刘怀忠，肖明砾，谢红强，卓 莉

(四川大学 a.水力学与山区河流开发保护国家重点实验室; b. 水利水电学院，成都 610065)

土工离心模型试验位移测量中的图像校正

刘怀忠a,b，肖明砾a,b，谢红强a,b，卓 莉a,b

(四川大学 a.水力学与山区河流开发保护国家重点实验室; b. 水利水电学院，成都 610065)

在拍摄角度不佳或成像元件存在缺陷的情况下，试验模型在图像中的位置会产生倾斜失真或者畸变误差，从而影响摄影位移测量的精度。为了降低图像失真以及畸变对测量的影响，根据透视原理，对物像二维坐标关系进行了推导，同时引入图像畸变误差，建立了一种图像校正方法。通过对标准网格进行摄影测量，标定了数码相机的内参数，验证了校正方法可以达到2‰的测量精度。并将校正方法应用于离心模型试验的图像校正和位移测量，结果表明校正后的坐标误差在1 mm以内，对本次位移测量的影响<5%。

离心模型试验; 摄影测量; 图像校正; 透视变换; 位移测量

1 研究背景

变形是离心模型试验最主要的测量内容之一，传统的变形测量方法主要是通过在模型内布设传感器来进行测量。这种机械接触式的测量方法不可避免地对模型的物理性能有一定影响，并且传感器量程和布设个数限制了位移的测量范围和数量[1]。通过电子摄像设备拍摄模型的位移状态的非接触位移测量技术，已成为模型试验研究的新技术[2-4]。

摄影位移测量技术的基本原理是通过分析模型图像中关键点的位置变化，计算模型对应位置的位移量。当摄像角度存在偏差，或者镜头畸变引起图像变形时，关键点在图像中的坐标并不是模型对应位置的测量坐标；并且摄像设备与模型在不同时刻的相对位置关系可能发生变化，如按快门导致摄像方向的轻微变化，或者相机架的振动，这种影响在离心模型试验中尤为突出；因此在求解位移之前，需要将每一时刻的图像变换为测量面的正视图，即将图像坐标变换为模型测量坐标，这一变换过程的精度直接决定了位移测量的精度。周拥军等[1-2]通过空间相似变换将图像坐标转换为模型测量坐标，在假设摄像设备的位置、方位、主距等参数不变的基础上，推导了位移矢量与影像坐标之间的关系，但这些基本假定在离心模型试验中是很难满足的。张嘎等[5-6]采用二次曲面函数将图像坐标变换为模型测量坐标，该法较为简单，但是变换精度难以保证。同时，这2种方法均属于近似变换，降低了摄影测量的精度。

因此只有在保证图像坐标到测量坐标变换精度的条件下，才能保证试验测量位移的精确性。为了寻求可靠的坐标变换方法，本文从摄像设备成像的透视原理出发，对物-像坐标的对应关系进行推导，获取像坐标到物坐标的表达式，并引入镜头畸变误差，对模型图像进行校正。并将该校正方法应用于土工离心模型试验的位移测量，取得了较好的成果。

2 透视变换方法

2.1 透视投影变换原理

摄像设备的投影线是从摄像光心出发的一组不平行的射线，经过物体表面的射线与投影平面相交形成物像。为了研究物体与物像的坐标对应关系，建立图1所示的3套坐标系：①物体空间坐标系OwXwYwZw，即物体所处的真实坐标系；②物像平面坐标系OsXsYs，该坐标系以摄像光轴在图像上的垂足为原点，即矩形图像的形心点；③视点空间坐标系OvXvYvZv，该坐标系为左手三维直角坐标系[7]，其XvYv平面与物像平面坐标系平行，Zv轴为摄像光轴，指向物体。

图1 透视投影变换示意图Fig.1 Schematic of perspective projective transformation

为了求取物体空间坐标系下测量点在物像坐标系下的坐标(xs,ys)，首先将测量点由物体坐标系下的坐标(xw,yw,zw)变换为视点坐标系下的坐标(xv,yv,zv)，两者具有如下关系[8]，即

(1)

式中坐标变换矩阵R的推导需要经过图1所示5次坐标系的平移和旋转变换。假设：lx=cosγ，nx=sinγ，ly=cosα，ny=sinα，lz=cosθ，nz=sinθ；γ,α，θ分别为绕Xv，Yv，Zv轴逆时针旋转的角度。经过推导，变换矩阵为

(2)

其中，

(3)

将式(2)代入式(1)，可以得到物体坐标系到视点坐标系的变换式为

(4)

然后利用简单的一点透视投影公式，得到测量点在物像平面上的投影点的坐标[8]，即

(5)

式中zs为摄像光心到物像平面的距离，在摄像设备焦距固定的情况下，该值为定值。

2.2 平面图像坐标变换

透视投影变换借助于视点坐标系，将三维物体坐标变换为视平面坐标。而在模型试验摄影测量中，假设测量平面为XwYw平面，即zw=0，则由式(4)可得测量平面坐标系到视点坐标系的变换式，即

(6)

摄像设备所获图像通常为物像放大m倍所得，设图像坐标为(xt,yt)，假设光轴与图像的交点坐标为(x0,y0)，那么平面图像的坐标可由式(7)计算，即

(7)

将式(6)代入式(7)可得

(8)

式中：k=mzs，m和zs均为摄像设备内参数，因此k也可视为摄像设备内参数，与摄像设备的焦距和像素大小等因素有关；x0，y0也是摄像设备内参数，与光轴的偏离程度有关。

为了方便测量坐标与图像坐标的直接变换，避免旋转角度求解的复杂性，对式(8)作变换[9]，即

(9)

式中参数矩阵P可以表示为

(10)

2.3 畸变误差

理想的摄像设备成像是针孔模型，物坐标与像坐标满足透视变换关系，而实际的摄像设备并不满足这个条件，尤其是普通数码相机，图像总存在缺陷，即图像畸变误差。畸变误差分轴对称与不对称2大类，轴对称像差有球面像差、彗形像差、像散、像场弯曲和畸变差等，非中心对称像差主要有不对心像差、薄透镜像差等[10]。Weng等[11]对这2类畸变进行了详细的分析，得到了图像坐标的修正公式，即

(11)

式中：u=(xt-x0)/k；v=(yt-y0)/k。因此对式(9)进行畸变修正，可以得到考虑畸变误差修正的坐标变换关系，即

(12)

本文校正模型共包括8个透视变换参数(p1—p8)，以及8个相机内参数(x0，y0，k，g1—g5)。参数获取方法分为2步：首先，对相机进行标定获取相机内参数，按照文献[11]中的过程进行标定，标定过程采用坐标已知的标准网格；其次，将标定后的内参数代入式(12)，进一步求解透视变换参数，透视变换共有8个参数，因此在进行位移测量时，至少需要已知4个固定点的测量平面坐标。

3 畸变误差及变换精度分析

3.1 畸变误差分析

在常规试验过程中，通常将摄像设备位置固定，通过粗平、瞄准、精平等过程，保证摄像设备光轴与测量面垂直(摄像平面与测量面平行)，进而保证图片像素坐标与测量坐标为线性比例关系。但是由于模型箱难以进行精确水准调整，该垂直关系是很难满足的，若不对图片进行校正，将产生光轴倾斜误差，经过推导，产生的点位中误差为

(13)

假设土工离心模型测量面尺寸为50cm×30cm，光轴偏斜角度为1°(即ω=1°)，那么当光轴经过测量面左下角时，摄像光心与左下角距离d=30cm，测量面的点位中误差分布见图2。

图2 光轴倾斜坐标误差分布Fig.2 Deviation distribution of optical slant

从图2中可以看出，点位中误差分布总体上随着x坐标的增大而增大。如果以0.2 cm的点位中误差为测量控制标准，如图中红色控制平面，顶面红色线表示控制面与误差分布面的交线在测量面上的投影，将测量面分为2个区域，仅区域S1的测量坐标满足点位中误差精度要求。经过计算，S2的面积，即不满足控制精度要求的面积占测量面总面积的69.5%，误差最大值为1.655cm，可见光轴倾斜对测量精度有着很大的影响，有必要对图像进行校正。

图3 坐标纸拍摄示意图Fig.3 Schematic of grid paper photograph

3.2 校正精度分析

为了研究透视变换处理摄影测量图像的坐标精度，对该方法进行了简单的精度研究。分别从4个方向拍摄标准坐标纸(25cm17cm)网格图像(见图3)，然后按式(12)所示透视变换方法处理图像坐标数据，对相机内参数进行标定，并检验方法的精度。由于已知网格交点的真实坐标，便可求解测量误差，即测量坐标与真实坐标之差的绝对值，见表1。

表1 标准网格测量误差Table 1 Metrical deviations of standard grid

表1中误差的最大值为视图B的x坐标误差，量值为0.46mm，即其余所有坐标误差均小于该值，由于摄像角度为任意选取，且偏转角度较大，因此可认为标准网格测量的误差为0.46mm。考虑到测量误差与被测物尺寸有关，因此将最大误差与网格尺寸之比作为测量精度，那么采用该相机进行透视变换测量的精度约为2‰。

4 离心模型试验中的应用

离心模型试验的模型为一均质黏土边坡，模型设计尺寸为左侧后缘高度为30cm，右侧坡底高度为8cm，底部总长48cm，坡顶宽度为20cm，边坡倾角为60°。在模型箱中分层制样，然后卸下模型箱测量面的有机玻璃板，将土坡削至设计尺寸。模型箱主体外边框尺寸长59cm、高36cm、宽35cm，由铝合金制成，在离心力作用下的变形足以忽略。为了方便对土体变形的捕捉，用黑色油性笔在边坡测量面画上十字网格线，设计网格线间距为2cm，并用白色丙稀颜料在交点处标记。图4为制样完成后从不同角度拍摄的模型视图，编号为视图P和视图Q。

图4 模型图像Fig.4 Images of model

模型坡高22cm，模拟坡高33m，因此离心加速度需要加载至150g，然后稳定运行30 min。由于实验室试验条件的限制，无法在运行过程中实时摄像，仅能在试验完成后拍摄照片，观察土坡的位移状态。

4.1 图像校正

在测量位移之前需要按照前文所述方法对图4中的倾斜、畸变图像进行校正，由于相机内参数已通过相机的标定获得，需要求解的参数为透视变换参数。由于模型箱的变形可以忽略不计，因此选取模型箱的4个角点作为标定点。图像坐标系以矩形图像形心为原点Ot，长边方向为Xt轴，短边方向为Yt轴。模型坐标系以模型箱左下角点为原点Ow，长边方向为Xw轴，高度方向为Yw轴，对应地可测量出图像上的任意点在图像中的坐标。在求取图像坐标时，所用图像为未裁剪的图像，这样可以避免对相机内参数x0，y0的调整，进而保证求取透视变换参数的准确性。由于原始图像与校正图像的像素点不能一一对应，会在校正后的图像上留下空洞，而对于这些空洞采用双线性插值的方法填充像素，获得校正后的图像见图5。

图5 校正图像Fig.5 Corrected images

从图5(b) 不难发现，整个边坡发生了较大的变形，坡顶出现了严重的开裂，在约4cm(模型尺寸)的深度范围内产生了滑移，通过黑色标记线的错动，可以清晰地观察到滑弧位置。

4.2 校正效果分析

在试验前的图像中，黑色网格线的设计间距为2cm，但是因为设计网格线是沿长尺手工绘制的，并不能精确按照设计刻度绘制，有一定的绘制误差，因此不能将测量坐标与设计网格坐标的差值作为测量的误差。进而本文采用对比视图P和视图Q的校正坐标的方法分析测量误差，两视图的校正坐标差越小，说明校正方法越可靠。同时为了说明校正效果，对未校正的坐标误差也进行了计算，视图P和视图Q未校正和校正后的坐标点位中误差见图6。

图6 点位中误差分布Fig.6 Distribution of mean square deviation

图7 位移分析Fig.7 Displacement analysis

从图6中可看出:若不进行校正，点位中误差的量值范围为0.6～2.7cm，误差较大；而校正后的点位中误差的量值范围为0.030～0.105cm，测量精度提高了一个数量级，约30倍，充分说明了本文方法的校正效果。同时校正后的点位中误差的量值表明，x，y坐标差均在1 mm范围内，按照前文的精度分析方法，精度仍然在2‰范围以内，说明本文校正方法在实际应用中仍然是可靠的。

通过对图像的校正，可获得图像中标记点在模型坐标系下的坐标，试验前后的标记点的位移之差即为模型位移，见图7。模型边坡临空区域位移较大，最大位移为5.87 cm，分布规律与图5(b)所示规律一致。

进一步分析校正对位移测量的影响，若不进行校正，边坡主要区域的点位中误差的量值范围为1.7～2.7 cm，而边坡主要区域的位移量值为2～5.87 cm，未校正测量误差对位移测量的影响程度超过了50%。而校正后边坡主要区域的点位中误差的量值范围为0.030～0.105 cm，可见校正测量误差对位移测量的影响程度<5%，测量误差对位移测量的影响显著降低。

当然值得指出的是，边坡的变形越大，校正测量误差的影响越小，因此对于大变形的模型试验研究，本文校正方法是可行的；而对于小变形的模型试验研究，则需要精度更高的测量手段，如采用高精度的测量数码相机，或传统的机械式测量手段。

5 结 语

本文根据透视变换原理，推导了图像坐标到测量坐标的透视变换公式，并进一步考虑了镜头畸变误差，获得了用于模型试验测量的图像校正方法。未校正的误差分析表明了图像校正的必要性，进一步的精度分析表明，对于普通数码相机，本文所提出的图像透视变换方法的测量精度可以达到2‰。最后将图像校正方法应用于离心模型试验的位移测量，对试验图片进行了校正，校正后的坐标误差能够控制在1 mm以内。通过求取模型在试验前后的坐标差，获得了模型的试验位移场，同时分析结果表明本次试验误差对大变形位移测量的影响能够控制在5%以内，而对于小变形位移测量，有待采用高精度测量数码相机验证本文方法的可行性。

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(编辑：陈 敏)

Image Calibration of Displacement Photogrammetry inGeotechnical Centrifuge Model Test

LIU Huai-zhong1,2，XIAO Ming-li1,2，XIE Hong-qiang1,2，ZHUO Li1,2

(1.State Key Laboratory of Hydraulics and Mountain River Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065,China;2.School of Hydraulic and Hydroelectric Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

In the condition of oblique photographic angle or defective camera lens, the pictorial location of test model could contain slant or distorted deviation, which could further affect the accuracy of photogrammetry. In the aim of reducing the effect of slant and distorted deviation on photogrammetry, the relationship between two dimensional model coordinate and image coordinate was derived according to perspective principle. Furthermore, an image correction method was established by introducing image distorted deviation into perspective transformation. Intrinsic parameters of digital camera were calibrated by photogrammetry of a standard grid, which also showed that this method could achieve a metrical precision of 2‰. The method was applied to image calibration and displacement measurement of a geotechnical centrifuge model test, and the deviation of calibrated coordinate was less than 1mm, and has 5% or less influence on the displacement measurement.

centrifuge model test; photogrammetry; image calibration; perspective transformation; displacement measurement

2016-03-06；

2016-04-11

四川大学试验技术立项项目(2015-124)

刘怀忠(1990-)，男，四川内江人，博士研究生，主要从事岩土工程、土工离心模型试验研究，(电话)028-85407467(电子信箱)sclhz2009@163.com。

肖明砾(1976-)，男，四川成都人，副教授，博士，主要从事岩土工程、地下工程研究，(电话)028-85407467(电子信箱)redflag@vip.sina.com。

10.11988/ckyyb.20160189

2017,34(5):86-91

TU411.93

A

1001-5485(2017)05-0086-06