮助学生掌握积的定位，明白数位对齐的道理，为学生灵活计算提供了算法依据。本课先通过估算、口算的思路回顾，展现方法背后的道理，实现由法入理；再通过尝试竖式计算，实现口算思路的笔算化呈现；在自主探索、讨论交流中由理悟法，利用口算的算理将口算与笔算进行有效融通。这样一来，不仅规范了笔算的算法，又厘清了算理与算法之间的关系，学生由会算转向深入理解算法背后的道理，真正实现了以理驭法。

3.注重计算方法的归纳、概括

尽管抽象并概括方法的要求是在下一节课，但是本课中依然可见对学生规范语言表述的引导，对计算方法的归纳和概括。本课中，学生通过对竖式中每一步计算所表示意义的理解，自主完成了“程序化”计算中的数学思考。而对计算步骤的提炼和概括，为后续计算法则的抽象概括做了很好的铺垫。

三、讨论

1.计算能力的培养不能放松

重视计算技能训练和计算能力的培养一直是我国基础教育的优良传统。我们在这方面积累了丰富的经验。随着科学技术的发展，日常生活中引入计算器代替计算已司空见惯，但是计算能力作为一种重要的能力，在小学阶段还是需要训练到位的。计算能力的高低对后续学习将产生深远影响。小学计算不过关，将对初高中的数学学习，乃至理科学习带来极大的影响。

2.计算速度有要求

计算需要有一定的速度。计算属于数学技能，数学技能的行为指标包括准确性、速度、协调性和自动化。心理学家研究发现，当儿童企图执行更多工作记忆任务时，因这种技能水平低而造成计算速度慢，会导致越来越多的问题，也就是说数学事实提取慢，会干扰数学问题的解决。因此，通过一定的训练，使学生的计算技能达到一定的自动化程度是非常必要的。作为数学教师，特别是小学数学教师，对后续意义重大的基本口算，如乘法口诀表、20以内的加减、100以内的加减等内容，在教学中一定要向学生提出速度的要求。

3.计算教学的价值是什么？

《数学课程标准解读》中指出：“运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合……运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。”本专题的研究也给我们带来一个思辨性的问题：计算教学的价值是什么？培养学生的思维能力应该是不二选择！因此在计算教学中，我们要跳出认知、技能的框框，组织学生积极探索算理算法，实现计算学习由知识技能性学习向探究性、创新性学习转变。应该说这反映出一种教学的价值取向，如果没有高度的专业自觉性和自主性，以及对学生计算能力训练的自信，还真的难以达成一种坚守。

當然，对于两位数乘两位数的计算教学，特别是两位数乘两位数（进位乘）问题，在解决了算理、算法的前提下，如何提高计算的正确率和速度等问题还有待我们继续进行研究。

（执笔：胡力、王进、黄超、龚海彬、徐旺、李闯）