李艳青, 张 龙, 刘 江

(新疆大学 数学与系统科学学院, 新疆 乌鲁木齐 830046)

具有季节性自然演替及脉冲扰动的单种群模型

李艳青, 张 龙*, 刘 江

(新疆大学 数学与系统科学学院, 新疆 乌鲁木齐 830046)

考虑一类具有季节性自然演替和周期性脉冲扰动的单种群模型,研究脉冲扰动对种群动力学行为的影响.通过建立频闪映射,得到种群持久和灭绝的阈值条件,并结合有理差分方程理论证明系统有唯一稳定的正周期解,用Matlab软件进行模拟并与连续系统作对比,数值模拟清晰地展示了脉冲扰动对季节性系统的影响.

季节演替; 脉冲; 持久; 灭绝; 周期解

0 引言

由于受自身或外部环境等因素的影响,种群的数量会有所波动,季节演替是造成这种波动的一个非常重要的因素,在一定程度上不仅会影响种群增长速度,而且还会影响内部结构[1-2].季节性变化对动力系统造成的影响受到了很多研究人员的关注[3-8].然而,到目前为止,在具有季节演替的种群模型中,分析性的结论却很少.文献[9]建立了模型

(1)

其中,m∈N,φ∈(0,1],r和K分别是种群x的内禀增长率和环境容纳量;并用系统平衡点稳定的分析方法讨论了系统(1)周期解的存在唯一性和全局稳定性.

系统(1)由2个连续模型组成,时间t∈[mω,mω+(1-φ)ω]时,种群生活在环境1中,此时它的增长规律满足系统(1)的第一个方程;在t=mω+(1-φ)ω时,环境由1变成了2,此时,种群的增长规律满足系统(1)的第二个方程.当t=(m+1)ω时,环境由2重新变成1,种群的增长规律也由此发生了变化,并依此进行循环.注意到种群在经历环境变化时数量并没有增加或减少.然而,在现实生活中,种群数量往往会受到自身和人类活动等很多外界因素的干扰,而这种扰动通常是瞬间完成的.随着脉冲微分方程理论发展日益成熟[10],许多学者已将该理论运用到种群动力学及其应用科学领域[11-15].为了能够充分考虑到瞬间变化对种群状态的影响,本文用脉冲来刻画这种扰动,由此建立下列具有季节性自然演替及脉冲扰动的单种群系统

(2)

1 预备知识

首先介绍有理递归序列

(3)

其中

(4)

显然,x≡0是系统(2)的平凡ω-周期解.对于它的非平凡ω-周期解的存在性及其他性质,有下面的引理和定义.

定义 1 若存在正常数m和M,使得对任意初值x0>0,系统(2)的正解x(t)满足

则系统(2)持久.

引理 1[16]若

(5)

(6)

其中

(7)

引理 2[16]假设(4)式成立,则下列叙述正确.

1) 若a=0且0

2) 若(5)式成立,则(3)式是持久的.

3) 若(5)式成立且满足下列条件之一:

其次,讨论系统(2)的正解x(t,x0).

(8)

显然,系统(2)满足初值x0>0的解x(t,x0)>0,t≥0.

2 主要结果

定理 1 假设d1d2p1p2>1(或≤1),则系统(2)持久(或灭绝),其中01.

证明 首先证明d1d2p1p2>1成立,系统(2)持久.由模型(2)中的脉冲时刻可得下列的频闪映射:

(9)

(10)

(11)

另一方面,在系统(9)中易知

(12)

令

(13)

则

因此,φ是单增函数,若存在N,使得x1(N+1)≤x1N,n≥N,由φ(x1n)

又因为d1d2p1p2>1,更进一步有

(14)

对上式两边同时取下极限得

类似地,对于系统(9)有

(15)

记

(16)

则

因此,φ1单增,若存在N1,使得x1(N1+1)≤x1N1,n≥N1,用上述同样的方法可得

而d1d2p1p2>1,则有

(17)

对上式两边同时取下极限得

综上所述,令

记m=min{m1,m2},M=max{M1,M2},从而有

由持久性定义知系统(2)持久.

(18)

由此可得序列{x1n}、{x2n}非增.设γ1、γ2分别是{x1n}和{x2n}的极限,由极限的保号性知γi≥0,i=1,2.另一方面,对(12)和(15)式两边同时取极限有

因此,

这意味着系统(2)灭绝.定理1得证.

定理 2 若

(19)

则系统(2)有唯一正ω-周期解x*(t).

证明 显然,x(t,x0)是ω-周期解当且仅当x(ω+,x0)=x0.定义周期映射S:R+→R+,

(20)

系统(2)有非平凡ω-周期解当且仅当S在R+上有不动点.由(20)式可知:

(21)

注意到Logistic方程的解x2(t,x2(0))可以表示成

(22)

则周期映射Sn+1(x0)可表示为

其中

b=d1d2e(rφ-λ(1-φ))ω,

(23)

结合(19)和(23)式可知b>1.由引理1可知S有唯一的不动点,且

定理 3 若(19)式成立,则系统(2)满足初值x0>0的正解x(t,x0)有

证明 因为

这里

b=d1d2e(rφ-λ(1-φ))ω,

定理 4 若

则系统(2)的解x(t)满足

证明 由(23)式可知

0

运用引理2知x=0全局吸引,即种群最终灭绝.定理4证毕.

3 数值模拟与讨论

本文主要讨论一类具有季节性自然演替及脉冲扰动的单种群模型.为了验证结果的合理性并与连续系统作对比,选用下面的参数进行数值模拟:ω=5,φ=0.2,λ=0.3,r=1.21,且这些参数保持不变,仅仅调节脉冲值d1、d2,从以上参数的取值不难得到1.21*0.2>0.3*0.8,rφ>λ(1-φ).

首先,令d1=d2=1,此时系统(2)变成连续系统(1)[9],且参数满足文献[9]中定理的所有条件,从数值模拟中可以看到系统存在唯一全局渐近稳定的正周期解(见图1(a)),即文献[9]中的结论成立.

其次,令d1=0.8,d2=1.3,并由此可得d1d2>1,条件满足定理2,数值模拟中显示了系统(2)持久且有唯一全局渐近稳定的正ω-周期解x*(t)(见图1(b)),这与理论结果一致.

若d1=0.1,d2=0.05(即种群在季节演替时由于人为捕获或其他原因数量急剧减少),系统(2)中种群的数量最终趋于0,也就是,尽管rφ>λ(1-φ)成立,若种群在季节交替时数量急剧减少,且减少的程度远远超过自身的恢复调节能力,它仍然会灭绝(见图1(c)),这一结果与实际生态系统中种群的变化规律更吻合.

下面选用另一组参数继续讨论脉冲扰动对种群动力行为的影响.设参数ω=5,φ=0.2,λ=1,r=0.02保持不变,d1、d2是变量,由上述参数可知

0.02*0.2<1*0.8.

采用上述类似的分析方法,首先令d1=d2=1,系统(2)变成连续系统(1),且满足文献[9]的关于灭绝的条件,如定理结果所述,当t→+∞时,种群灭绝(见图2(d)).

其次令d1=0.5,d2=0.3,可知d1d2<1.由图2可知定理3成立(见图2(e)).

若d1=5.3,d2=1.3(即种群在季节转换时由于人为投放或其他原因数量大幅度增加),在数值模拟中可以看到种群数量并没有像想象中一样无限制增长,反而会持久稳定(见图2(f)),这更符合自然生态系统的平衡理论.

数值模拟(图1和2)显示了脉冲扰动对种群持续生存与灭绝的影响,这一结果对利用脉冲控制种群发展趋势有重要的意义.综上分析可知,具有脉冲扰动的季节演替模型的动力学行为更加丰富,更符合生态系统中种群发展的自然规律.

致谢 新疆高校科研项目(XJEDU2013I03)对本文给予了资助,谨致谢意.

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2010 MSC：46B20; 39B12

(编辑 郑月蓉)

A Single Species Model with Seasonal Succession and Impulsive Perturbations

LI Yanqing, ZHANG Long, LIU Jiang

(CollegeofMathematicsandSystemScience,XinjiangUniversity,Urumqi830046,Xinjiang)

In this paper, we consider a class of single species with seasonal succession and impulsive perturbations and study the effects of pulse disturbance on population dynamics behaviors. By establishing the stroboscopic map, we get the threshold value for the permanence and extinction of population. Combining the theory of rational difference equation, we obtain that the system has a unique globally stable positive periodic solution. The numerical simulation is taken by using mathematical software-Matlab. It clearly shows the influence of pulse disturbance to the seasonal system. We compare these results with continuous system.

seasonal succession; impulsive; permanence; extinction; periodic solution

2016-06-27

国家自然科学基金(11361059和11271312)和新疆维吾尔自治区自然科学基金(2014721014)

O175.12

A

1001-8395(2017)01-0084-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.01.014

*通信作者简介：张 龙(1977—),男,教授,主要从事常微分方程及应用、生物数学的研究,E-mail:longzhang_xj@sohu.com